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1 [2025福建三明期中,中]有一列按规律排列的代数式:$b,2b-a,3b-2a,4b-3a,5b-4a,···$,容易发现相邻两个代数式的差都是同一个整式,若第4个代数式的值为8,则前7个代数式的和为 (
A.28
B.56
C.84
D.112
B
)A.28
B.56
C.84
D.112
答案
【解析】因为$(2b-a)-b=b-a$，所以第6个代数式为$5b-4a+b-a=6b-5a$，第7个代数式为$6b-5a+b-a=7b-6a$，所以前7个代数式的和为$b+(2b-a)+\dots+(7b-6a)=28b-21a$。因为$4b-3a=8$，所以$28b-21a=7(4b-3a)=7×8=56$。故选B.
2[中]如果$M=4x^2 -5x +12$，$N=2x^2 -5x +9$，那么M和N的大小关系是
$M＞N$
。答案
【解析】由题意，得$M-N=4x^2-5x+12-(2x^2-5x+9)=4x^2-5x+12-2x^2+5x-9=2x^2+3＞0$，所以$M＞N$.
3[2026山东潍坊期中,中]已知$A=2x-xy-4y$，$B=-3x+4xy+2y$。
(1)求$3A-2B$；
(2)若$C=x+axy$，当$C$与$3A-2B$的和是关于$x,y$的一次二项式时，求$a$的值。
(1)求$3A-2B$；
(2)若$C=x+axy$，当$C$与$3A-2B$的和是关于$x,y$的一次二项式时，求$a$的值。
答案
【解】(1)$3A-2B=3(2x-xy-4y)-2(-3x+4xy+2y)=(6x-3xy-12y)-(-6x+8xy+4y)=6x-3xy-12y+6x-8xy-4y=12x-11xy-16y$.
(2)因为$C=x+axy$，$3A-2B=12x-11xy-16y$，所以$C+(3A-2B)=x+axy+12x-11xy-16y=13x+(a-11)xy-16y$。因为C与3A-2B的和是关于x,y的一次二项式，所以$a-11=0$，所以$a=11$.
(2)因为$C=x+axy$，$3A-2B=12x-11xy-16y$，所以$C+(3A-2B)=x+axy+12x-11xy-16y=13x+(a-11)xy-16y$。因为C与3A-2B的和是关于x,y的一次二项式，所以$a-11=0$，所以$a=11$.
4[2025浙江诸暨期中,中]若关于x,y的多项式$(7mxy - 0.75y^3) - 2(2x^2y + 3xy)$化简后不含二次项,则m的值为
$\frac{6}{7}$
.答案
【解析】$(7mxy - 0.75y^3) - 2(2x^2y + 3xy)$化简后不含二次项，所以二次项$7mxy-6xy$的系数为0，即$7m-6=0$，解得$m=\frac{6}{7}$.
5[2025湖南衡阳期中,中]学习代数式求值时,遇到这样一道题:代数式$ax-y+6+3x-5y-1$的值与$x$的取值无关,求$a$的值.通常的解题方法是把$x,y$看作字母,$a$看作系数,合并同类项,即原式=$(a+3)x-6y+5$.因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为$0$,所以$a+3=0$,则$a=-3$.
(1)若关于$x$的多项式$(2x-3)m+2m^2-3x$的值与$x$的取值无关,求$m$的值;
(2)7张如图
的小长方形,长为$a$,宽为$b(a＞b)$,按照方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两个部分中(图中阴影部分),右上角的面积为$S_1$,左下角的面积为$S_2$,当$AB$的长变化时$(2a≤AB≤2a+3b)$,$S_1-S_2$的值始终保持不变,求$a$与$b$的数量关系.
(1)若关于$x$的多项式$(2x-3)m+2m^2-3x$的值与$x$的取值无关,求$m$的值;
(2)7张如图
的小长方形,长为$a$,宽为$b(a＞b)$,按照方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两个部分中(图中阴影部分),右上角的面积为$S_1$,左下角的面积为$S_2$,当$AB$的长变化时$(2a≤AB≤2a+3b)$,$S_1-S_2$的值始终保持不变,求$a$与$b$的数量关系.答案
解：
(1) 对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}(2x-3)m + 2m^2 - 3x &= 2mx - 3m + 2m^2 - 3x \\&= (2m - 3)x + 2m^2 - 3m\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即：
$2m - 3 = 0$
解得：
$m = \frac{3}{2}$
(2) 设AB的长为x，由图可知：
右上角阴影部分的长为$x - 3b$，宽为a，因此$S_1 = a(x - 3b)$；
左下角阴影部分的长为$x - a$，宽为$2b$，因此$S_2 = 2b(x - a)$。
计算$S_1 - S_2$：
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= a(x - 3b) - 2b(x - a) \\&= ax - 3ab - 2bx + 2ab \\&= (a - 2b)x - ab\end{aligned}$
因为当AB的长x变化时，$S_1 - S_2$的值始终保持不变，说明$S_1 - S_2$的取值与x无关，因此含x项的系数为0，即：
$a - 2b = 0$
所以a与b的数量关系为$a = 2b$。
(1) 对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}(2x-3)m + 2m^2 - 3x &= 2mx - 3m + 2m^2 - 3x \\&= (2m - 3)x + 2m^2 - 3m\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即：
$2m - 3 = 0$
解得：
$m = \frac{3}{2}$
(2) 设AB的长为x，由图可知：
右上角阴影部分的长为$x - 3b$，宽为a，因此$S_1 = a(x - 3b)$；
左下角阴影部分的长为$x - a$，宽为$2b$，因此$S_2 = 2b(x - a)$。
计算$S_1 - S_2$：
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= a(x - 3b) - 2b(x - a) \\&= ax - 3ab - 2bx + 2ab \\&= (a - 2b)x - ab\end{aligned}$
因为当AB的长x变化时，$S_1 - S_2$的值始终保持不变，说明$S_1 - S_2$的取值与x无关，因此含x项的系数为0，即：
$a - 2b = 0$
所以a与b的数量关系为$a = 2b$。
6 核心素养运算能力 [2026 福建泉州期末,难]定义:已知$M,N$都是关于$x$的多项式,若$M-N=k$($k＞0$,且$k$为常数),则称$M$是$N$的“平移式”,$k$叫作$M$关于$N$的“平移值”.例如:$M=2x^2+x+3$,$N=2x^2+x-1$,$M-N=(2x^2+x+3)-(2x^2+x-1)=4＞0$,则称$M$是$N$的“平移式”,$M$关于$N$的“平移值”为4.
(1)若$M=-\dfrac{1}{2}x^2+5x-3$,$N=-\dfrac{1}{2}x^2+5x-1$,则$M$是$N$的“平移式”吗?为什么?
(2)对于常数$m,n$,有$M=4x^2+mx+m^2$,$N=4x^2-6x+n$,若$M$是$N$的“平移式”,且“平移值”为3,求$m,n$的值.
(3)若$A,B,M,N$都是关于$x$的多项式,且$A=\dfrac{11}{2}x^2-\dfrac{1}{2}nx-\dfrac{2}{3}$,$B=6x^2+mx+1$,$M=5x^{|m|}+(m-2)x+\dfrac{4}{3}m$,$N=2A-B$,则当$m,n$取何值时,$M$是$N$的“平移式”?求出“平移值”.
(1)若$M=-\dfrac{1}{2}x^2+5x-3$,$N=-\dfrac{1}{2}x^2+5x-1$,则$M$是$N$的“平移式”吗?为什么?
(2)对于常数$m,n$,有$M=4x^2+mx+m^2$,$N=4x^2-6x+n$,若$M$是$N$的“平移式”,且“平移值”为3,求$m,n$的值.
(3)若$A,B,M,N$都是关于$x$的多项式,且$A=\dfrac{11}{2}x^2-\dfrac{1}{2}nx-\dfrac{2}{3}$,$B=6x^2+mx+1$,$M=5x^{|m|}+(m-2)x+\dfrac{4}{3}m$,$N=2A-B$,则当$m,n$取何值时,$M$是$N$的“平移式”?求出“平移值”.
答案
(3)因为$A=\frac{11}{2}x^2-\frac{1}{2}nx-\frac{2}{3},B=6x^2+mx+1$，所以$N=2A-B=11x^2-nx-\frac{4}{3}-(6x^2+mx+1)=5x^2-(n+m)x-\frac{7}{3}$。因为$M=5x^{|m|}+(m-2)x+\frac{4}{3}m$，所以$M-N=[5x^{|m|}+(m-2)x+\frac{4}{3}m]-[5x^2-(n+m)x-\frac{7}{3}]$。由题意得$|m|=2$，所以$m=2$或$-2$。①当$m=2$时，$M=5x^2+\frac{8}{3}$，$N=5x^2-(n+2)x-\frac{7}{3}$，当$n=-2$时，$M-N=5＞0$，M是N的“平移式”，“平移值”是5；②当$m=-2$时，$M=5x^2-4x-\frac{8}{3}$，$N=5x^2-(n-2)x-\frac{7}{3}$，当$n=6$时，$M-N=-\frac{1}{3}＜0$，M不是N的“平移式”。综上，当$m=2,n=-2$时，M是N的“平移式”，“平移值”是5.
