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1 一个不透明的盒子里有3个写有1,2,3的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从中一次摸出两个小球,两个小球上的数分别用a,b表示,将其代入方程组$\begin{cases}ax + by =13, \\x + y =5,\end{cases}$则方程组有正整数解的概率是 ______ .
答案
1. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
这是概率与二元一次方程组结合的综合题，解题思路分为三步：第一步先确定一次摸出两个小球时，(a,b)的所有等可能结果数；第二步将每组(a,b)代入方程组，通过消元法求解，判断解是否为正整数，统计符合条件的结果数；第三步根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算最终概率。
【解析】
1. 列举所有等可能的(a,b)组合：从标有1,2,3的三个小球中一次摸出两个，将两个数分别记为a、b，所有等可能的情况为：(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)，共6种。
2. 化简方程组：对$\begin{cases}ax + by =13 \\x + y =5\end{cases}$消元，由第二个方程得$y=5-x$，代入第一个方程整理得：$x=\frac{13-5b}{a-b}$，$y=5-x$，要求x、y均为正整数。
3. 逐一验证：
当(a,b)=(1,2)时，x=-3，不符合要求；
当(a,b)=(1,3)时，x=1，y=4，符合要求；
当(a,b)=(2,1)时，x=8，y=-3，不符合要求；
当(a,b)=(2,3)时，x=2，y=3，符合要求；
当(a,b)=(3,1)时，x=4，y=1，符合要求；
当(a,b)=(3,2)时，x=3，y=2，符合要求。
符合条件的情况共4种，因此概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
列举法求概率，二元一次方程组的解，概率公式
【点评】
本题考查概率与方程知识的综合应用，解题关键是准确列举所有等可能的(a,b)组合，再细心验证方程组解的条件，避免因漏算、错算导致失分。
【难度系数】
0.65
这是概率与二元一次方程组结合的综合题，解题思路分为三步：第一步先确定一次摸出两个小球时，(a,b)的所有等可能结果数；第二步将每组(a,b)代入方程组，通过消元法求解，判断解是否为正整数，统计符合条件的结果数；第三步根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算最终概率。
【解析】
1. 列举所有等可能的(a,b)组合：从标有1,2,3的三个小球中一次摸出两个，将两个数分别记为a、b，所有等可能的情况为：(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)，共6种。
2. 化简方程组：对$\begin{cases}ax + by =13 \\x + y =5\end{cases}$消元，由第二个方程得$y=5-x$，代入第一个方程整理得：$x=\frac{13-5b}{a-b}$，$y=5-x$，要求x、y均为正整数。
3. 逐一验证：
当(a,b)=(1,2)时，x=-3，不符合要求；
当(a,b)=(1,3)时，x=1，y=4，符合要求；
当(a,b)=(2,1)时，x=8，y=-3，不符合要求；
当(a,b)=(2,3)时，x=2，y=3，符合要求；
当(a,b)=(3,1)时，x=4，y=1，符合要求；
当(a,b)=(3,2)时，x=3，y=2，符合要求。
符合条件的情况共4种，因此概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
列举法求概率，二元一次方程组的解，概率公式
【点评】
本题考查概率与方程知识的综合应用，解题关键是准确列举所有等可能的(a,b)组合，再细心验证方程组解的条件，避免因漏算、错算导致失分。
【难度系数】
0.65
2 甲、乙两人在玩转盘游戏时，把如图所示的转盘A,B分别平均分成几个扇形，并在每个扇形内分别标上数字.游戏规定:转动两个转盘，当转盘停止转动时，指针必须指到某一数字，否则重转.
（1）请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）若指针所指的两个数字恰好为方程$x^2 -5x +6=0$的两个不相等的根，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程$x^2 -5x +6=0$的根，则乙获胜.两人谁获胜的概率大？
（1）请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）若指针所指的两个数字恰好为方程$x^2 -5x +6=0$的两个不相等的根，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程$x^2 -5x +6=0$的根，则乙获胜.两人谁获胜的概率大？
答案
2. (1)列表如下：
| A\B | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
(2) 方程$x^2 -5x +6=0$的根是$x_1=2,x_2=3$. 由(1),可知指针所指的两个数字共有12种等可能的结果,其中指针所指的两个数字恰好为方程$x^2 -5x +6=0$的两个不相等的根的结果有2种,指针所指的两个数字都不是方程$x^2 -5x +6=0$的根的结果有2种,$\therefore P(甲获胜)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6},P(乙获胜)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
$\because \frac{1}{6}=\frac{1}{6},\therefore$ 两人获胜的概率相等
| A\B | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
(2) 方程$x^2 -5x +6=0$的根是$x_1=2,x_2=3$. 由(1),可知指针所指的两个数字共有12种等可能的结果,其中指针所指的两个数字恰好为方程$x^2 -5x +6=0$的两个不相等的根的结果有2种,指针所指的两个数字都不是方程$x^2 -5x +6=0$的根的结果有2种,$\therefore P(甲获胜)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6},P(乙获胜)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
$\because \frac{1}{6}=\frac{1}{6},\therefore$ 两人获胜的概率相等
解析
【分析】
（1）要列出两个转盘转动后的所有可能结果，首先明确转盘A有1、2、3、4共4种等可能结果，转盘B有2、3、4共3种等可能结果，总共有12种等可能组合，用列表法可以清晰呈现所有结果。（2）判断谁获胜概率大，首先需要求解一元二次方程得到它的根，再分别从所有结果中筛选出符合甲获胜、乙获胜条件的结果数，根据概率公式计算两人的获胜概率，比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）列表如下：
| A\B | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
（2）解方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2,x_2=3$。
由（1）可知共有12种等可能的结果：
其中指针所指两个数字恰好为方程两个不相等的根的结果有2种：(2,3)、(3,2)，因此$P(甲获胜)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$；
指针所指两个数字都不是方程的根的结果有2种：(1,4)、(4,4)，因此$P(乙获胜)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
因为$\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$，所以两人获胜的概率相等。
【答案】
(1) 所有等可能结果为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,2)、(4,3)、(4,4)；
(2) 两人获胜的概率相等。
【知识点】
列表法求概率，解一元二次方程，概率计算
【点评】
本题是概率与方程的综合基础题，既考查了列举等可能事件的能力，也考查了一元二次方程求解和概率公式的应用，解题时要注意准确筛选符合条件的结果，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
（1）要列出两个转盘转动后的所有可能结果，首先明确转盘A有1、2、3、4共4种等可能结果，转盘B有2、3、4共3种等可能结果，总共有12种等可能组合，用列表法可以清晰呈现所有结果。（2）判断谁获胜概率大，首先需要求解一元二次方程得到它的根，再分别从所有结果中筛选出符合甲获胜、乙获胜条件的结果数，根据概率公式计算两人的获胜概率，比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）列表如下：
| A\B | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
（2）解方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2,x_2=3$。
由（1）可知共有12种等可能的结果：
其中指针所指两个数字恰好为方程两个不相等的根的结果有2种：(2,3)、(3,2)，因此$P(甲获胜)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$；
指针所指两个数字都不是方程的根的结果有2种：(1,4)、(4,4)，因此$P(乙获胜)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
因为$\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$，所以两人获胜的概率相等。
【答案】
(1) 所有等可能结果为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,2)、(4,3)、(4,4)；
(2) 两人获胜的概率相等。
【知识点】
列表法求概率，解一元二次方程，概率计算
【点评】
本题是概率与方程的综合基础题，既考查了列举等可能事件的能力，也考查了一元二次方程求解和概率公式的应用，解题时要注意准确筛选符合条件的结果，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
3 现将背面完全相同，正面分别标有数1，0，-2，-3的四张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数记为m；将卡片放回，混合均匀后再从中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数m，n使得关于x的一元一次不等式$mx+3n＞2$的解一定都大于2的概率是
$\frac{3}{16}$
。答案
3. $\frac{3}{16}$
解析
【分析】
这是概率与一元一次不等式综合的题目，解题思路如下：首先确定总结果数，因为是有放回抽取两次卡片，每次有4种可能，所以共有4×4=16种等可能的(m,n)组合；其次分析不等式的解集要求：解一元一次不等式时要注意系数m的正负会改变不等号方向，先排除m≤0的情况：m=0时若不等式成立，x可取任意值，不符合解都大于2的要求；m为负数时，不等式解集为x小于某个常数，不可能所有解都大于2，因此仅m＞0即m=1符合前提；最后当m=1时，不等式解集为x＞2-3n，要让所有解都大于2，需边界值2-3n≥2，求出符合条件的n值，统计符合条件的组合数后用概率公式计算即可。
【解析】
解：有放回抽取两次卡片，所有等可能的(m,n)组合共有4×4=16种。
对不等式$mx+3n＞2$移项得：$mx＞2-3n$，分情况讨论：
1. 若$m=0$，不等式变为$0＞2-3n$，若不等式成立则x可取任意实数，解不都大于2，不符合要求；
2. 若$m＜0$（即m=-2或m=-3），系数化1时不等号方向翻转，解集为$x＜\frac{2-3n}{m}$，所有解都小于某个常数，不可能都大于2，不符合要求；
3. 若$m＞0$，即$m=1$，系数化1得$x＞2-3n$，要使所有解都大于2，需满足$2-3n≥2$，解得$n≤0$。
n的可选值为1、0、-2、-3，满足$n≤0$的有0、-2、-3共3种，即符合条件的(m,n)为(1,0)、(1,-2)、(1,-3)，共3种。
因此所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{3}{16}$。
【答案】
$\frac{3}{16}$
【知识点】
概率计算、解一元一次不等式
【点评】
本题将概率计算和一元一次不等式的性质结合考查，解题的关键是注意解不等式时系数正负对不等号方向的影响，需要先对参数分类讨论，再结合解集要求筛选符合条件的组合，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
这是概率与一元一次不等式综合的题目，解题思路如下：首先确定总结果数，因为是有放回抽取两次卡片，每次有4种可能，所以共有4×4=16种等可能的(m,n)组合；其次分析不等式的解集要求：解一元一次不等式时要注意系数m的正负会改变不等号方向，先排除m≤0的情况：m=0时若不等式成立，x可取任意值，不符合解都大于2的要求；m为负数时，不等式解集为x小于某个常数，不可能所有解都大于2，因此仅m＞0即m=1符合前提；最后当m=1时，不等式解集为x＞2-3n，要让所有解都大于2，需边界值2-3n≥2，求出符合条件的n值，统计符合条件的组合数后用概率公式计算即可。
【解析】
解：有放回抽取两次卡片，所有等可能的(m,n)组合共有4×4=16种。
对不等式$mx+3n＞2$移项得：$mx＞2-3n$，分情况讨论：
1. 若$m=0$，不等式变为$0＞2-3n$，若不等式成立则x可取任意实数，解不都大于2，不符合要求；
2. 若$m＜0$（即m=-2或m=-3），系数化1时不等号方向翻转，解集为$x＜\frac{2-3n}{m}$，所有解都小于某个常数，不可能都大于2，不符合要求；
3. 若$m＞0$，即$m=1$，系数化1得$x＞2-3n$，要使所有解都大于2，需满足$2-3n≥2$，解得$n≤0$。
n的可选值为1、0、-2、-3，满足$n≤0$的有0、-2、-3共3种，即符合条件的(m,n)为(1,0)、(1,-2)、(1,-3)，共3种。
因此所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{3}{16}$。
【答案】
$\frac{3}{16}$
【知识点】
概率计算、解一元一次不等式
【点评】
本题将概率计算和一元一次不等式的性质结合考查，解题的关键是注意解不等式时系数正负对不等号方向的影响，需要先对参数分类讨论，再结合解集要求筛选符合条件的组合，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4 有四张正面分别标有数－2，－6，2，6 的不透明卡片，它们除了数不同外其余都相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数记为b.求关于x 的不等式组
$\begin{cases}\frac{3x - 2}{2} ＜ x + \frac{5}{2}, \\ax ＞ b\end{cases}$
的解集中有且只有3个非负整数解的概率.
$\begin{cases}\frac{3x - 2}{2} ＜ x + \frac{5}{2}, \\ax ＞ b\end{cases}$
的解集中有且只有3个非负整数解的概率.
答案
4. 画树状图如图所示.
由图,可知$(a,b)$的等可能的结果有$(-2,-6),(-2,2),(-2,6),(-6,-2),(-6,2),(-6,6),(2,-2),(2,-6),(2,6),(6,-2),(6,-6),(6,2)$,共12种. 解$\frac{3x-2}{2}＜x+\frac{5}{2}$,得$x＜7$. 当$a＞0$时,解$ax＞b$,得$x＞\frac{b}{a}$. $\because$ 不等式组的解集中有且只有3个非负整数解, $\therefore 3＜x＜7$.$\therefore \frac{b}{a}=3$,即$b=6,a=2$符合要求. 当$a＜0$时,$x＜\frac{b}{a}$. $\because$ 不等式组的解集中有且只有3个非负整数解, $\therefore x＜3$. $\therefore \frac{b}{a}=3$,即$b=-6,a=-2$符合要求. $\therefore$ 所有结果中只有2种结果符合要求. $\therefore$ 关于$x$ 的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题是概率与一元一次不等式组的综合题，解题可按以下步骤思考：①首先通过树状图列举出不放回抽取两张卡片得到(a,b)的所有等可能结果，确定总情况数；②先求解不含参数的不等式，得到x的取值范围；③由于a的正负会改变含参不等式ax＞b的不等号方向，因此分a＞0和a＜0两类讨论，结合“解集中有且只有3个非负整数解”的条件，推导a、b的取值关系，筛选出符合要求的(a,b)组合；④最后根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率。
【解析】
画树状图如图所示.
由树状图可知，不放回抽取两张卡片，(a,b)的等可能结果有$(-2,-6),(-2,2),(-2,6),(-6,-2),(-6,2),(-6,6),(2,-2),(2,-6),(2,6),(6,-2),(6,-6),(6,2)$，共12种。
先解不等式$\frac{3x - 2}{2} ＜ x + \frac{5}{2}$：
两边同乘2去分母，得$3x - 2 ＜ 2x + 5$，
移项合并同类项，得$x ＜ 7$。
接下来分情况讨论含参不等式$ax ＞ b$：
1. 当$a＞0$时，不等式$ax ＞ b$的解集为$x ＞ \frac{b}{a}$，此时不等式组的解集为$\frac{b}{a} ＜ x ＜ 7$。
要使解集中有且只有3个非负整数解，这3个非负整数为4、5、6，因此需满足$3 ≤ \frac{b}{a} ＜ 4$，结合卡片上的数值，仅当$a=2,b=6$时$\frac{b}{a}=3$，符合要求。
2. 当$a＜0$时，不等式$ax ＞ b$的解集为$x ＜ \frac{b}{a}$，此时不等式组的解集为$x ＜ \frac{b}{a}$。
要使解集中有且只有3个非负整数解，这3个非负整数为0、1、2，因此需满足$2 ＜ \frac{b}{a} ≤ 3$，结合卡片上的数值，仅当$a=-2,b=-6$时$\frac{b}{a}=3$，符合要求。
综上，符合条件的(a,b)共有2种，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
树状图法求概率，解一元一次不等式组，概率公式
【点评】
本题综合考查了概率计算和含参数的一元一次不等式组的求解，解题的关键是明确a的正负对不等号方向的影响，结合非负整数解的个数准确判断参数的取值范围，同时要注意不放回抽取的条件，避免计数错误。
【难度系数】
0.5
本题是概率与一元一次不等式组的综合题，解题可按以下步骤思考：①首先通过树状图列举出不放回抽取两张卡片得到(a,b)的所有等可能结果，确定总情况数；②先求解不含参数的不等式，得到x的取值范围；③由于a的正负会改变含参不等式ax＞b的不等号方向，因此分a＞0和a＜0两类讨论，结合“解集中有且只有3个非负整数解”的条件，推导a、b的取值关系，筛选出符合要求的(a,b)组合；④最后根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率。
【解析】
画树状图如图所示.
由树状图可知，不放回抽取两张卡片，(a,b)的等可能结果有$(-2,-6),(-2,2),(-2,6),(-6,-2),(-6,2),(-6,6),(2,-2),(2,-6),(2,6),(6,-2),(6,-6),(6,2)$，共12种。
先解不等式$\frac{3x - 2}{2} ＜ x + \frac{5}{2}$：
两边同乘2去分母，得$3x - 2 ＜ 2x + 5$，
移项合并同类项，得$x ＜ 7$。
接下来分情况讨论含参不等式$ax ＞ b$：
1. 当$a＞0$时，不等式$ax ＞ b$的解集为$x ＞ \frac{b}{a}$，此时不等式组的解集为$\frac{b}{a} ＜ x ＜ 7$。
要使解集中有且只有3个非负整数解，这3个非负整数为4、5、6，因此需满足$3 ≤ \frac{b}{a} ＜ 4$，结合卡片上的数值，仅当$a=2,b=6$时$\frac{b}{a}=3$，符合要求。
2. 当$a＜0$时，不等式$ax ＞ b$的解集为$x ＜ \frac{b}{a}$，此时不等式组的解集为$x ＜ \frac{b}{a}$。
要使解集中有且只有3个非负整数解，这3个非负整数为0、1、2，因此需满足$2 ＜ \frac{b}{a} ≤ 3$，结合卡片上的数值，仅当$a=-2,b=-6$时$\frac{b}{a}=3$，符合要求。
综上，符合条件的(a,b)共有2种，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
树状图法求概率，解一元一次不等式组，概率公式
【点评】
本题综合考查了概率计算和含参数的一元一次不等式组的求解，解题的关键是明确a的正负对不等号方向的影响，结合非负整数解的个数准确判断参数的取值范围，同时要注意不放回抽取的条件，避免计数错误。
【难度系数】
0.5
