1[中]若关于$x$的方程$\frac{1}{2}mx - \frac{5}{3} = \frac{1}{2}(x - \frac{4}{3})$有负整数解，则整数$m$的值为（）

A.2或3
B.-1或2
C.0或-1
D.-1或0或2或3

1. C 【解析】$\frac{1}{2}mx-\frac{5}{3}=\frac{1}{2}(x-\frac{4}{3})$,去括号,得$\frac{1}{2}mx-\frac{5}{3}=\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}$,去分母,得$3mx-10=3x-4$,移项、合并同类项,得$3(m-1)x=6$. 因为方程有负整数解,且$m$为整数,所以$x=\frac{2}{m-1}$,所以$m-1=-1$或$-2$. 当$m-1=-1$时,$m=0$;当$m-1=-2$时,$m=-1$,故整数$m$的值为0或-1. 故选 C.

2[2025广东深圳期中，中]按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是3，则输出y的值为1。若输出y的值为3，则输入x的值是（）


A.7
B.$-\dfrac{1}{3}$
C.7或$-\dfrac{1}{3}$
D.-7或$\dfrac{1}{3}$

2. A 【解析】因为输入$x$的值是3,输出$y$的值为1,所以$\frac{3-b}{2}=1$,解得$b=1$,所以当$x≥-1$时,$y=\frac{x-1}{2}$;当$x＜-1$时,$y=-3x+2$. 当$\frac{x-1}{2}=3$时,解得$x=7＞-1$,符合题意;当$-3x+2=3$时,解得$x=-\frac{1}{3}＞-1$,不符合题意. 故选 A.

3[较难]方程$\frac{x}{3}+\frac{x}{15}+\frac{x}{35}+\dots+\frac{x}{2005×2007}=1$的解是$x=$（）

A.$\frac{2006}{2007}$
B.$\frac{2007}{2006}$
C.$\frac{2007}{1003}$
D.$\frac{1003}{2007}$

3. C 【解析】$\frac{x}{3}+\frac{x}{15}+\frac{x}{35}+\dots+\frac{x}{2005×2007}=1$,合并同类项,得$(\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\dots+\frac{1}{2005×2007})x=1$,将方程变形,得$[\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots+\frac{1}{2}(\frac{1}{2005}-\frac{1}{2007})]x=1$,方程两边都乘2,得$(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2007})x=2$,化简,得$(1-\frac{1}{2007})x=2$,解得$x=\frac{2007}{1003}$. 故选 C.

4[中]小明在对方程$\frac{x+3}{3}-\frac{mx-1}{6}=\frac{5-x}{2}$去分母时，错误地得到了方程$2(x+3)-mx-1=3(5-x)$，因而求得的解是$x=\frac{5}{2}$，则$m$的值为，原方程的正确解为。

4. $1\ \ x=2$ 【解析】把$x=\frac{5}{2}$代入方程$2(x+3)-mx-1=3(5-x)$,得$2×(\frac{5}{2}+3)-\frac{5}{2}m-1=3×(5-\frac{5}{2})$,解得$m=1$. 将$m=1$代入$\frac{x+3}{3}-\frac{mx-1}{6}=\frac{5-x}{2}$,得$\frac{x+3}{3}-\frac{x-1}{6}=\frac{5-x}{2}$,去分母,得$2(x+3)-(x-1)=3(5-x)$,去括号,得$2x+6-x+1=15-3x$,移项、合并同类项,得$4x=8$,解得$x=2$,则方程的正确解为$x=2$. 故答案为1,$x=2$.

5[较难]若关于x的方程$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$，无论k取何值，它的解总是x=1，那么$m+n=$.

5. $\frac{5}{2}$ 【解析】将$x=1$代入$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$,得$\frac{2k+m}{3}=2+\frac{1-nk}{6}$,整理得$(4+n)k=13-2m$. 由题意可知,无论$k$取何值,$(4+n)k=13-2m$恒成立,所以$n+4=0,13-2m=0$,所以$n=-4,m=\frac{13}{2}$,所以$m+n=\frac{5}{2}$,故答案为$\frac{5}{2}$.

6[中]已知$(a+2b)y^2 - y^{\frac{1}{3}a - \frac{1}{3}} = 3$是关于y的一元一次方程.
(1)求$a,b$的值；
(2)若$x=a$是关于$x$的方程$\frac{x+2}{6} - \frac{x-1}{2} + 3 = x - \frac{x - m}{3}$的解，求$|a - b - 2| - |b - m|$的值.
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6.【解】(1)因为$(a+2b)y^2-y^{\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}}=3$是关于$y$的一元一次方程,所以$\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}=1$,$a+2b=0$,解得$a=4,b=-2$.
(2)因为$x=a$是关于$x$的方程$\frac{x+2}{6}-\frac{x-1}{2}+3=x-\frac{x-m}{3}$的解,所以$1-\frac{3}{2}+3=4-\frac{4-m}{3}$,解得$m=-\frac{1}{2}$,所以$|a-b-2|-|b-m|=|4+2-2|-\left|-2+\frac{1}{2}\right|=\frac{5}{2}$.

7 核心素养运算能力 [2026 湖南长沙质检,较难]若关于x的方程$ax+b=0(a≠0)$的解与关于y的方程$cy+d=0(c≠0)$的解满足$x-y=2$，则称方程$ax+b=0(a≠0)$与方程$cy+d=0(c≠0)$是“雅系友好方程”.例如:方程$2x-8=0$的解是$x=4$，方程$y-2=0$的解是$y=2$.因为$x-y=2$，所以方程$2x-8=0$与方程$y-2=0$是“雅系友好方程”.
(1)请通过计算判断方程$2x-6=5x-3$与方程$5(y-1)-2(1-y)=-34-2y$是不是“雅系友好方程”；
(2)若关于x的方程$\frac{3x-1}{4}-1=\frac{5x-7}{6}$与关于y的方程$3y+2=-2(m+1)$是“雅系友好方程”，求m的值；
(3)已知关于x的方程$2(x-1)=3m-1$与关于y的方程$3y=mn+n$，若对于任意有理数m，都使得它们不是“雅系友好方程”，求n的值.

7.【解】(1)$2x-6=5x-3$,移项,得$2x-5x=-3+6$,解得$x=-1$;$5(y-1)-2(1-y)=-34-2y$,去括号,得$5y-5-2+2y=-34-2y$,解得$y=-3$,则$x-y=-1-(-3)=2$,所以方程$2x-6=5x-3$与方程$5(y-1)-2(1-y)=-34-2y$是“雅系友好方程”.
(2)$\frac{3x-1}{4}-1=\frac{5x-7}{6}$,去分母,得$3(3x-1)-12=2(5x-7)$,解得$x=-1$;$3y+2=-2(m+1)$变形为$3y=-2m-2-2$,解得$y=\frac{-2m-4}{3}$. 因为方程$\frac{3x-1}{4}-1=\frac{5x-7}{6}$与方程$3y+2=-2(m+1)$是“雅系友好方程”,所以$x-y=2$,所以$-1-\frac{-2m-4}{3}=2$,解得$m=\frac{5}{2}$.
(3)$2(x-1)=3m-1$,解得$x=\frac{3m+1}{2}$,$3y=mn+n$,解得$y=\frac{mn+n}{3}$,所以$x-y=\frac{3m+1}{2}-\frac{mn+n}{3}=\frac{(9-2n)m-2n+3}{6}$. 因为对于任意有理数$m$,都使关于$x$的方程$2(x-1)=3m-1$与关于$y$的方程$3y=mn+n$不是“雅系友好方程”,所以$9-2n=0$,解得$n=\frac{9}{2}$,此时$x-y=-1$,符合题意,故$n$的值为$\frac{9}{2}$.