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1 关于二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象，下列说法错误的是（
A.它是一条抛物线
B.它的开口向上，且关于$y$轴对称
C.它的顶点是抛物线的最高点
D.它与函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象关于$x$轴对称
B
）A.它是一条抛物线
B.它的开口向上，且关于$y$轴对称
C.它的顶点是抛物线的最高点
D.它与函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象关于$x$轴对称
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题时先回忆$y=ax^2$的核心性质：图象形状为抛物线，对称轴为y轴，开口方向由$a$的符号决定（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），开口向下时顶点为最高点，开口向上时顶点为最低点，且$y=ax^2$与$y=-ax^2$的图象关于x轴对称。接下来逐一分析每个选项，找出说法错误的选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
选项A：所有二次函数的图象都是抛物线，$y=-\frac{1}{3}x^2$是二次函数，图象是抛物线，该说法正确，不符合题意；
选项B：该函数中$a=-\frac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下，且二次函数$y=ax^2$的对称轴均为y轴，故“开口向上”的说法错误，该选项符合题意；
选项C：因为抛物线开口向下，所以顶点是抛物线的最高点，该说法正确，不符合题意；
选项D：对于相同的$x$值，$y=-\frac{1}{3}x^2$的函数值和$y=\frac{1}{3}x^2$的函数值互为相反数，因此两个函数的图象关于x轴对称，该说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象特征
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 二次函数图象的对称性
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，只要熟记$a$的正负对开口方向的影响，以及图象的对称规律等核心知识点，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题时先回忆$y=ax^2$的核心性质：图象形状为抛物线，对称轴为y轴，开口方向由$a$的符号决定（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），开口向下时顶点为最高点，开口向上时顶点为最低点，且$y=ax^2$与$y=-ax^2$的图象关于x轴对称。接下来逐一分析每个选项，找出说法错误的选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
选项A：所有二次函数的图象都是抛物线，$y=-\frac{1}{3}x^2$是二次函数，图象是抛物线，该说法正确，不符合题意；
选项B：该函数中$a=-\frac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下，且二次函数$y=ax^2$的对称轴均为y轴，故“开口向上”的说法错误，该选项符合题意；
选项C：因为抛物线开口向下，所以顶点是抛物线的最高点，该说法正确，不符合题意；
选项D：对于相同的$x$值，$y=-\frac{1}{3}x^2$的函数值和$y=\frac{1}{3}x^2$的函数值互为相反数，因此两个函数的图象关于x轴对称，该说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象特征
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 二次函数图象的对称性
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，只要熟记$a$的正负对开口方向的影响，以及图象的对称规律等核心知识点，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
2 [2025 青海期末]已知点$(-1,y_{1})$，$(4,y_{2})$，$(-3,y_{3})$都在函数$y=(a^{2}+1)x^{2}$的图象上，则下列结论正确的是（
A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
C.$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$
D.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
B
）A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
C.$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$
D.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先分析二次函数的基本性质：二次项系数为$a^2+1$，由平方的非负性可知$a^2+1$恒大于0，因此该抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点横坐标的绝对值（即到y轴的距离），比较绝对值大小即可推导y值的大小关系。
【解析】
解：对于二次函数$y=(a^2+1)x^2$，
$\because a^2≥0$，$\therefore a^2+1≥1＞0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），
$\therefore$ 抛物线上的点横坐标的绝对值越大（到对称轴的距离越远），对应的函数值$y$越大。
分别计算三个点横坐标的绝对值：
$|-1|=1$，$|4|=4$，$|-3|=3$，
$\because 1＜3＜4$，
$\therefore y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，绝对值的意义
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，无需代入计算具体函数值，掌握开口方向、对称轴与函数值变化的关系即可快速解题，能有效考查对二次函数图象性质的理解程度。
【难度系数】
0.8
解题时首先分析二次函数的基本性质：二次项系数为$a^2+1$，由平方的非负性可知$a^2+1$恒大于0，因此该抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个点横坐标的绝对值（即到y轴的距离），比较绝对值大小即可推导y值的大小关系。
【解析】
解：对于二次函数$y=(a^2+1)x^2$，
$\because a^2≥0$，$\therefore a^2+1≥1＞0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），
$\therefore$ 抛物线上的点横坐标的绝对值越大（到对称轴的距离越远），对应的函数值$y$越大。
分别计算三个点横坐标的绝对值：
$|-1|=1$，$|4|=4$，$|-3|=3$，
$\because 1＜3＜4$，
$\therefore y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，绝对值的意义
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，无需代入计算具体函数值，掌握开口方向、对称轴与函数值变化的关系即可快速解题，能有效考查对二次函数图象性质的理解程度。
【难度系数】
0.8
3 [2025 淄博沂源期中]已知函数 $y=(m-3)x^{|m-1|}$ 是二次函数，则该函数的图象开口
向下
。答案
3. 向下
解析
【分析】
要解决本题，需先根据二次函数的定义确定参数m的取值，再根据二次项系数的正负判断开口方向。解题思路如下：①二次函数要求自变量的最高次数为2，据此列等式求m的可能值；②二次函数的二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的m值；③代入m得到二次项系数，根据系数正负判断开口方向：系数为正开口向上，系数为负开口向下。
【解析】
已知函数$y=(m-3)x^{|m-1|}$是二次函数，根据二次函数的定义：
1. 自变量x的最高次数为2，即$|m-1|=2$，
解绝对值方程：$m-1=2$或$m-1=-2$，得$m=3$或$m=-1$。
2. 二次项系数不为0，即$m-3≠0$，得$m≠3$，因此舍去$m=3$，取$m=-1$。
3. 将$m=-1$代入二次项系数，得$m-3=-1-3=-4＜0$，根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，函数图象开口向下。
【答案】
向下
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记二次函数的两个判定条件：最高次项次数为2、二次项系数不为0，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，导致错求m的值。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先根据二次函数的定义确定参数m的取值，再根据二次项系数的正负判断开口方向。解题思路如下：①二次函数要求自变量的最高次数为2，据此列等式求m的可能值；②二次函数的二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的m值；③代入m得到二次项系数，根据系数正负判断开口方向：系数为正开口向上，系数为负开口向下。
【解析】
已知函数$y=(m-3)x^{|m-1|}$是二次函数，根据二次函数的定义：
1. 自变量x的最高次数为2，即$|m-1|=2$，
解绝对值方程：$m-1=2$或$m-1=-2$，得$m=3$或$m=-1$。
2. 二次项系数不为0，即$m-3≠0$，得$m≠3$，因此舍去$m=3$，取$m=-1$。
3. 将$m=-1$代入二次项系数，得$m-3=-1-3=-4＜0$，根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，函数图象开口向下。
【答案】
向下
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记二次函数的两个判定条件：最高次项次数为2、二次项系数不为0，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，导致错求m的值。
【难度系数】
0.7
4 教材变式题 已知抛物线$y=ax^2$经过点$A(-3,-18)$。
(1) 求此抛物线对应的函数表达式，并画出该抛物线。
(2) 观察图象可知，当$x=$
(3) 判断点$B(-1,4)$是否在此抛物线上。
(4) 求出此抛物线上纵坐标为$-8$的点的坐标。
(1) 求此抛物线对应的函数表达式，并画出该抛物线。
(2) 观察图象可知，当$x=$
0
时，该函数有最大
值，是0
；当$x＞0$
时，$y$随$x$的增大而减小。(3) 判断点$B(-1,4)$是否在此抛物线上。
(4) 求出此抛物线上纵坐标为$-8$的点的坐标。
答案
4. (1) 把$A(-3,-18)$代入$y=ax^2$,得$9a=-18$,解得$a=-2. \therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-2x^2$.
(2) 0 大 0 $x＞0$
(3) 当$x=-1$时,$y=-2x^2=-2$,$\therefore$ 点$B(-1,4)$不在此抛物线上
(4) 当$y=-8$时,$-2x^2=-8$,解得$x_1=-2,x_2=2. \therefore$ 此抛物线上纵坐标为$-8$的点的坐标为$(-2,-8),(2,-8)$
解析
【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的基础应用展开，各小问解题思路如下：
(1) 求函数解析式：已知抛物线表达式仅含一个未知参数$a$，只需将已知点$A$的坐标代入表达式，解方程即可求出$a$，确定解析式；
(2) 二次函数性质应用：先由$a$的符号判断抛物线开口方向，再结合$y=ax^2$的顶点、对称轴特点，即可得到最值情况和增减性规律；
(3) 判断点是否在抛物线上：将点的横坐标代入解析式，计算得到的函数值若和点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之不在；
(4) 已知函数值求对应点坐标：将$y=-8$代入解析式，解关于$x$的一元二次方程，得到的$x$值即为对应点的横坐标，结合$y$值即可写出点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-3,-18)$代入$y=ax^2$，得：
$a× (-3)^2=-18$，即$9a=-18$，解得$a=-2$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-2x^2$，图象如下：
(2) 抛物线$y=-2x^2$中，$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，
因此当$x=0$时，函数有最大值，是$0$；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 把$x=-1$代入$y=-2x^2$，得：
$y=-2× (-1)^2=-2$，和点$B$的纵坐标$4$不相等，因此点$B(-1,4)$不在此抛物线上。
(4) 令$y=-8$，代入解析式得：
$-2x^2=-8$，整理得$x^2=4$，解得$x_1=-2$，$x_2=2$，
因此抛物线上纵坐标为$-8$的点的坐标为$(-2,-8)$、$(2,-8)$。
【答案】
(1) $y=-2x^2$，图象见
(2) $0$；大；$0$；$x＞0$
(3) 点$B(-1,4)$不在此抛物线上
(4) $(-2,-8),(2,-8)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；点与图象的判断
【点评】
本题是二次函数的基础题型，覆盖了$y=ax^2$相关的核心基础考点，难度较低，只要熟练掌握二次函数$y=ax^2$的图象性质、点与函数图象的关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数$y=ax^2$的基础应用展开，各小问解题思路如下：
(1) 求函数解析式：已知抛物线表达式仅含一个未知参数$a$，只需将已知点$A$的坐标代入表达式，解方程即可求出$a$，确定解析式；
(2) 二次函数性质应用：先由$a$的符号判断抛物线开口方向，再结合$y=ax^2$的顶点、对称轴特点，即可得到最值情况和增减性规律；
(3) 判断点是否在抛物线上：将点的横坐标代入解析式，计算得到的函数值若和点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之不在；
(4) 已知函数值求对应点坐标：将$y=-8$代入解析式，解关于$x$的一元二次方程，得到的$x$值即为对应点的横坐标，结合$y$值即可写出点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-3,-18)$代入$y=ax^2$，得：
$a× (-3)^2=-18$，即$9a=-18$，解得$a=-2$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-2x^2$，图象如下：
(2) 抛物线$y=-2x^2$中，$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，
因此当$x=0$时，函数有最大值，是$0$；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 把$x=-1$代入$y=-2x^2$，得：
$y=-2× (-1)^2=-2$，和点$B$的纵坐标$4$不相等，因此点$B(-1,4)$不在此抛物线上。
(4) 令$y=-8$，代入解析式得：
$-2x^2=-8$，整理得$x^2=4$，解得$x_1=-2$，$x_2=2$，
因此抛物线上纵坐标为$-8$的点的坐标为$(-2,-8)$、$(2,-8)$。
【答案】
(1) $y=-2x^2$，图象见
(2) $0$；大；$0$；$x＞0$
(3) 点$B(-1,4)$不在此抛物线上
(4) $(-2,-8),(2,-8)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；点与图象的判断
【点评】
本题是二次函数的基础题型，覆盖了$y=ax^2$相关的核心基础考点，难度较低，只要熟练掌握二次函数$y=ax^2$的图象性质、点与函数图象的关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5 二次函数$y=-x^2+1$的图象是 （
D
）答案
5. D
解析
【分析】
要判断二次函数$y=-x^2+1$的图象，我们可以按以下思路逐步排除错误选项：首先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向；再根据函数形式判断对称轴；最后根据常数项$c$判断抛物线与$y$轴的交点位置，三步就能锁定正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=-x^2+1$的二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的选项A、C；
2. 判断对称轴：该函数没有一次项，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），选项B的对称轴不是$y$轴，排除B；
3. 判断与$y$轴交点：常数项$c=1$，说明抛物线与$y$轴交于正半轴的$(0,1)$点，仅选项D符合以上所有特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质、系数与图象的关系
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，掌握开口方向、对称轴、与$y$轴交点和函数系数的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数$y=-x^2+1$的图象，我们可以按以下思路逐步排除错误选项：首先根据二次项系数$a$的符号判断开口方向；再根据函数形式判断对称轴；最后根据常数项$c$判断抛物线与$y$轴的交点位置，三步就能锁定正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=-x^2+1$的二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的选项A、C；
2. 判断对称轴：该函数没有一次项，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），选项B的对称轴不是$y$轴，排除B；
3. 判断与$y$轴交点：常数项$c=1$，说明抛物线与$y$轴交于正半轴的$(0,1)$点，仅选项D符合以上所有特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质、系数与图象的关系
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，掌握开口方向、对称轴、与$y$轴交点和函数系数的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6 二次函数$y=mx^2+n$的图象如图所示，则一次函数$y=mx+n$的图象不经过的象限是（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
6. D
解析
【分析】
解题时首先根据二次函数的图象特征确定系数m、n的正负性，再结合一次函数的图象与系数的关系，判断一次函数经过的象限，即可得出不经过的象限。具体步骤：第一步看二次函数开口方向确定m的符号，第二步看二次函数与y轴的交点确定n的符号，第三步根据m、n的符号分析一次函数的图象走向和与y轴交点，判断经过的象限。
【解析】
解：观察二次函数$y=mx^2+n$的图象：
1. 图象开口向上，可得二次项系数$m＞0$；
2. 图象顶点在y轴正半轴，即x=0时，$y=n＞0$。
对于一次函数$y=mx+n$：
一次项系数$m＞0$，因此函数图象从左到右呈上升趋势；
常数项$n＞0$，因此函数图象与y轴交于正半轴。
综上，一次函数$y=mx+n$的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象性质的基础应用题，需要结合两类函数的图象特征和系数的对应关系解题，熟练掌握相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据二次函数的图象特征确定系数m、n的正负性，再结合一次函数的图象与系数的关系，判断一次函数经过的象限，即可得出不经过的象限。具体步骤：第一步看二次函数开口方向确定m的符号，第二步看二次函数与y轴的交点确定n的符号，第三步根据m、n的符号分析一次函数的图象走向和与y轴交点，判断经过的象限。
【解析】
解：观察二次函数$y=mx^2+n$的图象：
1. 图象开口向上，可得二次项系数$m＞0$；
2. 图象顶点在y轴正半轴，即x=0时，$y=n＞0$。
对于一次函数$y=mx+n$：
一次项系数$m＞0$，因此函数图象从左到右呈上升趋势；
常数项$n＞0$，因此函数图象与y轴交于正半轴。
综上，一次函数$y=mx+n$的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象性质的基础应用题，需要结合两类函数的图象特征和系数的对应关系解题，熟练掌握相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7 [2025上海]抛物线$y=3x^2$向下平移两个单位长度所得的抛物线对应的函数表达式为
$y=3x^2-2$
，该图象的顶点坐标为$(0,-2)$
。答案
7. $y=3x^2-2$ $(0,-2)$
解析
【分析】
解决这道题可按两步思考：第一步处理平移后的函数表达式，回忆二次函数图象平移的核心规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，上下平移仅改变函数的常数项，向下平移就用原表达式减去平移的单位长度；第二步求顶点坐标，既可以根据顶点随图象同步平移的规律，由原抛物线顶点推导平移后的顶点，也可以直接利用y=ax²+c类二次函数的顶点坐标特征直接得出结果。
【解析】
1. 求平移后的抛物线表达式：
根据二次函数上下平移的规律：图象向下平移m个单位时，函数表达式的常数项减去m。已知原抛物线为$y=3x^2$，向下平移2个单位，因此平移后的函数表达式为$y=3x^2-2$。
2. 求图象的顶点坐标：
对于形如$y=ax^2+c$（$a\ne0$）的二次函数，其图象的顶点坐标为$(0,c)$。在$y=3x^2-2$中，$c=-2$，因此该图象的顶点坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$y=3x^2-2$；$(0,-2)$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数$y=ax^2+c$的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，主要考查二次函数图象平移规则和基本图象特征，掌握相关基础结论即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解决这道题可按两步思考：第一步处理平移后的函数表达式，回忆二次函数图象平移的核心规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，上下平移仅改变函数的常数项，向下平移就用原表达式减去平移的单位长度；第二步求顶点坐标，既可以根据顶点随图象同步平移的规律，由原抛物线顶点推导平移后的顶点，也可以直接利用y=ax²+c类二次函数的顶点坐标特征直接得出结果。
【解析】
1. 求平移后的抛物线表达式：
根据二次函数上下平移的规律：图象向下平移m个单位时，函数表达式的常数项减去m。已知原抛物线为$y=3x^2$，向下平移2个单位，因此平移后的函数表达式为$y=3x^2-2$。
2. 求图象的顶点坐标：
对于形如$y=ax^2+c$（$a\ne0$）的二次函数，其图象的顶点坐标为$(0,c)$。在$y=3x^2-2$中，$c=-2$，因此该图象的顶点坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$y=3x^2-2$；$(0,-2)$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数$y=ax^2+c$的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，主要考查二次函数图象平移规则和基本图象特征，掌握相关基础结论即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8 教材变式题 已知函数 $y=-\frac{1}{2}x^2$，$y=-\frac{1}{2}x^2+3$ 和 $y=-\frac{1}{2}x^2-1$。
（1）请分别画出它们的图象；
（2）写出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）二次函数 $y=-\frac{1}{2}x^2+3$ 和 $y=-\frac{1}{2}x^2-1$ 的图象分别是由函数 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的图象怎样平移得到的？
（1）请分别画出它们的图象；
（2）写出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）二次函数 $y=-\frac{1}{2}x^2+3$ 和 $y=-\frac{1}{2}x^2-1$ 的图象分别是由函数 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的图象怎样平移得到的？
答案
8. (1) 如图所示
(2) 函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;函数$y=-\frac{1}{2}x^2+3$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,3)$;函数$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,-1)$
(3) 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+3$的图象是由函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向上平移3个单位长度得到的,二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的图象是由函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向下平移1个单位长度得到的
解析
【分析】
解题思路：本题围绕二次函数$y=ax^2+c$的图象与性质展开。①画图象时，三个函数二次项系数相同，图象形状、开口方向一致，只需分别确定各函数的顶点，再取几组关于y轴对称的点描点连线即可；②判断开口方向、对称轴、顶点坐标时，直接利用$y=ax^2+c$的性质：$a$的符号决定开口方向，无一次项时对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,c)$；③分析平移时，遵循二次函数上下平移“上加下减常数项”的规律，对比常数项的变化即可得到平移方式。
【解析】
(1) 画图象步骤：三个函数二次项系数均为$-\frac{1}{2}$，图象形状相同。先分别确定三个函数的顶点：$y=-\frac{1}{2}x^2$顶点为$(0,0)$，$y=-\frac{1}{2}x^2+3$顶点为$(0,3)$，$y=-\frac{1}{2}x^2-1$顶点为$(0,-1)$；再取$x=\pm2、\pm4$等对称值计算对应$y$值，描点后用平滑曲线连接，即可得到对应图象。
(2) 对于二次函数$y=ax^2+c$，$a$的符号决定开口方向，无一次项时对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,c)$：
$y=-\frac{1}{2}x^2$：$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下；对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$。
$y=-\frac{1}{2}x^2+3$：$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下；对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,3)$。
$y=-\frac{1}{2}x^2-1$：$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下；对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,-1)$。
(3) 二次函数图象上下平移时遵循“上加下减常数项”的规律：
对比$y=-\frac{1}{2}x^2+3$和$y=-\frac{1}{2}x^2$，常数项增加了3，因此是将$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向上平移3个单位长度得到$y=-\frac{1}{2}x^2+3$的图象；
对比$y=-\frac{1}{2}x^2-1$和$y=-\frac{1}{2}x^2$，常数项减少了1，因此是将$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向下平移1个单位长度得到$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的图象。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;函数$y=-\frac{1}{2}x^2+3$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,3)$;函数$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,-1)$
(3) 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+3$的图象是由函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向上平移3个单位长度得到的,二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的图象是由函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向下平移1个单位长度得到的
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的性质，二次函数图象平移规律，描点法画函数图象
【点评】
本题是二次函数基础考查题，核心是掌握$y=ax^2+c$类二次函数的图象特征和平移规律，牢记对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题思路：本题围绕二次函数$y=ax^2+c$的图象与性质展开。①画图象时，三个函数二次项系数相同，图象形状、开口方向一致，只需分别确定各函数的顶点，再取几组关于y轴对称的点描点连线即可；②判断开口方向、对称轴、顶点坐标时，直接利用$y=ax^2+c$的性质：$a$的符号决定开口方向，无一次项时对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,c)$；③分析平移时，遵循二次函数上下平移“上加下减常数项”的规律，对比常数项的变化即可得到平移方式。
【解析】
(1) 画图象步骤：三个函数二次项系数均为$-\frac{1}{2}$，图象形状相同。先分别确定三个函数的顶点：$y=-\frac{1}{2}x^2$顶点为$(0,0)$，$y=-\frac{1}{2}x^2+3$顶点为$(0,3)$，$y=-\frac{1}{2}x^2-1$顶点为$(0,-1)$；再取$x=\pm2、\pm4$等对称值计算对应$y$值，描点后用平滑曲线连接，即可得到对应图象。
(2) 对于二次函数$y=ax^2+c$，$a$的符号决定开口方向，无一次项时对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,c)$：
$y=-\frac{1}{2}x^2$：$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下；对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$。
$y=-\frac{1}{2}x^2+3$：$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下；对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,3)$。
$y=-\frac{1}{2}x^2-1$：$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下；对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,-1)$。
(3) 二次函数图象上下平移时遵循“上加下减常数项”的规律：
对比$y=-\frac{1}{2}x^2+3$和$y=-\frac{1}{2}x^2$，常数项增加了3，因此是将$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向上平移3个单位长度得到$y=-\frac{1}{2}x^2+3$的图象；
对比$y=-\frac{1}{2}x^2-1$和$y=-\frac{1}{2}x^2$，常数项减少了1，因此是将$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向下平移1个单位长度得到$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的图象。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;函数$y=-\frac{1}{2}x^2+3$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,3)$;函数$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的图象开口向下,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,-1)$
(3) 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+3$的图象是由函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向上平移3个单位长度得到的,二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2-1$的图象是由函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象向下平移1个单位长度得到的
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的性质，二次函数图象平移规律，描点法画函数图象
【点评】
本题是二次函数基础考查题，核心是掌握$y=ax^2+c$类二次函数的图象特征和平移规律，牢记对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
