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1 教材P39问题·拓展 如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$能用公式法求解，那么必须满足的条件是(
A.$b^2 - 4ac ≥ 0$
B.$b^2 - 4ac ≤ 0$
C.$b^2 - 4ac ＞ 0$
D.$b^2 - 4ac ＜ 0$
A
).A.$b^2 - 4ac ≥ 0$
B.$b^2 - 4ac ≤ 0$
C.$b^2 - 4ac ＞ 0$
D.$b^2 - 4ac ＜ 0$
答案
1. A
2（2026·南京溧水区月考）用公式法解一元二次方程$3x^2 -4x=8$时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（
A.$3,-4,8$
B.$3,-4,-8$
C.$3,4,-8$
D.$3,4,8$
B
）。A.$3,-4,8$
B.$3,-4,-8$
C.$3,4,-8$
D.$3,4,8$
答案
2. B
3（2025·上海杨浦区期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其求根公式为$x=\_\_\_\_\_\_$
答案
3. $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
4 方程$x^2 + 4x + 3 = 0$的两个根为(
A.$x_1=1, x_2=3$
B.$x_1=-1, x_2=3$
C.$x_1=1, x_2=-3$
D.$x_1=-1, x_2=-3$
D
).A.$x_1=1, x_2=3$
B.$x_1=-1, x_2=3$
C.$x_1=1, x_2=-3$
D.$x_1=-1, x_2=-3$
答案
4. D
5 教材 P40 例 6·改编 用公式法解方程：
(1)$x^2 - 8x + 3 = 0$；
(2)$-3y^2 + 3y = -1$；
(3)$2x(x - 3) - 1 = 0$。
(1)$x^2 - 8x + 3 = 0$；
(2)$-3y^2 + 3y = -1$；
(3)$2x(x - 3) - 1 = 0$。
答案
5. (1)$\because a=1,b=-8,c=3,\therefore b^2-4ac=64-12=52＞0$,
$\therefore x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}$,即$x_1=4+\sqrt{13},x_2=4-\sqrt{13}$.
(2)$-3y^2+3y=-1$,整理,得$3y^2-3y-1=0$.
$\because b^2-4ac=(-3)^2-4×3×(-1)=9+12=21＞0$,
$\therefore y=\frac{-(-3)\pm\sqrt{21}}{2×3}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}$,
$\therefore y_1=\frac{3-\sqrt{21}}{6},y_2=\frac{3+\sqrt{21}}{6}$.
(3)去括号可得$2x^2-6x-1=0$.
$\because a=2,b=-6,c=-1,\therefore b^2-4ac=36+8=44＞0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{6\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$,
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2}$或$x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$.
$\therefore x=\frac{8\pm2\sqrt{13}}{2}=4\pm\sqrt{13}$,即$x_1=4+\sqrt{13},x_2=4-\sqrt{13}$.
(2)$-3y^2+3y=-1$,整理,得$3y^2-3y-1=0$.
$\because b^2-4ac=(-3)^2-4×3×(-1)=9+12=21＞0$,
$\therefore y=\frac{-(-3)\pm\sqrt{21}}{2×3}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}$,
$\therefore y_1=\frac{3-\sqrt{21}}{6},y_2=\frac{3+\sqrt{21}}{6}$.
(3)去括号可得$2x^2-6x-1=0$.
$\because a=2,b=-6,c=-1,\therefore b^2-4ac=36+8=44＞0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{6\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$,
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2}$或$x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$.
6 教材P41练习·变式 新考法 过程纠错改错 (2026·广东汕头龙湖区期末)解方程$x^2=3x+2$时,小海同学的解答如下:
解:原方程中,$a=1,b=3,c=2$.(第一步)
$b^2-4ac=3^2-4×1×2=1$.(第二步)
即$x_1=-1$或$x_2=-2$.(第四步)
所以,原方程的根是$x_1=-1,x_2=-2$.(第五步)
(1)上述解题过程从第
(2)请写出完整的正确解题过程.
解:原方程中,$a=1,b=3,c=2$.(第一步)
$b^2-4ac=3^2-4×1×2=1$.(第二步)
即$x_1=-1$或$x_2=-2$.(第四步)
所以,原方程的根是$x_1=-1,x_2=-2$.(第五步)
(1)上述解题过程从第
一
步开始出现错误;(2)请写出完整的正确解题过程.
答案
6. (2)$x^2=3x+2$,原方程可变形为$x^2-3x-2=0$.
$\because a=1,b=-3,c=-2$.
$\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=17＞0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.
$\because a=1,b=-3,c=-2$.
$\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=17＞0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.
7 解关于$x$的方程：$(k^2 - 4)x^2 - (5k - 2)x + 6 = 0.$
答案
7. 解方程$(k^2-4)x^2-(5k-2)x+6=0$,分为两种情况：
①当方程是一元二次方程时,$k^2-4≠0$.
$\because b^2-4ac=[-(5k-2)]^2-4(k^2-4)·6=(k-10)^2≥0$,
$\therefore x=\frac{(5k-2)\pm\sqrt{(k-10)^2}}{2(k^2-4)}$,
$\therefore x_1=\frac{3}{k+2},x_2=\frac{2}{k-2}$;
②当方程是一元一次方程时,$k^2-4=0$且$-(5k-2)≠0$,解得$k=\pm2$.
当$k=2$时,方程为$-8x+6=0$,解得$x=\frac{3}{4}$;
当$k=-2$时,方程为$12x+6=0$,解得$x=-\frac{1}{2}$.
①当方程是一元二次方程时,$k^2-4≠0$.
$\because b^2-4ac=[-(5k-2)]^2-4(k^2-4)·6=(k-10)^2≥0$,
$\therefore x=\frac{(5k-2)\pm\sqrt{(k-10)^2}}{2(k^2-4)}$,
$\therefore x_1=\frac{3}{k+2},x_2=\frac{2}{k-2}$;
②当方程是一元一次方程时,$k^2-4=0$且$-(5k-2)≠0$,解得$k=\pm2$.
当$k=2$时,方程为$-8x+6=0$,解得$x=\frac{3}{4}$;
当$k=-2$时,方程为$12x+6=0$,解得$x=-\frac{1}{2}$.
8 数形结合思想 (2026·上海虹口区期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=a,AC=b.以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E.下列哪条线段的长度是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根(
A.线段BC的长
B.线段AD的长
C.线段EC的长
D.线段AC的长
B
).A.线段BC的长
B.线段AD的长
C.线段EC的长
D.线段AC的长
答案
8. B
