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9 若关于$x$的一元二次方程$(k+1)x^2 -x +k^2 -2k -3=0$的一个根为$x=0$，则实数$k$的值为
3
。答案
9. 3
10 规定$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$. 例如$\begin{vmatrix} 1&2 \\ -3&4 \end{vmatrix}=1×4 - (-3)×2=10$, 若$\begin{vmatrix} 2x^2 -3 & x \\ 6 & 1 \end{vmatrix}=0$, 则$x$的值为 ______ .
答案
10. $\frac{3+\sqrt{15}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{15}}{2}$
11 若实数$a,b,c$满足$\sqrt{a^2 - 2a +1} + |b -1| + (c+6)^2 =0$，则方程$ax^2 +bx +c=0$的解是
$x=2$或$x=-3$
。答案
11. $x=2$或$x=-3$
12 当x为何值时，代数式$5x^2 - x$的值与$4x - 2$的值互为相反数？
答案
12. 由题意,得$5x^2-x+4x-2=0$,即$5x^2+3x-2=0$,
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{9+40}}{10}=\frac{-3\pm7}{10}$,
$\therefore x_1=-1,x_2=\frac{2}{5}$.故当$x=-1$或$\frac{2}{5}$时,代数式$5x^2-x$的值与$4x-2$的值互为相反数.
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{9+40}}{10}=\frac{-3\pm7}{10}$,
$\therefore x_1=-1,x_2=\frac{2}{5}$.故当$x=-1$或$\frac{2}{5}$时,代数式$5x^2-x$的值与$4x-2$的值互为相反数.
13 分类讨论思想 对任意的两实数$a,b$,用$\min(a,b)$表示其中较小的数,如$\min(2,-4)=-4$,求方程$x· \min(2,2x-1)=x+1$的解.
答案
13. ①当$2＜2x-1$,即$x＞1.5$时,$2x=x+1$,
解得$x=1$(舍去);
②当$2x-1≤2$,即$x≤1.5$时,$x(2x-1)=x+1$,解得$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
综上所述,原方程的解为$x=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$.
解得$x=1$(舍去);
②当$2x-1≤2$,即$x≤1.5$时,$x(2x-1)=x+1$,解得$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
综上所述,原方程的解为$x=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$.
14 已知关于$x$的方程$x^2 + px + q = 0$（$p,q$为常数）有两个实数根$x_1,x_2$.
(1)若$p=-2,q=-8$,则$p^2 -4q$的值是
(2)若$x_1=3,x_2=-2$,求$p^2 -4q$的值;
(3)用含$x_1,x_2$的代数式表示$p^2 -4q$,下列结论中正确的是(
A. $p^2 -4q=(x_1+x_2)^2$
B. $p^2 -4q=(x_1x_2)^2$
C. $p^2 -4q=(x_1 -x_2)^2$
D. $p^2 -4q=(x_1 +x_2 +x_1x_2)^2$
(1)若$p=-2,q=-8$,则$p^2 -4q$的值是
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,方程的解是$x_1=4,x_2=-2$
;(2)若$x_1=3,x_2=-2$,求$p^2 -4q$的值;
(3)用含$x_1,x_2$的代数式表示$p^2 -4q$,下列结论中正确的是(
C
).A. $p^2 -4q=(x_1+x_2)^2$
B. $p^2 -4q=(x_1x_2)^2$
C. $p^2 -4q=(x_1 -x_2)^2$
D. $p^2 -4q=(x_1 +x_2 +x_1x_2)^2$
答案
14. (2)把$x_1=3,x_2=-2$代入原方程,得
$\begin{cases}9+3p+q=0,\\4-2p+q=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-1,\\q=-6,\end{cases}$
$\therefore p^2-4q=1+24=25$.
(3)C [解析]根据一元二次方程求根公式,可知$x_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$.
$\therefore x_1+x_2=-p,x_1x_2=q,\therefore p^2-4q=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(x_1-x_2)^2$.故选C.
$\begin{cases}9+3p+q=0,\\4-2p+q=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-1,\\q=-6,\end{cases}$
$\therefore p^2-4q=1+24=25$.
(3)C [解析]根据一元二次方程求根公式,可知$x_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$.
$\therefore x_1+x_2=-p,x_1x_2=q,\therefore p^2-4q=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(x_1-x_2)^2$.故选C.
15 新考法 新定义问题 对于实数$a$,$b$,新定义一种运算“※”: $a※b=\begin{cases}ab - b^2 & (a≥ b), \\ b^2 - ab & (a ＜ b).\end{cases}$ 例如: $\because4＞1,\therefore4※1=4×1 -1^2=3.$
(1)计算:$2※(-1)=\_\_\_\_\_\_,(-1)※2=\_\_\_\_\_\_;$
(2)若$x_1$和$x_2$是方程$x^2 -5x -6=0$的两个根且$x_1＜x_2$,求$x_1※x_2$的值;
(3)若$x※2$与$3※x$的值相等,求$x$的值.
(1)计算:$2※(-1)=\_\_\_\_\_\_,(-1)※2=\_\_\_\_\_\_;$
(2)若$x_1$和$x_2$是方程$x^2 -5x -6=0$的两个根且$x_1＜x_2$,求$x_1※x_2$的值;
(3)若$x※2$与$3※x$的值相等,求$x$的值.
答案
15. (1)$-3$ $6$ [解析]$\because2＞-1$,
$\therefore2※(-1)=2×(-1)-(-1)^2=-2-1=-3$.
$\because-1＜2,\therefore(-1)※2=2^2-(-1)×2=4+2=6$.
(2)解方程$x^2-5x-6=0$,得$x_1=-1,x_2=6$,
所以$x_1※x_2=(-1)※6=6^2-(-1)×6=42$.
(3)当$x＜2$时,$2^2-2x=3x-x^2$,整理,得$x^2-5x+4=0$,解得$x_1=1,x_2=4$(舍去);
当$2≤ x≤3$时,$2x-2^2=3x-x^2$,整理,得$x^2-x-4=0$,解得$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$(舍去);
当$x＞3$时,$2x-2^2=x^2-3x$,
整理,得$x^2-5x+4=0$,解得$x_1=1$(舍去),$x_2=4$.
综上所述,$x$的值为$1$或$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$4$.
$\therefore2※(-1)=2×(-1)-(-1)^2=-2-1=-3$.
$\because-1＜2,\therefore(-1)※2=2^2-(-1)×2=4+2=6$.
(2)解方程$x^2-5x-6=0$,得$x_1=-1,x_2=6$,
所以$x_1※x_2=(-1)※6=6^2-(-1)×6=42$.
(3)当$x＜2$时,$2^2-2x=3x-x^2$,整理,得$x^2-5x+4=0$,解得$x_1=1,x_2=4$(舍去);
当$2≤ x≤3$时,$2x-2^2=3x-x^2$,整理,得$x^2-x-4=0$,解得$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$(舍去);
当$x＞3$时,$2x-2^2=x^2-3x$,
整理,得$x^2-5x+4=0$,解得$x_1=1$(舍去),$x_2=4$.
综上所述,$x$的值为$1$或$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$4$.
