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12 新考法 满足条件的结论开放 若关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +2a=0$有实数根，则$a$的值可以是
1(答案不唯一)
（写出一个即可）答案
1(答案不唯一)
13 (2025·南京秦淮区期中)将一个常数项不为0的一元二次方程的二次项系数与常数项对调，得到的新的一元二次方程称为原方程的“逆方程”.
(1)写出方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的逆方程；
(2)已知某一元二次方程(常数项不为0)没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根.
(1)写出方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的逆方程；
(2)已知某一元二次方程(常数项不为0)没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根.
答案
(1)由题知，方程$2x^2-3x+1=0$的逆方程为$x^2-3x+2=0$.
(2)令这个一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0,c≠0)$.
因为此方程没有实数根，所以$b^2-4ac＜0$.
因为此方程的逆方程为$cx^2+bx+a=0$，
则$b^2-4ca＜0$，所以其逆方程也没有实数根.
(2)令这个一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0,c≠0)$.
因为此方程没有实数根，所以$b^2-4ac＜0$.
因为此方程的逆方程为$cx^2+bx+a=0$，
则$b^2-4ca＜0$，所以其逆方程也没有实数根.
14 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2-m)x +1-m=0.$
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若$m＜0$,方程的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1＜x_2$,若$x_2-2x_1=3$,求$m$的值.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若$m＜0$,方程的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1＜x_2$,若$x_2-2x_1=3$,求$m$的值.
答案
(1)$\because b^2-4ac=(2-m)^2-4(1-m)=m^2≥0$，
$\therefore$方程总有两个实数根.
(2)解方程，得$x=\frac{-(2-m)\pm m}{2}$.
$\because m＜0$，$x_1＜x_2$，$\therefore x_1=m-1$，$x_2=-1$.
$\because x_2-2x_1=3$，$\therefore -1-2(m-1)=3$，解得$m=-1$，
即$m$的值为$-1$.
$\therefore$方程总有两个实数根.
(2)解方程，得$x=\frac{-(2-m)\pm m}{2}$.
$\because m＜0$，$x_1＜x_2$，$\therefore x_1=m-1$，$x_2=-1$.
$\because x_2-2x_1=3$，$\therefore -1-2(m-1)=3$，解得$m=-1$，
即$m$的值为$-1$.
15 关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长.
(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案
(1)$△ ABC$是直角三角形.理由如下：
$\because$方程有两个相等的实数根，
$\therefore (2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$，
$\therefore 4b^2-4a^2+4c^2=0$，$\therefore a^2=b^2+c^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(2)$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$，
$\therefore (a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$可整理为$2ax^2+2ax=0$，
即$x^2+x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$.
$\because$方程有两个相等的实数根，
$\therefore (2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$，
$\therefore 4b^2-4a^2+4c^2=0$，$\therefore a^2=b^2+c^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(2)$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$，
$\therefore (a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$可整理为$2ax^2+2ax=0$，
即$x^2+x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$.
16 新考法 新定义问题（2026·南京鼓楼区月考）如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$满足$a+b+c=0$，那么称这样的方程为“美好方程”。例如，方程$x^2-4x+3=0$，$1-4+3=0$，则这个方程就是“美好方程”。
（1）下列方程是“美好方程”的是
①$x^2+2x-3=0$
②$x^2-3x=0$
③$x^2+1=0$
④$x(x-1)=2(x-1)$
（2）求证：“美好方程”$ax^2+bx+c=0$总有两个实数根；
（3）若美好方程$(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$有两个相等的实数根，求证：$a+c=2b$。
（1）下列方程是“美好方程”的是
①④
；①$x^2+2x-3=0$
②$x^2-3x=0$
③$x^2+1=0$
④$x(x-1)=2(x-1)$
（2）求证：“美好方程”$ax^2+bx+c=0$总有两个实数根；
（3）若美好方程$(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$有两个相等的实数根，求证：$a+c=2b$。
答案
(1)①④ [解析]方程$x^2+2x-3=0$，$1+2-3=0$，方程①是美好方程；
方程$x^2-3x=0$，$1-3=-2≠0$，方程②不是美好方程；
方程$x^2+1=0$，$1+1=2≠0$，方程③不是美好方程；
方程$x(x-1)=2(x-1)$，整理，得$x^2-3x+2=0$，$1-3+2=0$，方程④是美好方程.
(2)$\because$一元二次方程$ax^2+bx+c=0$是美好方程，
$\therefore a+b+c=0$，$\therefore -b=a+c$，
$\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0$，
$\therefore$“美好方程”$ax^2+bx+c=0$总有两个实数根.
(3)$\because$美好方程$(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$有两个相等的实数根，
$\therefore b^2-4ac=(c-a)^2-4(b-c)(a-b)=0$，
$\therefore c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc=0$，
$\therefore c^2+2ac+a^2-4ab-4bc+4b^2=0$，
$\therefore (c+a)^2-2(a+c)·(2b)+(2b)^2=0$，
$\therefore (c+a-2b)^2=0$，$\therefore c+a-2b=0$，
$\therefore a+c=2b$.
方程$x^2-3x=0$，$1-3=-2≠0$，方程②不是美好方程；
方程$x^2+1=0$，$1+1=2≠0$，方程③不是美好方程；
方程$x(x-1)=2(x-1)$，整理，得$x^2-3x+2=0$，$1-3+2=0$，方程④是美好方程.
(2)$\because$一元二次方程$ax^2+bx+c=0$是美好方程，
$\therefore a+b+c=0$，$\therefore -b=a+c$，
$\therefore b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0$，
$\therefore$“美好方程”$ax^2+bx+c=0$总有两个实数根.
(3)$\because$美好方程$(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$有两个相等的实数根，
$\therefore b^2-4ac=(c-a)^2-4(b-c)(a-b)=0$，
$\therefore c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc=0$，
$\therefore c^2+2ac+a^2-4ab-4bc+4b^2=0$，
$\therefore (c+a)^2-2(a+c)·(2b)+(2b)^2=0$，
$\therefore (c+a-2b)^2=0$，$\therefore c+a-2b=0$，
$\therefore a+c=2b$.
