12. 如图,在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC,使点C在格点上,满足这样条件的点C共有 ()

A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

12. D 【点拨】根据题意可得以$AB$为边画$\mathrm{Rt}△ABC$,使点$C$在格点上,满足这样条件的点$C$共有8个,如图所示.故选D.

13. 新考法 分类讨论法 如图,已知在$△ ABC$中,$∠ BAC=40°,∠ C=65°$,将线段$AC$沿直线$AB$平移得到线段$DE$,连接$AE$,在整个运动中,当$AE$垂直$△ ABC$的某一边时,$∠ E$的度数为.

13. 50°或90°或25° 【点拨】由题意得$AC// DE$.根据题意分三种情况: ①当$AE ⊥ AB$时,则$∠EAB=90°.$$\because ∠BAC=40°,∴ ∠CAE=∠EAB-∠BAC=90°-40°=50°.$$\because AC// DE,∴ ∠E=∠CAE=50°;$②当$AE ⊥ AC$时,则$∠CAE=90°.$$\because AC // DE,∴ ∠E=∠CAE=90°;$③当$AE ⊥ BC$时,如图所示，则$∠CAE+∠C=90°.$$\because ∠C=65°,∴ ∠CAE=90°-∠C=90°-65°=25°.$$\because AC // DE,∴ ∠E=∠CAE=25°.$综上所述,当$AE$垂直$△ABC$的某一边时,$∠E$的度数为$50°$或$90°$或$25°.$

14. 如图，在$△ ABC$中，$CD$是高，$∠ BAC = ∠ DCB$.
(1)试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)若$AE$是$△ ABC$的角平分线，$AE$，$CD$相交于点$F$，求证：$∠ CFE = ∠ CEF$.

14. (1)【解】$△ABC$是直角三角形.理由如下：$\because CD$是高，$\therefore ∠CDB=90°,∴ ∠B+∠BCD=90°.$$\because ∠BAC=∠DCB,∴ ∠BAC+∠B=90°.$$\therefore ∠ACB=90°.$$\therefore △ABC$是直角三角形.(2)【证明】$\because AE$是$△ABC$的角平分线，$\therefore ∠DAF=∠CAE.$$\because ∠FDA=90°$,易知$∠ACE=90°,$$\therefore ∠DAF+∠AFD=90°,∠CAE+∠CEA=90°,$$\therefore ∠AFD=∠CEF.$又$\because ∠AFD=∠CFE,∴ ∠CFE=∠CEF.$

15. 如图，AB // CD，点 E 是 AB 上一点，连接 CE.
(1)如图①，若 CE 平分∠ACD，过点 E 作 EM ⊥ CE 交 CD 于点 M，试说明∠A=2∠CME；
(2)如图②，若 AF 平分∠CAB，CF 平分∠DCE，且∠F=70°，求∠ACE 的度数；
(3)如图③，过点 E 作 EM ⊥ CE 交∠DCE 的平分线于点 M，MN ⊥ CM 交 AB 于点 N，CH ⊥ AB，垂足为 H. 若∠ACH=$\frac{1}{2}$∠ECH，请直接写出∠MNB 与∠A 之间的数量关系.

15. 【解】(1)$\because EM ⊥ CE,∴ ∠CEM=90°,∴ ∠ECD+∠CME=90°,∴ 2∠ECD+2∠CME=180°.$$\because CE$平分$∠ACD,∴ ∠ACD=2∠ECD,$$\therefore ∠ACD+2∠CME=180°.$$\because AB// CD,∴ ∠ACD+∠A=180°,$$\therefore ∠A=2∠CME.$(2)如图①,过点$F$作$FI// AB.$$\because AB// CD,∴ FI// AB// CD,$$\therefore ∠AFI=∠BAF,∠CFI=∠DCF,$$\therefore ∠AFI+∠CFI=∠BAF+∠DCF,$即$∠AFC=∠BAF+∠DCF.$$\because AF$平分$∠CAB$,$CF$平分$∠DCE,$$\therefore ∠CAB=2∠BAF,∠DCE=2∠DCF,$$\therefore ∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC.$$\because ∠AFC=70°,∴ ∠CAB+∠DCE=140°.$$\because AB// CD,∴ ∠CAB+∠ACD=∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°,$$\therefore ∠ACE=180°-(∠CAB+∠DCE)=180°-140°=40°.$(3)$∠MNB=135°-∠A.$【点拨】如图②,延长$CM$交$AB$于点$G.$$\because MN ⊥ CM,$$\therefore ∠NMG=90°,∴ ∠MNB=90°-∠MGN.$同理$∠HCG=90°-∠MGN,∴ ∠MNB=∠HCG.$$\because ∠ACH=\frac{1}{2}∠ECH,∴$设$∠ACH=x$,则$∠ECH=2x.$$\because CM$平分$∠DCE,∴$设$∠ECM=∠DCM=y,$$\therefore ∠MNB=∠HCG=2x+y.$$\because AB// CD,CH ⊥ AB,$$\therefore CH ⊥ CD,∴ ∠HCD=90°,∴ 2x+2y=90°,∴ x+y=45°.$$\because CH ⊥ AB,∴ ∠A=90°-∠ACH=90°-x,$$\therefore ∠A+∠MNB=90°-x+2x+y=90°+x+y=135°,$$\therefore ∠MNB=135°-∠A.$