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10 已知$a＜-1$，点$(a-1,y_1),(a,y_2),(a+1,y_3)$都在函数$y=-x^2$的图象上，则下列结论正确的是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
A
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=-x^2$的图象性质：该函数开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大。接下来结合已知条件$a＜-1$，判断三个点的横坐标的大小和取值范围：可推出$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，即三个点都在对称轴左侧的单调递增区间，最后根据函数的增减性即可比较三个函数值的大小。也可以通过代入符合条件的特殊值$a$，直接计算$y_1,y_2,y_3$的大小验证结果。
【解析】
步骤1：分析二次函数$y=-x^2$的性质
函数$y=-x^2$的二次项系数为$-1＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=0$，在$x＜0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
步骤2：判断三个点横坐标的大小和范围
已知$a＜-1$，则$a+1 ＜ -1+1=0$，因此三个点的横坐标满足$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，均位于对称轴左侧的递增区间。
步骤3：根据增减性比较函数值大小
因为$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，横坐标越小对应函数值越小，因此$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$。
所以正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；函数值大小比较
【点评】
本题核心是利用二次函数的增减性比较函数值，解题的关键是先确定三点的横坐标都在同一单调区间，再结合单调性判断大小，也可通过特殊值代入法快速验证结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数$y=-x^2$的图象性质：该函数开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大。接下来结合已知条件$a＜-1$，判断三个点的横坐标的大小和取值范围：可推出$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，即三个点都在对称轴左侧的单调递增区间，最后根据函数的增减性即可比较三个函数值的大小。也可以通过代入符合条件的特殊值$a$，直接计算$y_1,y_2,y_3$的大小验证结果。
【解析】
步骤1：分析二次函数$y=-x^2$的性质
函数$y=-x^2$的二次项系数为$-1＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=0$，在$x＜0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
步骤2：判断三个点横坐标的大小和范围
已知$a＜-1$，则$a+1 ＜ -1+1=0$，因此三个点的横坐标满足$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，均位于对称轴左侧的递增区间。
步骤3：根据增减性比较函数值大小
因为$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，横坐标越小对应函数值越小，因此$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$。
所以正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；函数值大小比较
【点评】
本题核心是利用二次函数的增减性比较函数值，解题的关键是先确定三点的横坐标都在同一单调区间，再结合单调性判断大小，也可通过特殊值代入法快速验证结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
11 当$ab＞0$时，$y=-x^2$与$y=ax+b$的大致图象可能是（
）
）答案
D
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步，先确定已知二次函数$y=-x^2$的图象特征，其二次项系数为-1＜0，因此抛物线开口向下，可先排除开口向上的选项；第二步，根据$ab＞0$可知$a$和$b$同号（同正或同负），再结合一次函数$y=ax+b$的斜率（对应$a$的符号）、与$y$轴的交点纵坐标（对应$b$的符号）判断剩余选项是否符合条件，最终选出正确答案。
【解析】
1. 分析二次函数$y=-x^2$的图象：
二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，选项A、B中抛物线开口向上，直接排除A、B。
2. 结合$ab＞0$的条件分析剩余选项：
$ab＞0$说明$a$与$b$符号相同。
选项C：一次函数图象呈上升趋势，因此斜率$a＞0$；一次函数与$y$轴交于负半轴，因此截距$b＜0$，此时$a$、$b$异号，$ab＜0$，不符合条件，排除C。
选项D：一次函数图象呈下降趋势，因此斜率$a＜0$；一次函数与$y$轴交于负半轴，因此截距$b＜0$，此时$a$、$b$同号，$ab＞0$，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、有理数乘法符号法则
【点评】
本题是典型的函数图象辨析题，解题时先通过确定的二次函数解析式缩小可选范围，再结合参数的符号限制判断一次函数的图象特征即可快速解题，能有效考察学生对两类函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下步骤思考：第一步，先确定已知二次函数$y=-x^2$的图象特征，其二次项系数为-1＜0，因此抛物线开口向下，可先排除开口向上的选项；第二步，根据$ab＞0$可知$a$和$b$同号（同正或同负），再结合一次函数$y=ax+b$的斜率（对应$a$的符号）、与$y$轴的交点纵坐标（对应$b$的符号）判断剩余选项是否符合条件，最终选出正确答案。
【解析】
1. 分析二次函数$y=-x^2$的图象：
二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，选项A、B中抛物线开口向上，直接排除A、B。
2. 结合$ab＞0$的条件分析剩余选项：
$ab＞0$说明$a$与$b$符号相同。
选项C：一次函数图象呈上升趋势，因此斜率$a＞0$；一次函数与$y$轴交于负半轴，因此截距$b＜0$，此时$a$、$b$异号，$ab＜0$，不符合条件，排除C。
选项D：一次函数图象呈下降趋势，因此斜率$a＜0$；一次函数与$y$轴交于负半轴，因此截距$b＜0$，此时$a$、$b$同号，$ab＞0$，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、有理数乘法符号法则
【点评】
本题是典型的函数图象辨析题，解题时先通过确定的二次函数解析式缩小可选范围，再结合参数的符号限制判断一次函数的图象特征即可快速解题，能有效考察学生对两类函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
12 数形结合思想 函数$y=-x^2$的图象如图所示，当$-2＜x＜1$时，$y$的取值范围是
$-4＜y≤0$
；当$y＜-1$时，$x$的取值范围是$x＜-1或x＞1$
。答案
$-4＜y≤0$ $x＜-1或x＞1$
解析
【分析】
解题时先明确二次函数$y=-x^2$的基本性质：开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），顶点在原点，$x=0$时$y$取最大值0，且$x$离对称轴越远，$y$值越小。
① 求$-2＜x＜1$时$y$的取值范围：先找区间内$y$的最值，最大值在$x=0$处取到，最小值看区间内离对称轴最远的端点$x=-2$对应的函数值，结合端点是否可取确定范围；
② 求$y＜-1$时$x$的取值范围：先求出$y=-1$对应的$x$值，再结合开口方向，判断$y＜-1$对应的图像区间，即可得到$x$的范围。
【解析】
1. 求$-2＜x＜1$时$y$的取值范围：
函数$y=-x^2$开口向下，对称轴为$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$：
当$x=0$时，$y$取得最大值$0$，且$x=0$在$-2＜x＜1$范围内，故$y$的最大值为$0$；
区间内离对称轴最远的点为$x=-2$，代入得$y=-(-2)^2=-4$，由于$x$取不到$-2$，故$y＞-4$；
综合得$-4＜y≤0$。
2. 求$y＜-1$时$x$的取值范围：
令$y=-1$，代入函数得$-x^2=-1$，解得$x=±1$；
由于函数开口向下，因此$y＜-1$的部分对应直线$y=-1$下方的图像，对应的$x$取值为$x＜-1$或$x＞1$。
【答案】
$-4＜y≤0$；$x＜-1或x＞1$
【知识点】
二次函数的性质，二次不等式求解，数形结合思想
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，既考查了二次函数的增减性、最值等核心性质，也要求能结合图像直观求解不等式，是落实数形结合思想的典型习题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确二次函数$y=-x^2$的基本性质：开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），顶点在原点，$x=0$时$y$取最大值0，且$x$离对称轴越远，$y$值越小。
① 求$-2＜x＜1$时$y$的取值范围：先找区间内$y$的最值，最大值在$x=0$处取到，最小值看区间内离对称轴最远的端点$x=-2$对应的函数值，结合端点是否可取确定范围；
② 求$y＜-1$时$x$的取值范围：先求出$y=-1$对应的$x$值，再结合开口方向，判断$y＜-1$对应的图像区间，即可得到$x$的范围。
【解析】
1. 求$-2＜x＜1$时$y$的取值范围：
函数$y=-x^2$开口向下，对称轴为$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$：
当$x=0$时，$y$取得最大值$0$，且$x=0$在$-2＜x＜1$范围内，故$y$的最大值为$0$；
区间内离对称轴最远的点为$x=-2$，代入得$y=-(-2)^2=-4$，由于$x$取不到$-2$，故$y＞-4$；
综合得$-4＜y≤0$。
2. 求$y＜-1$时$x$的取值范围：
令$y=-1$，代入函数得$-x^2=-1$，解得$x=±1$；
由于函数开口向下，因此$y＜-1$的部分对应直线$y=-1$下方的图像，对应的$x$取值为$x＜-1$或$x＞1$。
【答案】
$-4＜y≤0$；$x＜-1或x＞1$
【知识点】
二次函数的性质，二次不等式求解，数形结合思想
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，既考查了二次函数的增减性、最值等核心性质，也要求能结合图像直观求解不等式，是落实数形结合思想的典型习题。
【难度系数】
0.7
13 已知点$A(1,a)$在抛物线$y=x^2$上.
(1) 求点$A$的坐标.
(2) 在$x$轴上是否存在点$P$,使$△ OAP$是等腰三角形($O$为坐标原点)?若存在,直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 求点$A$的坐标.
(2) 在$x$轴上是否存在点$P$,使$△ OAP$是等腰三角形($O$为坐标原点)?若存在,直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1) $\because$ 点$A(1,a)$在抛物线$y=x^2$上,$\therefore a=1^2=1. \therefore$ 点$A$的坐标为$(1,1)$
(2) 存在 当$OA=AP$时,$OP=1+1=2$,则点$P$的坐标是$(2,0)$;当$OP=AP=1$时,点$P$的坐标是$(1,0)$;当$OP=OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$时,点$P$的坐标为$(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$.综上所述,点$P$的坐标为$(2,0)$或$(1,0)$或$(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$
(2) 存在 当$OA=AP$时,$OP=1+1=2$,则点$P$的坐标是$(2,0)$;当$OP=AP=1$时,点$P$的坐标是$(1,0)$;当$OP=OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$时,点$P$的坐标为$(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$.综上所述,点$P$的坐标为$(2,0)$或$(1,0)$或$(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$
解析
【分析】
(1) 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，只需将点A的横坐标代入抛物线$y=x^2$，即可求出$a$的值，得到点A的坐标。
(2) 等腰三角形存在性问题需按顶点不同分类讨论：①以O为顶点，OA为腰，此时$OA=OP$；②以A为顶点，OA为腰，此时$OA=AP$；③以P为顶点，OA为底，此时$OP=AP$。结合点P在x轴上（纵坐标为0）的特点，分别计算每种情况对应的P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(1,a)$在抛物线$y=x^2$上，将$x=1$代入解析式得：
$a=1^2=1$
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(1,1)$。
(2) 存在。先计算$OA$的长度：$OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，设点$P$坐标为$(x,0)$。
当$OA=AP$时，点A在OP的垂直平分线上，OP的中点横坐标等于A的横坐标1，因此$OP=2$，即$P(2,0)$；
当$OP=AP$时，列等式$|x|=\sqrt{(x-1)^2+1^2}$，解得$x=1$，即$P(1,0)$；
当$OP=OA=\sqrt{2}$时，$|x|=\sqrt{2}$，解得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$，即$P(\sqrt{2},0)$或$P(-\sqrt{2},0)$。
综上所述，点P的坐标为$(2,0)$或$(1,0)$或$(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$。
【答案】
(1) $(1,1)$
(2) 存在，点$P$的坐标为$(2,0)$、$(1,0)$、$(\sqrt{2},0)$、$(-\sqrt{2},0)$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 等腰三角形的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题第一问为基础题，直接代入坐标即可求解；第二问重点考察分类讨论思想，解题时需按等腰三角形的顶点不同分情况计算，要注意排除三点共线的无效情况，避免漏解，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，只需将点A的横坐标代入抛物线$y=x^2$，即可求出$a$的值，得到点A的坐标。
(2) 等腰三角形存在性问题需按顶点不同分类讨论：①以O为顶点，OA为腰，此时$OA=OP$；②以A为顶点，OA为腰，此时$OA=AP$；③以P为顶点，OA为底，此时$OP=AP$。结合点P在x轴上（纵坐标为0）的特点，分别计算每种情况对应的P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(1,a)$在抛物线$y=x^2$上，将$x=1$代入解析式得：
$a=1^2=1$
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(1,1)$。
(2) 存在。先计算$OA$的长度：$OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，设点$P$坐标为$(x,0)$。
当$OA=AP$时，点A在OP的垂直平分线上，OP的中点横坐标等于A的横坐标1，因此$OP=2$，即$P(2,0)$；
当$OP=AP$时，列等式$|x|=\sqrt{(x-1)^2+1^2}$，解得$x=1$，即$P(1,0)$；
当$OP=OA=\sqrt{2}$时，$|x|=\sqrt{2}$，解得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$，即$P(\sqrt{2},0)$或$P(-\sqrt{2},0)$。
综上所述，点P的坐标为$(2,0)$或$(1,0)$或$(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$。
【答案】
(1) $(1,1)$
(2) 存在，点$P$的坐标为$(2,0)$、$(1,0)$、$(\sqrt{2},0)$、$(-\sqrt{2},0)$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 等腰三角形的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题第一问为基础题，直接代入坐标即可求解；第二问重点考察分类讨论思想，解题时需按等腰三角形的顶点不同分情况计算，要注意排除三点共线的无效情况，避免漏解，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
14 如图,在抛物线$y=-x^2$上取A,B,C三点,设点A,B的横坐标分别为$a(a＞0),a+1$,直线BC与x轴平行,连接AC,AB.
(1)用含a的代数式表示$△ ABC$的面积$S$;
(2)当$S=15$时,求$a$的值;
(3)在(2)的条件下,在边BC上取一点D,使$△ ACD$的面积为7,求点D的坐标.
(1)用含a的代数式表示$△ ABC$的面积$S$;
(2)当$S=15$时,求$a$的值;
(3)在(2)的条件下,在边BC上取一点D,使$△ ACD$的面积为7,求点D的坐标.
答案
(1) 当$x=a$时,$y=-x^2=-a^2$,则点$A$的坐标为$(a,-a^2)$;当$x=a+1$时,$y=-x^2=-(a+1)^2$,则点$B$的坐标为$(a+1,-(a+1)^2). \because BC$与$x$轴平行,$\therefore$ 易得点$C$的坐标为$(-(a+1),-(a+1)^2). \therefore S=\frac{1}{2}(a+1+a+1)[-a^2+(a+1)^2]=2a^2+3a+1$
(2) 由题意,得$2a^2+3a+1=15$.整理,得$2a^2+3a-14=0$,解得$a_1=-\frac{7}{2},a_2=2. \because a＞0, \therefore a=2$
(3) 当$a=2$时,点$A,B,C$的坐标分别为$(2,-4),(3,-9),(-3,-9). \because$ 点$D$在边$BC$上,$\therefore$ 设点$D$的坐标为$(t,-9)$,则$CD=t+3. \because △ ACD$的面积为7,$\therefore \frac{1}{2}×(-4+9)(t+3)=7$,解得$t=-\frac{1}{5}. \therefore$ 点$D$的坐标为$(-\frac{1}{5},-9)$
(2) 由题意,得$2a^2+3a+1=15$.整理,得$2a^2+3a-14=0$,解得$a_1=-\frac{7}{2},a_2=2. \because a＞0, \therefore a=2$
(3) 当$a=2$时,点$A,B,C$的坐标分别为$(2,-4),(3,-9),(-3,-9). \because$ 点$D$在边$BC$上,$\therefore$ 设点$D$的坐标为$(t,-9)$,则$CD=t+3. \because △ ACD$的面积为7,$\therefore \frac{1}{2}×(-4+9)(t+3)=7$,解得$t=-\frac{1}{5}. \therefore$ 点$D$的坐标为$(-\frac{1}{5},-9)$
解析
【分析】
(1) 先根据二次函数解析式，代入点A、B的横坐标求出两点坐标；抛物线$y=-x^2$关于y轴对称，且BC平行于x轴，因此B、C两点关于y轴对称，可推出点C坐标；三角形ABC的底为BC的长度，高为点A到直线BC的纵向距离，代入三角形面积公式化简即可得到S关于a的表达式。
(2) 将$S=15$代入第一问得到的面积表达式，得到关于a的一元二次方程，结合$a＞0$的条件取舍根即可得到a的值。
(3) 先将$a=2$代入点A、B、C的坐标表达式得到三点具体坐标，点D在BC上，因此D的纵坐标与B、C相同，设D的横坐标为t，用t表示出CD的长度，结合$△ ACD$的面积为7列方程求解t，即可得到D的坐标。
【解析】
(1) 当$x=a$时，代入$y=-x^2$得$y=-a^2$，
∴点A坐标为$(a, -a^2)$；
当$x=a+1$时，代入$y=-x^2$得$y=-(a+1)^2$，
∴点B坐标为$(a+1, -(a+1)^2)$；
∵BC与x轴平行，抛物线$y=-x^2$关于y轴对称，
∴点C与点B关于y轴对称，即点C坐标为$(-(a+1), -(a+1)^2)$；
∴BC的长度为$(a+1)-(-(a+1))=2a+2$，点A到BC的距离为$-(a+1)^2 - (-a^2)=2a+1$；
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×(2a+2)×(2a+1)=2a^2+3a+1$。
(2) 当$S=15$时，代入得$2a^2+3a+1=15$，整理得$2a^2+3a-14=0$，
因式分解得$(2a+7)(a-2)=0$，解得$a_1=-\frac{7}{2}$，$a_2=2$，
∵$a＞0$，
∴$a=2$。
(3) 当$a=2$时，点A坐标为$(2, -4)$，点B坐标为$(3, -9)$，点C坐标为$(-3, -9)$；
∵点D在BC上，
∴设点D坐标为$(t, -9)$，则CD的长度为$t - (-3)=t+3$，
$△ ACD$中，CD边上的高为$-4 - (-9)=5$，
由面积为7得：$\frac{1}{2}×5×(t+3)=7$，解得$t=-\frac{1}{5}$，
∴点D的坐标为$(-\frac{1}{5}, -9)$。
【答案】
(1) $S=2a^2+3a+1$
(2) $a=2$
(3) $(-\dfrac{1}{5},-9)$
【知识点】
二次函数图象性质，三角形面积计算，解一元二次方程
【点评】
本题将二次函数的图象性质与几何面积计算结合，核心是利用抛物线的对称性确定点C的坐标，再结合面积公式建立方程求解，侧重考查数形结合思想和方程思想的应用，掌握二次函数基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据二次函数解析式，代入点A、B的横坐标求出两点坐标；抛物线$y=-x^2$关于y轴对称，且BC平行于x轴，因此B、C两点关于y轴对称，可推出点C坐标；三角形ABC的底为BC的长度，高为点A到直线BC的纵向距离，代入三角形面积公式化简即可得到S关于a的表达式。
(2) 将$S=15$代入第一问得到的面积表达式，得到关于a的一元二次方程，结合$a＞0$的条件取舍根即可得到a的值。
(3) 先将$a=2$代入点A、B、C的坐标表达式得到三点具体坐标，点D在BC上，因此D的纵坐标与B、C相同，设D的横坐标为t，用t表示出CD的长度，结合$△ ACD$的面积为7列方程求解t，即可得到D的坐标。
【解析】
(1) 当$x=a$时，代入$y=-x^2$得$y=-a^2$，
∴点A坐标为$(a, -a^2)$；
当$x=a+1$时，代入$y=-x^2$得$y=-(a+1)^2$，
∴点B坐标为$(a+1, -(a+1)^2)$；
∵BC与x轴平行，抛物线$y=-x^2$关于y轴对称，
∴点C与点B关于y轴对称，即点C坐标为$(-(a+1), -(a+1)^2)$；
∴BC的长度为$(a+1)-(-(a+1))=2a+2$，点A到BC的距离为$-(a+1)^2 - (-a^2)=2a+1$；
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×(2a+2)×(2a+1)=2a^2+3a+1$。
(2) 当$S=15$时，代入得$2a^2+3a+1=15$，整理得$2a^2+3a-14=0$，
因式分解得$(2a+7)(a-2)=0$，解得$a_1=-\frac{7}{2}$，$a_2=2$，
∵$a＞0$，
∴$a=2$。
(3) 当$a=2$时，点A坐标为$(2, -4)$，点B坐标为$(3, -9)$，点C坐标为$(-3, -9)$；
∵点D在BC上，
∴设点D坐标为$(t, -9)$，则CD的长度为$t - (-3)=t+3$，
$△ ACD$中，CD边上的高为$-4 - (-9)=5$，
由面积为7得：$\frac{1}{2}×5×(t+3)=7$，解得$t=-\frac{1}{5}$，
∴点D的坐标为$(-\frac{1}{5}, -9)$。
【答案】
(1) $S=2a^2+3a+1$
(2) $a=2$
(3) $(-\dfrac{1}{5},-9)$
【知识点】
二次函数图象性质，三角形面积计算，解一元二次方程
【点评】
本题将二次函数的图象性质与几何面积计算结合，核心是利用抛物线的对称性确定点C的坐标，再结合面积公式建立方程求解，侧重考查数形结合思想和方程思想的应用，掌握二次函数基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
