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6 用如图所示的两个可以自由转动且均匀的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘.若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色，则可配成紫色的概率是 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{7}{12}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{7}{12}$
答案
6. C
解析
【分析】
要解决配紫色的概率问题，首先明确配成紫色的条件是两个转盘恰好一个转出红色、一个转出蓝色，共分两种互斥的情况：①左侧转盘转出红色，右侧转盘转出蓝色；②左侧转盘转出蓝色，右侧转盘转出红色。接下来先根据几何概率的计算方法（区域圆心角占周角的比值），分别算出两个转盘转出红色、蓝色的概率；再依据独立事件同时发生的概率等于各事件概率的乘积，算出两种符合要求的情况各自的概率；最后将两个概率相加，即可得到配成紫色的总概率。
【解析】
首先计算两个转盘转出对应颜色的概率：
1. 左侧转盘：红色区域圆心角为90°，
因此$P(左红)=\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$，$P(左蓝)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
2. 右侧转盘：红色区域圆心角为120°，
因此$P(右红)=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(右蓝)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
配成紫色包含两种互斥的情况，分别计算概率再求和：
$P(配成紫色)=P(左红右蓝)+P(左蓝右红)$
$=\frac{1}{4}×\frac{2}{3}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$
$=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$
【答案】
C
【知识点】
几何概率计算；两步试验概率；概率加法原理
【点评】
本题是概率应用的典型题型，解题核心是先完整枚举符合要求的所有事件，再结合几何概率的计算方法求出各事件的概率，最后求和得到结果，注意不要漏算其中某一种符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
要解决配紫色的概率问题，首先明确配成紫色的条件是两个转盘恰好一个转出红色、一个转出蓝色，共分两种互斥的情况：①左侧转盘转出红色，右侧转盘转出蓝色；②左侧转盘转出蓝色，右侧转盘转出红色。接下来先根据几何概率的计算方法（区域圆心角占周角的比值），分别算出两个转盘转出红色、蓝色的概率；再依据独立事件同时发生的概率等于各事件概率的乘积，算出两种符合要求的情况各自的概率；最后将两个概率相加，即可得到配成紫色的总概率。
【解析】
首先计算两个转盘转出对应颜色的概率：
1. 左侧转盘：红色区域圆心角为90°，
因此$P(左红)=\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$，$P(左蓝)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
2. 右侧转盘：红色区域圆心角为120°，
因此$P(右红)=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(右蓝)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
配成紫色包含两种互斥的情况，分别计算概率再求和：
$P(配成紫色)=P(左红右蓝)+P(左蓝右红)$
$=\frac{1}{4}×\frac{2}{3}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$
$=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$
【答案】
C
【知识点】
几何概率计算；两步试验概率；概率加法原理
【点评】
本题是概率应用的典型题型，解题核心是先完整枚举符合要求的所有事件，再结合几何概率的计算方法求出各事件的概率，最后求和得到结果，注意不要漏算其中某一种符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
7 如图所示为三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上相应的颜色.小强和小亮用转盘A和转盘B做一个转盘游戏:同时转动两个转盘,若其中一个指针指向红色,另一个指针指向蓝色(红色与蓝色能配成紫色),则小强获胜;若两个转盘指针指向的颜色相同,则小亮获胜;在其他情况下,小强和小亮不分胜负.
(1) 用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能的结果.
(2) 小强认为此游戏不公平,为什么?
(3) 请你在转盘C的空白处,涂上适当颜色,使得用转盘C替换转盘B后,游戏对小强和小亮是公平的(在空白处填写表示颜色的文字即可,不需要说明理由).
(1) 用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能的结果.
(2) 小强认为此游戏不公平,为什么?
(3) 请你在转盘C的空白处,涂上适当颜色,使得用转盘C替换转盘B后,游戏对小强和小亮是公平的(在空白处填写表示颜色的文字即可,不需要说明理由).
答案
7. (1) 画树状图如图①
所示. 由图①,可知共有15种等可能的结果(2) 由(1),得共有15种等可能的结果,其中能配成紫色的结果有3种,两个转盘指针指向的颜色相同的结果有4种,$\therefore$ 小强获胜的概率为$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$,小亮获胜的概率为$\frac{4}{15}$.$\because \frac{1}{5} ≠ \frac{4}{15}$,$\therefore$ 此游戏不公平
(3) 答案不唯一,如图②
所示解析
【分析】
(1) 要表示两个转盘转动的所有可能结果，可采用树状图法：先列出转盘A的所有等可能结果，再对每个结果列出转盘B的所有等可能结果，即可得到全部等可能情况。
(2) 判断游戏是否公平，需分别计算小强和小亮获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平。先从所有等可能结果中分别统计符合两人获胜条件的结果数，再根据概率公式计算概率比较即可。
(3) 要使游戏公平，需调整转盘C的颜色，让小强、小亮获胜的概率相等，调整时保证两种获胜事件对应的结果数满足概率相等的要求即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 转盘A有红、黄、蓝3种等可能结果，转盘B有红、黄、蓝、白、蓝5种等可能结果，画树状图统计所有情况，可得所有等可能的结果共有$3×5=15$种。
(2) 统计符合获胜条件的结果数：
① 小强获胜（一红一蓝）的情况：转盘A指向红、转盘B指向蓝共2种，转盘A指向蓝、转盘B指向红共1种，合计3种，因此小强获胜的概率$P_{\mathrm{小强}}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。
② 小亮获胜（颜色相同）的情况：均为红1种、均为黄1种、均为蓝2种，合计4种，因此小亮获胜的概率$P_{\mathrm{小亮}}=\frac{4}{15}$。
由于$\frac{1}{5} ≠ \frac{4}{15}$，两人获胜概率不相等，因此该游戏不公平。
(3) 调整转盘C的颜色，使小强和小亮获胜的概率相等即可，答案不唯一。
【答案】
(1) 画树状图如图①所示，共有15种等可能的结果。
(2) 小强获胜的概率为$\frac{1}{5}$，小亮获胜的概率为$\frac{4}{15}$，$\frac{1}{5} ≠ \frac{4}{15}$，因此游戏不公平。
(3) 答案不唯一，示例如图②所示。
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题以转盘游戏为载体考查概率的相关应用，解题核心是准确列举所有等可能的结果，再根据概率公式计算对应事件的概率；游戏公平性的判断本质是比较双方获胜概率是否相等，最后一问为开放性问题，只要满足公平要求即可，整体注重对基础计数和概率计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要表示两个转盘转动的所有可能结果，可采用树状图法：先列出转盘A的所有等可能结果，再对每个结果列出转盘B的所有等可能结果，即可得到全部等可能情况。
(2) 判断游戏是否公平，需分别计算小强和小亮获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平。先从所有等可能结果中分别统计符合两人获胜条件的结果数，再根据概率公式计算概率比较即可。
(3) 要使游戏公平，需调整转盘C的颜色，让小强、小亮获胜的概率相等，调整时保证两种获胜事件对应的结果数满足概率相等的要求即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 转盘A有红、黄、蓝3种等可能结果，转盘B有红、黄、蓝、白、蓝5种等可能结果，画树状图统计所有情况，可得所有等可能的结果共有$3×5=15$种。
(2) 统计符合获胜条件的结果数：
① 小强获胜（一红一蓝）的情况：转盘A指向红、转盘B指向蓝共2种，转盘A指向蓝、转盘B指向红共1种，合计3种，因此小强获胜的概率$P_{\mathrm{小强}}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。
② 小亮获胜（颜色相同）的情况：均为红1种、均为黄1种、均为蓝2种，合计4种，因此小亮获胜的概率$P_{\mathrm{小亮}}=\frac{4}{15}$。
由于$\frac{1}{5} ≠ \frac{4}{15}$，两人获胜概率不相等，因此该游戏不公平。
(3) 调整转盘C的颜色，使小强和小亮获胜的概率相等即可，答案不唯一。
【答案】
(1) 画树状图如图①
所示，共有15种等可能的结果。(2) 小强获胜的概率为$\frac{1}{5}$，小亮获胜的概率为$\frac{4}{15}$，$\frac{1}{5} ≠ \frac{4}{15}$，因此游戏不公平。
(3) 答案不唯一，示例如图②
所示。【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题以转盘游戏为载体考查概率的相关应用，解题核心是准确列举所有等可能的结果，再根据概率公式计算对应事件的概率；游戏公平性的判断本质是比较双方获胜概率是否相等，最后一问为开放性问题，只要满足公平要求即可，整体注重对基础计数和概率计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
1 [2025辽宁]一个不透明的袋子中装有红球、黄球各一个，这两个球除颜色外都相同。从中随机摸出一个球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸出相同颜色的球的概率为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1. C
解析
【分析】
本题是放回型的两次摸球概率问题，解题思路如下：首先明确该试验为放回试验，第一次摸球的结果不会影响第二次摸球的结果，两次摸球各自都有2种等可能结果；其次可通过树状图或列表法列举出两次摸球的所有等可能总结果；接着统计出两次摸出球颜色相同的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得出答案。
【解析】
用树状图列举所有等可能的结果：
第一次摸球： 红 黄
第二次摸球： 红 黄 红 黄
可得所有等可能的结果为：（红，红）、（红，黄）、（黄，红）、（黄，黄），共4种。
其中两次摸出相同颜色的球的结果有2种：（红，红）、（黄，黄）。
根据概率公式计算：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 树状图法求概率
2. 概率计算公式
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查放回型两步随机事件的概率计算，熟练掌握用树状图或列表法不重不漏地列举所有等可能结果是解题的核心，整体解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题是放回型的两次摸球概率问题，解题思路如下：首先明确该试验为放回试验，第一次摸球的结果不会影响第二次摸球的结果，两次摸球各自都有2种等可能结果；其次可通过树状图或列表法列举出两次摸球的所有等可能总结果；接着统计出两次摸出球颜色相同的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得出答案。
【解析】
用树状图列举所有等可能的结果：
第一次摸球： 红 黄
第二次摸球： 红 黄 红 黄
可得所有等可能的结果为：（红，红）、（红，黄）、（黄，红）、（黄，黄），共4种。
其中两次摸出相同颜色的球的结果有2种：（红，红）、（黄，黄）。
根据概率公式计算：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 树状图法求概率
2. 概率计算公式
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查放回型两步随机事件的概率计算，熟练掌握用树状图或列表法不重不漏地列举所有等可能结果是解题的核心，整体解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
2 [2024 山西]一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是 （
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道不放回摸球的概率计算问题，解题思路如下：首先明确该试验属于等可能事件，两次摸球不放回，我们可以通过列举法（列表或画树状图）列出所有等可能的摸球结果，再从中筛选出“两次摸到的球恰好有一个红球”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。解题时要注意区分“放回”和“不放回”的差异，避免列举结果出错。
【解析】
将三个球分别记为红、白、绿，由于是不放回摸球，第一次摸球有3种等可能结果，第二次摸球剩余2种等可能结果，总共有3×2=6种等可能的摸球结果，分别为：(红,白)、(红,绿)、(白,红)、(白,绿)、(绿,红)、(绿,白)。
其中满足“两次摸到的球恰好有一个红球”的结果有4种：(红,白)、(红,绿)、(白,红)、(绿,红)。
根据概率公式可得，所求概率为 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率，不放回试验概率计算，概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查等可能事件概率的求解方法，解题的关键是准确梳理不放回试验的所有等可能结果，避免混淆放回与不放回的试验规则导致计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道不放回摸球的概率计算问题，解题思路如下：首先明确该试验属于等可能事件，两次摸球不放回，我们可以通过列举法（列表或画树状图）列出所有等可能的摸球结果，再从中筛选出“两次摸到的球恰好有一个红球”的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。解题时要注意区分“放回”和“不放回”的差异，避免列举结果出错。
【解析】
将三个球分别记为红、白、绿，由于是不放回摸球，第一次摸球有3种等可能结果，第二次摸球剩余2种等可能结果，总共有3×2=6种等可能的摸球结果，分别为：(红,白)、(红,绿)、(白,红)、(白,绿)、(绿,红)、(绿,白)。
其中满足“两次摸到的球恰好有一个红球”的结果有4种：(红,白)、(红,绿)、(白,红)、(绿,红)。
根据概率公式可得，所求概率为 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率，不放回试验概率计算，概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查等可能事件概率的求解方法，解题的关键是准确梳理不放回试验的所有等可能结果，避免混淆放回与不放回的试验规则导致计算错误。
【难度系数】
0.7
3 [2025 大庆]2025 年国产 AI 大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注.若小庆从“豆包”“腾讯元宝”“即梦 AI”“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为
$\frac{1}{6}$
.答案
3. $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步，明确所有等可能的总情况数，我们可以通过列举法列出从4种软件中任选2种的所有组合；第二步，找出符合“选取的两种软件为豆包和腾讯元宝”的情况数；第三步，代入概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可得到结果。
【解析】
我们将四种软件分别记为：A（豆包）、B（腾讯元宝）、C（即梦AI）、D（文心一言）。
从4种软件中随机选取2种，所有等可能的结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中恰好选取到“豆包”和“腾讯元宝”的结果只有AB这1种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{选取豆包和腾讯元宝})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法计数
【点评】
本题是概率基础应用题，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的情况，熟练掌握概率的基本计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步，明确所有等可能的总情况数，我们可以通过列举法列出从4种软件中任选2种的所有组合；第二步，找出符合“选取的两种软件为豆包和腾讯元宝”的情况数；第三步，代入概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可得到结果。
【解析】
我们将四种软件分别记为：A（豆包）、B（腾讯元宝）、C（即梦AI）、D（文心一言）。
从4种软件中随机选取2种，所有等可能的结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中恰好选取到“豆包”和“腾讯元宝”的结果只有AB这1种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{选取豆包和腾讯元宝})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列举法计数
【点评】
本题是概率基础应用题，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的情况，熟练掌握概率的基本计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
