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6 有6名学生，其中七、八、九年级学生各2名。若从这6名学生中任意选取3名，用模拟试验估计选取的3名学生中两两不在同一年级的概率，则下列可以作为替代物进行模拟试验的是（
A.6个只有颜色不同的小球
B.2枚骰子
C.3枚硬币
D.6张只有正面颜色不同的卡片，其中红色、白色、黄色卡片各2张
D
）A.6个只有颜色不同的小球
B.2枚骰子
C.3枚硬币
D.6张只有正面颜色不同的卡片，其中红色、白色、黄色卡片各2张
答案
6. D
解析
【分析】
解决这类模拟试验替代物选择的问题，核心思路是：替代物的试验模型必须和原问题的所有约束条件完全匹配，才能保证模拟结果和原试验结果一致。首先我们先拆解原问题的核心条件：①总共有6个独立抽取对象，对应6名学生；②6个对象分为3类，每类恰好2个，对应七、八、九三个年级各2名学生，我们需要模拟从6个对象中抽3个、且3个分属不同类的概率。接下来只需逐一比对选项是否符合上述两个条件即可。
【解析】
首先明确原试验的约束条件：总抽取对象共6个，分为3组，每组2个，需抽取3个统计3个分属不同组的概率。
对各选项逐一分析：
A. 6个只有颜色不同的小球无“3类、每类2个”的分组特征，无法对应同一年级的学生，不符合要求，排除；
B. 2枚骰子仅能代表2个对象，不满足总共有6个抽取对象的要求，排除；
C. 3枚硬币仅能代表3个对象，且只有正反两种结果，无法对应“3个年级、每个年级2人”的分组结构，排除；
D. 6张卡片共3种颜色，每种颜色2张，恰好对应3个年级各2名学生，抽取3张卡片的试验结构和原抽取学生的试验完全一致，可以作为替代物，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 模拟试验替代物选取
2. 用频率估计概率
【点评】
本题考查模拟试验的设计原则，解题关键是抓住替代物需完全匹配原试验所有约束条件的核心要求，准确提炼原问题特征后逐一核对选项即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这类模拟试验替代物选择的问题，核心思路是：替代物的试验模型必须和原问题的所有约束条件完全匹配，才能保证模拟结果和原试验结果一致。首先我们先拆解原问题的核心条件：①总共有6个独立抽取对象，对应6名学生；②6个对象分为3类，每类恰好2个，对应七、八、九三个年级各2名学生，我们需要模拟从6个对象中抽3个、且3个分属不同类的概率。接下来只需逐一比对选项是否符合上述两个条件即可。
【解析】
首先明确原试验的约束条件：总抽取对象共6个，分为3组，每组2个，需抽取3个统计3个分属不同组的概率。
对各选项逐一分析：
A. 6个只有颜色不同的小球无“3类、每类2个”的分组特征，无法对应同一年级的学生，不符合要求，排除；
B. 2枚骰子仅能代表2个对象，不满足总共有6个抽取对象的要求，排除；
C. 3枚硬币仅能代表3个对象，且只有正反两种结果，无法对应“3个年级、每个年级2人”的分组结构，排除；
D. 6张卡片共3种颜色，每种颜色2张，恰好对应3个年级各2名学生，抽取3张卡片的试验结构和原抽取学生的试验完全一致，可以作为替代物，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 模拟试验替代物选取
2. 用频率估计概率
【点评】
本题考查模拟试验的设计原则，解题关键是抓住替代物需完全匹配原试验所有约束条件的核心要求，准确提炼原问题特征后逐一核对选项即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7 某地持续推进“绿色走廊”生态建设，为评估某本土树种在城区的移植成果情况，县园林绿化中心对近年来该树种移植成果进行跟踪统计，并绘制成如图所示的统计图。若该地区已经移植了这种树苗40 000棵，请根据统计图提供的信息，估计这种树苗成活的棵数为
36 000
。答案
7. 36 000
解析
【分析】
解题时首先明确：在大量重复试验中，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，我们可以用这个常数估计该事件发生的概率。观察统计图可发现，随着移植树苗数量的增多，这种树苗成活的频率逐渐稳定在0.9附近，因此可以估计该树苗的成活概率为0.9。后续只需用移植总棵数乘成活概率，即可得到估计成活的棵数。
【解析】
解：由统计图可知，随着移植数量的增加，该种树苗成活的频率稳定在0.9附近，因此估计这种树苗的成活概率为0.9。
已知移植总棵数为40000棵，因此估计成活的棵数为：
$40000×0.9=36000$（棵）
【答案】
36000
【知识点】
用频率估计概率，频率的稳定性
【点评】
本题是概率的实际应用类题目，解题核心是掌握大量重复试验下，频率的稳定值即为概率的估计值，再结合总数即可求出对应数量，注重对基础概念的理解和生活应用。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：在大量重复试验中，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，我们可以用这个常数估计该事件发生的概率。观察统计图可发现，随着移植树苗数量的增多，这种树苗成活的频率逐渐稳定在0.9附近，因此可以估计该树苗的成活概率为0.9。后续只需用移植总棵数乘成活概率，即可得到估计成活的棵数。
【解析】
解：由统计图可知，随着移植数量的增加，该种树苗成活的频率稳定在0.9附近，因此估计这种树苗的成活概率为0.9。
已知移植总棵数为40000棵，因此估计成活的棵数为：
$40000×0.9=36000$（棵）
【答案】
36000
【知识点】
用频率估计概率，频率的稳定性
【点评】
本题是概率的实际应用类题目，解题核心是掌握大量重复试验下，频率的稳定值即为概率的估计值，再结合总数即可求出对应数量，注重对基础概念的理解和生活应用。
【难度系数】
0.8
8 如图①，一张纸片上有一个不规则的图案，小雅想了解该图案的面积，她采取了以下方法：用一个长5 m、宽3 m的矩形，将不规则图案围起来，在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球落在界线上或矩形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，则估计此不规则图案的面积为
6
m²（结果精确到1 m²）。答案
8. 6
解析
【分析】
解题思路可分为两步：① 观察频率折线图，当试验次数足够大时，频率会稳定在某个数值附近，这个数值就是事件发生的概率，本题中试验次数增多后，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.4附近，因此估计该事件的概率为0.4；② 几何概率中，小球落在不规则图案上的概率等于不规则图案面积与矩形总面积的比值，先算出矩形总面积，再结合概率即可求出不规则图案的估计面积。
【解析】
第一步：计算矩形的总面积
已知矩形长为5m，宽为3m，因此矩形面积为：
$S_{矩形}=5×3=15(\mathrm{m}^2)$
第二步：确定事件的概率
观察折线统计图，随着试验次数不断增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定在0.4附近，根据频率估计概率的原理，估计小球落在不规则图案上的概率$P=0.4$。
第三步：计算不规则图案的面积
设不规则图案的面积为$S$，根据几何概率的计算公式$P=\frac{S}{S_{矩形}}$，代入数据得：
$0.4=\frac{S}{15}$
解得$S=15×0.4=6(\mathrm{m}^2)$
【答案】
6
【知识点】
频率估计概率，几何概率计算
【点评】
本题结合实际面积估算的场景，考查对频率与概率关系的理解及几何概率的应用，解题的关键是从折线图中提取频率的稳定值，再结合面积比等于对应事件概率的关系求解即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：① 观察频率折线图，当试验次数足够大时，频率会稳定在某个数值附近，这个数值就是事件发生的概率，本题中试验次数增多后，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.4附近，因此估计该事件的概率为0.4；② 几何概率中，小球落在不规则图案上的概率等于不规则图案面积与矩形总面积的比值，先算出矩形总面积，再结合概率即可求出不规则图案的估计面积。
【解析】
第一步：计算矩形的总面积
已知矩形长为5m，宽为3m，因此矩形面积为：
$S_{矩形}=5×3=15(\mathrm{m}^2)$
第二步：确定事件的概率
观察折线统计图，随着试验次数不断增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定在0.4附近，根据频率估计概率的原理，估计小球落在不规则图案上的概率$P=0.4$。
第三步：计算不规则图案的面积
设不规则图案的面积为$S$，根据几何概率的计算公式$P=\frac{S}{S_{矩形}}$，代入数据得：
$0.4=\frac{S}{15}$
解得$S=15×0.4=6(\mathrm{m}^2)$
【答案】
6
【知识点】
频率估计概率，几何概率计算
【点评】
本题结合实际面积估算的场景，考查对频率与概率关系的理解及几何概率的应用，解题的关键是从折线图中提取频率的稳定值，再结合面积比等于对应事件概率的关系求解即可。
【难度系数】
0.7
9 一个不透明的口袋中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数3,4,5,x.甲、乙两人每次同时从口袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上的数之和，记录后都将小球放回口袋中搅匀，进行重复试验.
（1）得到的部分试验数据如下表：
那么估计“和为8”出现的概率是
（2）如果摸出的这2个小球上的数之和为9的概率是$\frac{1}{3}$，那么x的值可以取7吗？请用画树状图或列表的方法说明理由.
（1）得到的部分试验数据如下表：
那么估计“和为8”出现的概率是
0.3
（结果精确到0.1）.（2）如果摸出的这2个小球上的数之和为9的概率是$\frac{1}{3}$，那么x的值可以取7吗？请用画树状图或列表的方法说明理由.
答案
9. (1) 0.3
(2) x的值不可以取7 理由:假设x的值为7,画树状图如图所示
. 由图,可知共有12种等可能的结果,其中数之和为9的结果有2种,∴ 摸出的这2个小球上的数之和为9的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
∵ $\frac{1}{6}≠\frac{1}{3}$,
∴ 假设不成立.
∴ x的值不可以取7.
解析
【分析】
（1）第一问考查用频率估计概率的原理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即可作为事件发生概率的估计值。观察表格数据可知，随着摸球总次数增加，“和为8”的频率稳定在0.33左右，按要求精确到0.1即可得到结果。
（2）第二问判断x是否可取7，可采用假设法验证：先假设x=7，通过画树状图列出所有等可能的结果，计算出两数和为9的概率，再与题目给出的$\frac{1}{3}$对比，若相等则x可取，否则不可取。
【解析】
（1）观察试验数据，随着摸球总次数不断增大，“和为8”出现的频率逐渐稳定在0.33附近，根据频率估计概率的原理，估计“和为8”出现的概率精确到0.1为0.3。
（2）假设x的值为7，画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中两个小球上的数之和为9的结果有2种，因此摸出的两个小球数之和为9的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
因为$\frac{1}{6}≠\frac{1}{3}$，所以假设不成立，即x的值不可以取7。
【答案】
(1) 0.3
(2) x的值不可以取7 理由:假设x的值为7,画树状图如图所示. 由图,可知共有12种等可能的结果,其中数之和为9的结果有2种,
∴ 摸出的这2个小球上的数之和为9的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
∵ $\frac{1}{6}≠\frac{1}{3}$,
∴ 假设不成立.
∴ x的值不可以取7.
【知识点】
频率估计概率，树状图法求概率，概率计算
【点评】
本题结合试验统计和概率验证两个场景，既考查了对频率稳定性的理解，又考查了用树状图计算等可能事件概率的方法，第二问的假设反向验证思路，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问考查用频率估计概率的原理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即可作为事件发生概率的估计值。观察表格数据可知，随着摸球总次数增加，“和为8”的频率稳定在0.33左右，按要求精确到0.1即可得到结果。
（2）第二问判断x是否可取7，可采用假设法验证：先假设x=7，通过画树状图列出所有等可能的结果，计算出两数和为9的概率，再与题目给出的$\frac{1}{3}$对比，若相等则x可取，否则不可取。
【解析】
（1）观察试验数据，随着摸球总次数不断增大，“和为8”出现的频率逐渐稳定在0.33附近，根据频率估计概率的原理，估计“和为8”出现的概率精确到0.1为0.3。
（2）假设x的值为7，画树状图如下
：由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中两个小球上的数之和为9的结果有2种，因此摸出的两个小球数之和为9的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
因为$\frac{1}{6}≠\frac{1}{3}$，所以假设不成立，即x的值不可以取7。
【答案】
(1) 0.3
(2) x的值不可以取7 理由:假设x的值为7,画树状图如图所示
. 由图,可知共有12种等可能的结果,其中数之和为9的结果有2种,∴ 摸出的这2个小球上的数之和为9的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
∵ $\frac{1}{6}≠\frac{1}{3}$,
∴ 假设不成立.
∴ x的值不可以取7.
【知识点】
频率估计概率，树状图法求概率，概率计算
【点评】
本题结合试验统计和概率验证两个场景，既考查了对频率稳定性的理解，又考查了用树状图计算等可能事件概率的方法，第二问的假设反向验证思路，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
