登录
1[中]已知关于$x$的方程$\frac{1}{2}(8-x)=7+x$的解与方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解互为相反数，求$a$的值.
答案
解方程$\frac{1}{2}(8-x)=7+x$,得$x=-2$.
因为关于$x$的方程$\frac{1}{2}(8-x)=7+x$的解与方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解互为相反数,所以方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解为$x=2$. 把$x=2$代入,得$\frac{4+a}{2}-\frac{2-1}{3}=\frac{2}{6}+2a$,解得$a=\frac{8}{9}$.
因为关于$x$的方程$\frac{1}{2}(8-x)=7+x$的解与方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解互为相反数,所以方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解为$x=2$. 把$x=2$代入,得$\frac{4+a}{2}-\frac{2-1}{3}=\frac{2}{6}+2a$,解得$a=\frac{8}{9}$.
2[2026广东广州期末,中]若关于x的一元一次方程$\frac{3x-5m}{2}-\frac{x-m}{3}=19$的解，比关于x的一元一次方程$-2(3x-4m)=1-5(x-m)$的解大15，则$m=$（
A.2
B.1
C.0
D.-1
A
）A.2
B.1
C.0
D.-1
答案
【解析】解方程$\frac{3x-5m}{2}-\frac{x-m}{3}=19$,得$x=\frac{114+13m}{7}$;解方程$-2(3x-4m)=1-5(x-m)$,得$x=3m-1$. 由题意得$\frac{114+13m}{7}-(3m-1)=15$,解得$m=2$. 故选A.
3[2025 湖北鄂州质检,中]晶晶在解关于x的方程$\frac{ax - 1}{2} + 6 = \frac{2 + x}{3}$时,把6错写成1,解得x=1,并且晶晶在解题中没有错误,请你正确求出此方程的解.
答案
解：
由题意可知，$x=1$是方程$\frac{ax - 1}{2} + 1 = \frac{2 + x}{3}$的解。
将$x=1$代入该方程：
$\frac{a-1}{2} + 1 = \frac{2+1}{3}$
化简得：
$\frac{a-1}{2} +1 = 1$
解得$a=1$。
将$a=1$代入原正确方程：
$\frac{x - 1}{2} + 6 = \frac{2 + x}{3}$
去分母，两边同乘6：
$3(x-1) + 36 = 2(2+x)$
去括号：
$3x - 3 + 36 = 4 + 2x$
移项、合并同类项：
$x = -29$
所以此方程正确的解为$x=-29$。
由题意可知，$x=1$是方程$\frac{ax - 1}{2} + 1 = \frac{2 + x}{3}$的解。
将$x=1$代入该方程：
$\frac{a-1}{2} + 1 = \frac{2+1}{3}$
化简得：
$\frac{a-1}{2} +1 = 1$
解得$a=1$。
将$a=1$代入原正确方程：
$\frac{x - 1}{2} + 6 = \frac{2 + x}{3}$
去分母，两边同乘6：
$3(x-1) + 36 = 2(2+x)$
去括号：
$3x - 3 + 36 = 4 + 2x$
移项、合并同类项：
$x = -29$
所以此方程正确的解为$x=-29$。
4[2026湖南长沙期末,中]小李同学在解关于x的一元一次方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-1$的过程中，去分母时方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为$x=4$.请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解.
答案
解：
由题意可知，小李去分母漏乘1后得到的错误方程为：
$2x - 1 = x + a - 1$
将$x=4$代入该错误方程：
$2×4 - 1 = 4 + a - 1$
$7 = 3 + a$
解得：$a=2$
把$a=2$代入原方程，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+2}{3}-1$
方程两边同时乘3去分母：
$2x - 1 = x + 2 - 3$
移项、合并同类项：
$x=0$
综上，$a$的值为$2$，原方程正确的解为$x=0$。
由题意可知，小李去分母漏乘1后得到的错误方程为：
$2x - 1 = x + a - 1$
将$x=4$代入该错误方程：
$2×4 - 1 = 4 + a - 1$
$7 = 3 + a$
解得：$a=2$
把$a=2$代入原方程，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+2}{3}-1$
方程两边同时乘3去分母：
$2x - 1 = x + 2 - 3$
移项、合并同类项：
$x=0$
综上，$a$的值为$2$，原方程正确的解为$x=0$。
5[中]已知$ m,n $是有理数，单项式$-x^n y$的次数是3，方程$(m+1)x^2 + mx - tx + n + 2 = 0$是关于$ x $的一元一次方程，其中$ m ≠ t $。
(1)求$ m,n $的值；
(2)若该方程的解是$ x=3 $，求$ t $的值；
(3)若该方程的解是正整数，请直接写出整数$ t $的值。
(1)求$ m,n $的值；
(2)若该方程的解是$ x=3 $，求$ t $的值；
(3)若该方程的解是正整数，请直接写出整数$ t $的值。
答案
(1)由题意得$n+1=3,m+1=0$,解得$n=2,m=-1$.
(2)由(1)得$n=2,m=-1$,所以原方程为$-x-tx+4=0$. 由题意知当$x=3$时,$-3-3t+4=0$,所以$t=\frac{1}{3}$.
(3)$t$的值为0,1,3. 因为$n=2,m=-1$,所以原方程为$-x-tx+4=0$,所以$x=\frac{4}{t+1}$. 因为$t$是整数,$x$是正整数,所以$t+1=1$或2或4,所以$t=0$或1或3.
(2)由(1)得$n=2,m=-1$,所以原方程为$-x-tx+4=0$. 由题意知当$x=3$时,$-3-3t+4=0$,所以$t=\frac{1}{3}$.
(3)$t$的值为0,1,3. 因为$n=2,m=-1$,所以原方程为$-x-tx+4=0$,所以$x=\frac{4}{t+1}$. 因为$t$是整数,$x$是正整数,所以$t+1=1$或2或4,所以$t=0$或1或3.
6[中]已知关于x的方程$4+3ax=2a-7$有唯一解，关于y的方程$2+y=(b+1)y$无解，判断关于z的方程$az=b$的解的情况。
答案
关于$x$的方程$4+3ax=2a-7$可以整理为$3ax=2a-11$. 因为关于$x$的方程$4+3ax=2a-7$有唯一解,所以$a≠0$. 关于$y$的方程$2+y=(b+1)y$可以整理为$by=2$. 因为关于$y$的方程$2+y=(b+1)y$无解,所以$b=0$,则关于$z$的方程$az=b$可解得$z=\frac{b}{a}$,所以$z=0$,故关于$z$的方程$az=b$有唯一解,为$z=0$.
7[2026重庆沙坪坝区期中,中]若关于x的方程$\frac{m}{3}x + 1 = \frac{n}{2} + \frac{x}{3}$有无数个解，则$m + n$的值为
3
。答案
【解析】已知关于$x$的方程$\frac{m}{3}x+1=\frac{n}{2}+\frac{x}{3}$,移项,得$\frac{m}{3}x-\frac{x}{3}=\frac{n}{2}-1$,合并同类项,得$\frac{1}{3}x(m-1)=\frac{n}{2}-1$. 因为该方程有无数个解,所以$m-1=0,\frac{n}{2}-1=0$,解得$m=1,n=2$,则$m+n=1+2=3$,故答案为3.
