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1 教材P41例7·改编（2026·北京东城区期末）一元二次方程$2x^2 -3x +1=0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）。A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
A
2 若点$(m,n)$在第四象限，则关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx + n = 0$的根的情况是(
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断
B
).A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断
答案
B
3 教材P42练习T1·变式 根据根的判别式填空.
(1)已知方程$x^2 - 2x = 0$，$b^2 - 4ac$
(2)已知方程$x^2 - 2x + 1 = 0$，$b^2 - 4ac$
(3)已知方程$x^2 - 2x + 2 = 0$，$b^2 - 4ac$
(1)已知方程$x^2 - 2x = 0$，$b^2 - 4ac$
＞
0，方程有两个不相等的
实数根；(2)已知方程$x^2 - 2x + 1 = 0$，$b^2 - 4ac$
=
0，方程有两个相等的
实数根；(3)已知方程$x^2 - 2x + 2 = 0$，$b^2 - 4ac$
＜
0，方程没有
实数根.答案
(1)＞ 有两个不相等的
(2)= 有两个相等的
(3)＜ 没有
(2)= 有两个相等的
(3)＜ 没有
4 教材P42练习T2·改编（2026·苏州工业园区月考）已知关于$x$的方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$。
（1）若该方程有一个根为$-2$，求$a$的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根。
（1）若该方程有一个根为$-2$，求$a$的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根。
答案
(1)将$x=-2$代入方程$x^2+ax+a-2=0$，得$(-2)^2+(-2)× a+a-2=0$，解得$a=2$。
(2)$\because$关于$x$的方程$x^2+ax+a-2=0$，
$\therefore b^2-4ac=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4＞0$，
$\therefore$对于任意实数$a$，该方程总有两个不相等的实数根。
(2)$\because$关于$x$的方程$x^2+ax+a-2=0$，
$\therefore b^2-4ac=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4＞0$，
$\therefore$对于任意实数$a$，该方程总有两个不相等的实数根。
5（2026·贵州黔西南州兴仁期末）已知关于x的一元二次方程$mx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，则m的值可能为（
A.1
B.0
C.$-1$
D.2
C
）。A.1
B.0
C.$-1$
D.2
答案
C
6(2026·北京门头沟区期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$有两个实数根，则$m$的取值范围是
$m≤4$
。答案
$m≤4$
7 教材P43习题T7·变式 若关于x的方程$x^2 - mx + m = 0$有两个相等的实数根，则代数式$3m^2 -12m +7$的值为
7
。答案
7
8 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 +6x +1=0$没有实数根，那么$a$的取值范围是
$a＞9$
。答案
$a＞9$
9 已知关于$x$的方程$kx^2 + 2x + 1 = 0$有实数根，则$k$的取值范围为
$k≤1$
.答案
$k≤1$
10 新考法 新定义问题（2026·无锡江阴月考）对于实数$m,n$，定义一种运算“※”为：$m※n=mn+n$.
(1)求$1※2$的值；
(2)如果关于$x$的方程$(a※x)※x=\frac{1}{2}$有两个相等的实数根，求实数$a$的值.
(1)求$1※2$的值；
(2)如果关于$x$的方程$(a※x)※x=\frac{1}{2}$有两个相等的实数根，求实数$a$的值.
答案
(1)原式$=1×2+2=2+2=4$.
(2)由题意，得$(ax+x)x+x=\frac{1}{2}$，
$\therefore (a+1)x^2+x-\frac{1}{2}=0$.
$\because$方程有两个相等的实数根，
$\therefore b^2-4ac=1-4(a+1)·(-\frac{1}{2})=1+2a+2=2a+3=0$，且$a+1≠0$，$\therefore a=-\frac{3}{2}$.
(2)由题意，得$(ax+x)x+x=\frac{1}{2}$，
$\therefore (a+1)x^2+x-\frac{1}{2}=0$.
$\because$方程有两个相等的实数根，
$\therefore b^2-4ac=1-4(a+1)·(-\frac{1}{2})=1+2a+2=2a+3=0$，且$a+1≠0$，$\therefore a=-\frac{3}{2}$.
11 数形结合思想（2026·上海静安区月考）如图，已知O是△ABC三条角平分线的交点，过点O作DE//BC，分别交AB，AC于D，E，设BD=a，DE=b，CE=c(a≠c)，则关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的说法正确的是(
A.一定有两个相等的实数根
B.一定有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断
B
)。A.一定有两个相等的实数根
B.一定有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断
答案
B
