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1 [2025广州荔湾期末]一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的2个红球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中。经大量试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则袋中球的个数为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. C
解析
【分析】
当进行大量重复试验时，某一事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此本题中摸到红球的频率0.4可近似看作摸到红球的概率。我们可以设袋中总球数为未知数，根据“红球概率=红球个数÷总球数”的概率计算公式列方程，求解即可得到袋中球的总个数。
【解析】
设袋中共有$ x $个球。
∵ 大量重复试验中，摸到红球的频率稳定在0.4
∴ 摸到红球的概率约为0.4
根据概率计算公式可得：
$\frac{2}{x}=0.4$
解得：$ x=2÷0.4=5 $
经检验，$ x=5 $是原方程的解，且符合实际意义。
因此袋中球的个数为5，故选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；概率计算公式
【点评】
本题是概率基础应用题，解题核心是掌握“大量重复试验中，稳定的频率可作为事件发生概率的估计值”这一结论，再结合概率公式列方程计算即可，解题时注意检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
当进行大量重复试验时，某一事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此本题中摸到红球的频率0.4可近似看作摸到红球的概率。我们可以设袋中总球数为未知数，根据“红球概率=红球个数÷总球数”的概率计算公式列方程，求解即可得到袋中球的总个数。
【解析】
设袋中共有$ x $个球。
∵ 大量重复试验中，摸到红球的频率稳定在0.4
∴ 摸到红球的概率约为0.4
根据概率计算公式可得：
$\frac{2}{x}=0.4$
解得：$ x=2÷0.4=5 $
经检验，$ x=5 $是原方程的解，且符合实际意义。
因此袋中球的个数为5，故选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；概率计算公式
【点评】
本题是概率基础应用题，解题核心是掌握“大量重复试验中，稳定的频率可作为事件发生概率的估计值”这一结论，再结合概率公式列方程计算即可，解题时注意检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
2 为调查某批乒乓球的质量，相关部门进行抽查，并绘制了如图所示的折线统计图。现在这批乒乓球中随机抽取1个，抽到“优等品”的概率约为
0.95
（结果精确到0.01）。答案
2. 0.95
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆用频率估计概率的相关原理：在大量重复试验中，某一事件发生的频率会逐渐稳定在一个固定数值附近，这个稳定的数值就可以作为该事件发生概率的估计值。接下来观察折线统计图的变化趋势：随着抽取乒乓球的数量不断增大，抽到“优等品”的频率虽然有小幅波动，但整体逐渐稳定在0.95附近，我们就用这个稳定的频率值来估计抽到“优等品”的概率，最后按要求精确到0.01即可。
【解析】
解：根据用频率估计概率的规律，当抽取乒乓球的试验次数足够多时，抽到“优等品”的频率会稳定在其概率附近。
观察折线统计图可知，随着抽取乒乓球个数的增加，抽到“优等品”的频率逐渐稳定在0.95附近，因此随机抽取1个乒乓球，抽到“优等品”的概率约为0.95。
【答案】
0.95
【知识点】
1. 用频率估计概率 2. 频率的稳定性
【点评】
本题主要考查利用频率估计概率的应用，解题的核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率，需要结合统计图读取频率的稳定趋势，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆用频率估计概率的相关原理：在大量重复试验中，某一事件发生的频率会逐渐稳定在一个固定数值附近，这个稳定的数值就可以作为该事件发生概率的估计值。接下来观察折线统计图的变化趋势：随着抽取乒乓球的数量不断增大，抽到“优等品”的频率虽然有小幅波动，但整体逐渐稳定在0.95附近，我们就用这个稳定的频率值来估计抽到“优等品”的概率，最后按要求精确到0.01即可。
【解析】
解：根据用频率估计概率的规律，当抽取乒乓球的试验次数足够多时，抽到“优等品”的频率会稳定在其概率附近。
观察折线统计图可知，随着抽取乒乓球个数的增加，抽到“优等品”的频率逐渐稳定在0.95附近，因此随机抽取1个乒乓球，抽到“优等品”的概率约为0.95。
【答案】
0.95
【知识点】
1. 用频率估计概率 2. 频率的稳定性
【点评】
本题主要考查利用频率估计概率的应用，解题的核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率，需要结合统计图读取频率的稳定趋势，难度较低。
【难度系数】
0.9
3 一个不透明的袋中装有红球、绿球各一个，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球.
（1）一题多解 求两次都摸到红球的概率.
（2）某数学兴趣小组在以上条件下，进行多次重复试验，结果如下表：
根据表中数据，估计两次都摸到红球的概率（结果精确到0.01）.
（3）根据以上内容，请说明频率与概率之间的关系.
（1）一题多解 求两次都摸到红球的概率.
（2）某数学兴趣小组在以上条件下，进行多次重复试验，结果如下表：
根据表中数据，估计两次都摸到红球的概率（结果精确到0.01）.
（3）根据以上内容，请说明频率与概率之间的关系.
答案
3. (1) 解法一:画树状图如图所示. 由图可知,共有4种等可能的结果,其中两次都摸到红球(记为事件A)的结果有1种,
∴ $P(A)=\frac{1}{4}$
解法二:列表如下：
| 第1次\第2次 | 红 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,绿) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,绿) |
由表可知,共有4种等可能的结果,其中两次都摸到红球(记为事件A)的结果有1种,
∴ $P(A)=\frac{1}{4}$
(2) 由表可得,两次都摸到红球的概率为0.25
(3) 当试验次数越来越多时,频率稳定在概率附近
解析
【分析】
（1）求两次放回摸球都摸到红球的概率，因为两次摸球结果独立且所有结果等可能，可通过树状图或列表法列举所有等可能结果，再统计符合“两次都是红球”的结果数，根据概率公式（概率=所求情况数÷总等可能情况数）计算即可。
（2）用频率估计概率时，试验次数越多，频率越趋近于真实概率，观察表格中试验次数增大时的频率波动趋势，即可估计对应概率。
（3）结合前两问的理论概率和试验频率的变化规律，即可总结出频率与概率的关系。
【解析】
（1）解法一：画树状图，由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球（记为事件A）的结果有1种，因此$P(A)=\frac{1}{4}$。
解法二：列表如下：
| 第1次\第2次 | 红 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,绿) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,绿) |
由表可知，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，因此$P(A)=\frac{1}{4}$。
（2）观察表格数据，随着试验次数从100增加到2000，两次都摸到红球的频率在0.25附近波动，逐渐稳定，因此估计两次都摸到红球的概率为0.25。
（3）在大量重复试验中，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在该事件的概率附近，因此可以通过大量重复试验，用频率估计事件发生的概率。
【答案】
3. (1) 解法一:画树状图如图所示. 由图可知,共有4种等可能的结果,其中两次都摸到红球(记为事件A)的结果有1种,
∴ $P(A)=\frac{1}{4}$
解法二:列表如下：
| 第1次\第2次 | 红 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,绿) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,绿) |
由表可知,共有4种等可能的结果,其中两次都摸到红球(记为事件A)的结果有1种,
∴ $P(A)=\frac{1}{4}$
(2) 由表可得,两次都摸到红球的概率为0.25
(3) 当试验次数越来越多时,频率稳定在概率附近
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 用频率估计概率
3. 频率与概率的关系
【点评】
本题结合摸球试验，既考查了等可能事件概率的计算方法，又考查了频率估计概率的核心原理，能帮助学生理清频率和概率的区别与联系，是概率板块的基础常规题。
【难度系数】
0.8
（1）求两次放回摸球都摸到红球的概率，因为两次摸球结果独立且所有结果等可能，可通过树状图或列表法列举所有等可能结果，再统计符合“两次都是红球”的结果数，根据概率公式（概率=所求情况数÷总等可能情况数）计算即可。
（2）用频率估计概率时，试验次数越多，频率越趋近于真实概率，观察表格中试验次数增大时的频率波动趋势，即可估计对应概率。
（3）结合前两问的理论概率和试验频率的变化规律，即可总结出频率与概率的关系。
【解析】
（1）解法一：画树状图，由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球（记为事件A）的结果有1种，因此$P(A)=\frac{1}{4}$。
解法二：列表如下：
| 第1次\第2次 | 红 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,绿) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,绿) |
由表可知，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，因此$P(A)=\frac{1}{4}$。
（2）观察表格数据，随着试验次数从100增加到2000，两次都摸到红球的频率在0.25附近波动，逐渐稳定，因此估计两次都摸到红球的概率为0.25。
（3）在大量重复试验中，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在该事件的概率附近，因此可以通过大量重复试验，用频率估计事件发生的概率。
【答案】
3. (1) 解法一:画树状图如图所示. 由图可知,共有4种等可能的结果,其中两次都摸到红球(记为事件A)的结果有1种,
∴ $P(A)=\frac{1}{4}$
解法二:列表如下：
| 第1次\第2次 | 红 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,绿) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,绿) |
由表可知,共有4种等可能的结果,其中两次都摸到红球(记为事件A)的结果有1种,
∴ $P(A)=\frac{1}{4}$
(2) 由表可得,两次都摸到红球的概率为0.25
(3) 当试验次数越来越多时,频率稳定在概率附近
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 用频率估计概率
3. 频率与概率的关系
【点评】
本题结合摸球试验，既考查了等可能事件概率的计算方法，又考查了频率估计概率的核心原理，能帮助学生理清频率和概率的区别与联系，是概率板块的基础常规题。
【难度系数】
0.8
4 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，其中黑球有5个。将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程。整理数据后，绘制了如图所示的统计图，经分析可以估计盒子里白球有
20
个。答案
4. 20
解析
【分析】
解决这道题的思路如下：首先回忆用频率估计概率的核心结论：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数就是事件发生概率的估计值。第一步先观察统计图，确定摸出黑球的频率稳定值，得到摸出黑球的概率；第二步结合概率公式，利用已知的黑球数量计算出盒子中球的总数量；第三步用总球数减去黑球数量，即可得到白球的数量。
【解析】
观察统计图可知，随着摸球总次数不断增加，摸出黑球的频率逐渐稳定在0.2附近，因此估计随机摸出一个球是黑球的概率为0.2。
设盒子中球的总个数为$ x $，已知黑球有5个，根据概率公式可得：
$\frac{5}{x}=0.2$
解得$ x=25 $
则白球的个数为：$ 25-5=20 $（个）
【答案】
20
【知识点】
用频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题是频率估计概率的基础应用题，解题核心是明确大量重复试验中频率的稳定值即为概率，再结合概率公式列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
解决这道题的思路如下：首先回忆用频率估计概率的核心结论：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数就是事件发生概率的估计值。第一步先观察统计图，确定摸出黑球的频率稳定值，得到摸出黑球的概率；第二步结合概率公式，利用已知的黑球数量计算出盒子中球的总数量；第三步用总球数减去黑球数量，即可得到白球的数量。
【解析】
观察统计图可知，随着摸球总次数不断增加，摸出黑球的频率逐渐稳定在0.2附近，因此估计随机摸出一个球是黑球的概率为0.2。
设盒子中球的总个数为$ x $，已知黑球有5个，根据概率公式可得：
$\frac{5}{x}=0.2$
解得$ x=25 $
则白球的个数为：$ 25-5=20 $（个）
【答案】
20
【知识点】
用频率估计概率，概率公式应用
【点评】
本题是频率估计概率的基础应用题，解题核心是明确大量重复试验中频率的稳定值即为概率，再结合概率公式列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
5 [2024衢州期中]据天气预报，某天A地的降雨概率为20％，B地的降雨概率为50％，小明根据A地降雨的概率设计了一个转盘模型来模拟试验(如图).请解答下面的问题：
（1）请你根据B地降雨的概率设计一个转盘模型来模拟试验；
（2）请利用设计的转盘模型求出某天A地，B地都下雨的概率.
（1）请你根据B地降雨的概率设计一个转盘模型来模拟试验；
（2）请利用设计的转盘模型求出某天A地，B地都下雨的概率.
答案
5. (1) 如图①所示
(2) 画树状图如图②所示
. 由图②可知,共有10种等可能的结果,其中某天A地,B地都下雨的情况有1种,∴ 某天A地,B地都下雨的概率为$\frac{1}{10}$
解析
【分析】
（1）设计B地的模拟转盘时，首先明确B地降雨概率为50%，即降雨情况占总情况的$\frac{1}{2}$，因此只需将圆形转盘平均分成2份，1份涂色代表下雨，另1份空白代表其他即可。
（2）计算A、B两地都下雨的概率时，首先明确A地转盘平均分为5份，1份对应下雨（概率20%），4份对应其他；B地转盘平均分为2份，1份对应下雨（概率50%），1份对应其他。通过树状图列出所有等可能的结果，再找出两地都下雨的结果数，最后根据“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
（1）B地降雨概率为50%，因此设计转盘时将整个圆平均分成2等份，阴影部分（代表下雨）占1份，空白部分（代表其他）占1份，即可满足模拟要求。
（2）A地转盘共5等份：1份代表下雨，4份代表其他；B地转盘共2等份：1份代表下雨，1份代表其他。
画树状图列出所有结果可知，总共有$5×2=10$种等可能的结果，其中A、B两地都下雨的结果只有1种，因此对应概率为符合条件的结果数除以总结果数。
【答案】
(1) 如图①所示
(2) 画树状图如图②所示. 由图②可知,共有10种等可能的结果,其中某天A地,B地都下雨的情况有1种,
∴ 某天A地,B地都下雨的概率为$\frac{1}{10}$
【知识点】
几何概率，树状图求概率，概率的意义
【点评】
本题结合生活中的天气预报场景，既考查了概率和转盘面积的对应关系，也考查了两步事件概率的计算方法，能够锻炼学生将知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）设计B地的模拟转盘时，首先明确B地降雨概率为50%，即降雨情况占总情况的$\frac{1}{2}$，因此只需将圆形转盘平均分成2份，1份涂色代表下雨，另1份空白代表其他即可。
（2）计算A、B两地都下雨的概率时，首先明确A地转盘平均分为5份，1份对应下雨（概率20%），4份对应其他；B地转盘平均分为2份，1份对应下雨（概率50%），1份对应其他。通过树状图列出所有等可能的结果，再找出两地都下雨的结果数，最后根据“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
（1）B地降雨概率为50%，因此设计转盘时将整个圆平均分成2等份，阴影部分（代表下雨）占1份，空白部分（代表其他）占1份，即可满足模拟要求。
（2）A地转盘共5等份：1份代表下雨，4份代表其他；B地转盘共2等份：1份代表下雨，1份代表其他。
画树状图列出所有结果可知，总共有$5×2=10$种等可能的结果，其中A、B两地都下雨的结果只有1种，因此对应概率为符合条件的结果数除以总结果数。
【答案】
(1) 如图①所示
(2) 画树状图如图②所示
. 由图②可知,共有10种等可能的结果,其中某天A地,B地都下雨的情况有1种,∴ 某天A地,B地都下雨的概率为$\frac{1}{10}$
【知识点】
几何概率，树状图求概率，概率的意义
【点评】
本题结合生活中的天气预报场景，既考查了概率和转盘面积的对应关系，也考查了两步事件概率的计算方法，能够锻炼学生将知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
