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9 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = -ax + b $ 与二次函数 $ y = ax^2 - b $ 的大致图象是 (
D
) 答案
9. D
解析
【分析】
本题是一次函数与二次函数的图象共存判断题，解题采用分类讨论+排除法：第一步先根据二次项系数a的正负，判断二次函数的开口方向和一次函数的斜率正负，排除不符合的选项；第二步再根据两个函数与y轴的交点坐标关系，验证剩余选项是否符合逻辑，最终得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的符号：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2 - b$的开口向上，因此排除开口向下的选项A、B；
此时一次函数$y=-ax + b$的斜率为$-a＜0$，图象呈下降趋势，C、D的一次函数均符合该特征；
再判断两个函数与y轴的交点：
二次函数x=0时，$y=-b$；一次函数x=0时，$y=b$。
C选项中二次函数与y轴交于负半轴，即$-b＜0$，可得$b＞0$，此时一次函数与y轴交点应为$b＞0$（正半轴），但C中一次函数与y轴交于负半轴，矛盾，排除C；
D选项中二次函数与y轴交于负半轴→$-b＜0→b＞0$，一次函数与y轴交于正半轴，符合$b＞0$的结论，所有条件均成立。
2. 当$a＜0$时验证其余选项：
二次函数开口向下，一次函数斜率$-a＞0$，图象呈上升趋势，B中一次函数下降，排除B；
A中二次函数与y轴交于正半轴，即$-b＞0→b＜0$，此时一次函数与y轴交点应为$b＜0$（负半轴），但A中一次函数与y轴交于正半轴，矛盾，排除A。
综上，只有D选项符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数图象性质、函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类的典型题型，解题核心是抓住函数系数和图象特征的对应关系，通过分类讨论逐一排除错误选项，能有效考查对函数图象性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与二次函数的图象共存判断题，解题采用分类讨论+排除法：第一步先根据二次项系数a的正负，判断二次函数的开口方向和一次函数的斜率正负，排除不符合的选项；第二步再根据两个函数与y轴的交点坐标关系，验证剩余选项是否符合逻辑，最终得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的符号：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2 - b$的开口向上，因此排除开口向下的选项A、B；
此时一次函数$y=-ax + b$的斜率为$-a＜0$，图象呈下降趋势，C、D的一次函数均符合该特征；
再判断两个函数与y轴的交点：
二次函数x=0时，$y=-b$；一次函数x=0时，$y=b$。
C选项中二次函数与y轴交于负半轴，即$-b＜0$，可得$b＞0$，此时一次函数与y轴交点应为$b＞0$（正半轴），但C中一次函数与y轴交于负半轴，矛盾，排除C；
D选项中二次函数与y轴交于负半轴→$-b＜0→b＞0$，一次函数与y轴交于正半轴，符合$b＞0$的结论，所有条件均成立。
2. 当$a＜0$时验证其余选项：
二次函数开口向下，一次函数斜率$-a＞0$，图象呈上升趋势，B中一次函数下降，排除B；
A中二次函数与y轴交于正半轴，即$-b＞0→b＜0$，此时一次函数与y轴交点应为$b＜0$（负半轴），但A中一次函数与y轴交于正半轴，矛盾，排除A。
综上，只有D选项符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数图象性质、函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类的典型题型，解题核心是抓住函数系数和图象特征的对应关系，通过分类讨论逐一排除错误选项，能有效考查对函数图象性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
10 转化与化归思想 如图,两条抛物线 $y_1 = -\dfrac{1}{2}x^2 + 1$, $y_2 = -\dfrac{1}{2}x^2 -1$ 与分别经过点$(-2,0),(2,0)$且平行于$y$轴的两条直线围成的涂色部分的面积为 （
A.4
B.6
C.8
D.10
C
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
10. C
解析
【分析】
观察两条抛物线的解析式可知，它们的二次项系数相同，因此形状完全一致，$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$可看作$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$向上平移2个单位得到，即同一x位置处两抛物线的竖直距离恒为2。阴影部分由两条抛物线和直线$x=-2$、$x=2$围成，可通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则矩形的面积计算，矩形的长为两条竖线的水平距离，宽为两抛物线的竖直距离。
【解析】
首先计算两抛物线的竖直距离：
对任意$x$，$y_1-y_2=(-\dfrac{1}{2}x^2+1)-(-\dfrac{1}{2}x^2-1)=2$，即两抛物线竖直方向的距离恒为2。
两条平行于y轴的直线为$x=-2$和$x=2$，它们之间的水平距离为$2-(-2)=4$。
由于两抛物线竖直距离处处相等，阴影部分面积等价于长为4、宽为2的矩形的面积，因此阴影面积$S=4×2=8$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移；割补法求面积；二次函数的性质
【点评】
本题结合二次函数图象性质考查不规则图形的面积计算，解题的核心是抓住两条抛物线的平移关系，将不规则图形面积转化为规则矩形面积求解，巧妙运用了转化与化归的数学思想，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
观察两条抛物线的解析式可知，它们的二次项系数相同，因此形状完全一致，$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$可看作$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$向上平移2个单位得到，即同一x位置处两抛物线的竖直距离恒为2。阴影部分由两条抛物线和直线$x=-2$、$x=2$围成，可通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则矩形的面积计算，矩形的长为两条竖线的水平距离，宽为两抛物线的竖直距离。
【解析】
首先计算两抛物线的竖直距离：
对任意$x$，$y_1-y_2=(-\dfrac{1}{2}x^2+1)-(-\dfrac{1}{2}x^2-1)=2$，即两抛物线竖直方向的距离恒为2。
两条平行于y轴的直线为$x=-2$和$x=2$，它们之间的水平距离为$2-(-2)=4$。
由于两抛物线竖直距离处处相等，阴影部分面积等价于长为4、宽为2的矩形的面积，因此阴影面积$S=4×2=8$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移；割补法求面积；二次函数的性质
【点评】
本题结合二次函数图象性质考查不规则图形的面积计算，解题的核心是抓住两条抛物线的平移关系，将不规则图形面积转化为规则矩形面积求解，巧妙运用了转化与化归的数学思想，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
11 将抛物线$y=\frac{2}{5}x^2$先沿x轴翻折，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为
$y=-\frac{2}{5}x^2-2$
，顶点坐标为$(0,-2)$
。答案
11. $y=-\frac{2}{5}x^2-2$ $(0,-2)$
解析
【分析】
解题时要遵循二次函数图象变换的规律逐步推导：①首先处理沿x轴翻折的变换：抛物线沿x轴翻折时，图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，对应函数表达式的二次项系数符号改变；②再处理向下平移的变换：抛物线上下平移时遵循“上加下减”的规律，即向下平移几个单位，就在函数表达式的常数项处减去几；③最后根据$y=ax^2+c$型二次函数的顶点特征直接写出顶点坐标即可。
【解析】
1. 处理沿x轴翻折的变换：
原抛物线为$y=\frac{2}{5}x^2$，沿x轴翻折后，所有点的纵坐标变为相反数，因此翻折后的抛物线表达式为$-y=\frac{2}{5}x^2$，整理得$y=-\frac{2}{5}x^2$。
2. 处理向下平移2个单位的变换：
根据抛物线上下平移“上加下减”的规律，向下平移2个单位，即在表达式后减2，可得新抛物线的函数表达式为$y=-\frac{2}{5}x^2 - 2$。
3. 求顶点坐标：
对于形如$y=ax^2+c$的二次函数，其顶点坐标为$(0,c)$，因此该新抛物线的顶点坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$y=-\frac{2}{5}x^2-2$；$(0,-2)$
【知识点】
二次函数图象变换；二次函数顶点坐标；函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查翻折、平移变换对应的函数表达式变化规律，只要熟练掌握对应变换规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时要遵循二次函数图象变换的规律逐步推导：①首先处理沿x轴翻折的变换：抛物线沿x轴翻折时，图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，对应函数表达式的二次项系数符号改变；②再处理向下平移的变换：抛物线上下平移时遵循“上加下减”的规律，即向下平移几个单位，就在函数表达式的常数项处减去几；③最后根据$y=ax^2+c$型二次函数的顶点特征直接写出顶点坐标即可。
【解析】
1. 处理沿x轴翻折的变换：
原抛物线为$y=\frac{2}{5}x^2$，沿x轴翻折后，所有点的纵坐标变为相反数，因此翻折后的抛物线表达式为$-y=\frac{2}{5}x^2$，整理得$y=-\frac{2}{5}x^2$。
2. 处理向下平移2个单位的变换：
根据抛物线上下平移“上加下减”的规律，向下平移2个单位，即在表达式后减2，可得新抛物线的函数表达式为$y=-\frac{2}{5}x^2 - 2$。
3. 求顶点坐标：
对于形如$y=ax^2+c$的二次函数，其顶点坐标为$(0,c)$，因此该新抛物线的顶点坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$y=-\frac{2}{5}x^2-2$；$(0,-2)$
【知识点】
二次函数图象变换；二次函数顶点坐标；函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查翻折、平移变换对应的函数表达式变化规律，只要熟练掌握对应变换规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
12 [2025梅州五华期末]如图，抛物线$y=ax^2+c$经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则ac的值为
$-2$
。答案
12. $-2$
解析
【分析】
解题时首先根据抛物线解析式得到与y轴交点A的坐标，结合等腰直角三角形的性质，用参数表示出点B的坐标，再将点B代入抛物线解析式，通过化简消参即可求出ac的值。思考时要注意：①抛物线与y轴交点的纵坐标就是解析式中的常数项c；②等腰直角三角形斜边上的高等于斜边长度的一半，据此可得到点B的横、纵坐标关系；③代入解析式后消去参数就能得到ac的乘积，不需要分别求a和c的值。
【解析】
设等腰直角$△ OAB$的斜边$OA$长度为$2k$（$k＞0$）：
1. 确定点A坐标与c的关系：点A在y轴负半轴，因此$A(0, -2k)$，抛物线$y=ax^2+c$与y轴交于A点，当$x=0$时$y=c$，故$c=-2k$。
2. 推导点B坐标：$△ OAB$为等腰直角三角形，直角顶点为B，因此B到y轴的距离等于$OA$长度的一半，且B在第四象限，可得B点坐标为$(k, -k)$。
3. 代入解析式化简：将B$(k, -k)$代入$y=ax^2+c$，得：
$-k = a· k^2 + c$
把$c=-2k$代入上式：
$-k = ak^2 -2k$
移项整理得$ak^2 =k$，因为$k≠0$，两边同时除以k得$ak=1$。
4. 计算ac的值：
$ac = a·(-2k) = -2ak = -2×1 = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
二次函数图象性质，等腰直角三角形性质，坐标与函数解析式
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合基础题，将几何性质转化为点的坐标是解题的核心，解题过程中不需要单独求解a和c的具体值，通过整体代换即可得到结果，有效考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据抛物线解析式得到与y轴交点A的坐标，结合等腰直角三角形的性质，用参数表示出点B的坐标，再将点B代入抛物线解析式，通过化简消参即可求出ac的值。思考时要注意：①抛物线与y轴交点的纵坐标就是解析式中的常数项c；②等腰直角三角形斜边上的高等于斜边长度的一半，据此可得到点B的横、纵坐标关系；③代入解析式后消去参数就能得到ac的乘积，不需要分别求a和c的值。
【解析】
设等腰直角$△ OAB$的斜边$OA$长度为$2k$（$k＞0$）：
1. 确定点A坐标与c的关系：点A在y轴负半轴，因此$A(0, -2k)$，抛物线$y=ax^2+c$与y轴交于A点，当$x=0$时$y=c$，故$c=-2k$。
2. 推导点B坐标：$△ OAB$为等腰直角三角形，直角顶点为B，因此B到y轴的距离等于$OA$长度的一半，且B在第四象限，可得B点坐标为$(k, -k)$。
3. 代入解析式化简：将B$(k, -k)$代入$y=ax^2+c$，得：
$-k = a· k^2 + c$
把$c=-2k$代入上式：
$-k = ak^2 -2k$
移项整理得$ak^2 =k$，因为$k≠0$，两边同时除以k得$ak=1$。
4. 计算ac的值：
$ac = a·(-2k) = -2ak = -2×1 = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
二次函数图象性质，等腰直角三角形性质，坐标与函数解析式
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合基础题，将几何性质转化为点的坐标是解题的核心，解题过程中不需要单独求解a和c的具体值，通过整体代换即可得到结果，有效考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
13 已知抛物线 $y=ax^2 + k(a≠0)$ 与 $y=3x^2$ 仅位置不同，其顶点坐标为 $(0,-2)$。
（1）写出抛物线 $y=ax^2 + k(a≠0)$ 对应的函数表达式，并说明该抛物线是由抛物线 $y=3x^2$ 经过怎样平移得到的；
（2）写出该抛物线的开口方向及对称轴；
（3）写出 $y$ 的值随 $x$ 值的变化情况；
（4）若 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$ 是抛物线上的两点，且 $x_1＜x_2＜0$，则 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系如何？
（1）写出抛物线 $y=ax^2 + k(a≠0)$ 对应的函数表达式，并说明该抛物线是由抛物线 $y=3x^2$ 经过怎样平移得到的；
（2）写出该抛物线的开口方向及对称轴；
（3）写出 $y$ 的值随 $x$ 值的变化情况；
（4）若 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$ 是抛物线上的两点，且 $x_1＜x_2＜0$，则 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系如何？
答案
13. (1) 由题意,得$a=3,k=-2, \therefore$ 该抛物线对应的函数表达式为$y=3x^2-2$.它是由抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位长度得到的
(2) 开口向上,对称轴为$y$轴
(3) 当$x＞0$时,$y$的值随$x$值的增大而增大;当$x＜0$时,$y$的值随$x$值的增大而减小
(4) 由(3),易得$y_1＞y_2$
(2) 开口向上,对称轴为$y$轴
(3) 当$x＞0$时,$y$的值随$x$值的增大而增大;当$x＜0$时,$y$的值随$x$值的增大而减小
(4) 由(3),易得$y_1＞y_2$
解析
【分析】
解题思路如下：
（1）两条抛物线仅位置不同说明形状、开口方向完全一致，因此二次项系数a与y=3x²的系数相等，得a=3；再将顶点坐标(0,-2)代入y=ax²+k即可求出k值，得到函数表达式；最后根据二次函数“上加下减常数项”的平移规律判断平移方式。
（2）根据二次项系数a的正负判断开口方向，形如y=ax²+k的抛物线对称轴固定为y轴。
（3）结合开口方向和对称轴，分x＞0、x＜0两种情况分别说明y随x的变化规律。
（4）已知x₁＜x₂＜0，两点均在对称轴左侧，根据左侧的增减性即可判断y₁和y₂的大小关系。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=ax^2 + k$与$y=3x^2$仅位置不同，
∴二者二次项系数相同，即$a=3$。
将顶点坐标$(0,-2)$代入$y=3x^2 + k$，得$k=-2$，因此抛物线的函数表达式为$y=3x^2 - 2$。
根据平移规律，该抛物线是由抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位长度得到的。
(2)
∵$a=3＞0$，
∴抛物线开口向上；
抛物线$y=3x^2 - 2$的对称轴为y轴。
(3) 该抛物线开口向上，对称轴为y轴，因此：
当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随$x$值的增大而减小。
(4)
∵$x_1＜x_2＜0$，两点都在对称轴左侧，且左侧y随x的增大而减小，因此x越小y值越大，可得$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) 该抛物线对应的函数表达式为$y=3x^2-2$，它是由抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位长度得到的
(2) 开口向上，对称轴为$y$轴
(3) 当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随$x$值的增大而减小
(4) $y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数y=ax²+k的性质，二次函数增减性判断
【点评】
本题是二次函数基础题型，围绕y=ax²+k的图象与性质设置问题，侧重考查对基础知识点的理解与应用，熟练掌握二次函数的开口、对称轴、增减性及平移规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：
（1）两条抛物线仅位置不同说明形状、开口方向完全一致，因此二次项系数a与y=3x²的系数相等，得a=3；再将顶点坐标(0,-2)代入y=ax²+k即可求出k值，得到函数表达式；最后根据二次函数“上加下减常数项”的平移规律判断平移方式。
（2）根据二次项系数a的正负判断开口方向，形如y=ax²+k的抛物线对称轴固定为y轴。
（3）结合开口方向和对称轴，分x＞0、x＜0两种情况分别说明y随x的变化规律。
（4）已知x₁＜x₂＜0，两点均在对称轴左侧，根据左侧的增减性即可判断y₁和y₂的大小关系。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=ax^2 + k$与$y=3x^2$仅位置不同，
∴二者二次项系数相同，即$a=3$。
将顶点坐标$(0,-2)$代入$y=3x^2 + k$，得$k=-2$，因此抛物线的函数表达式为$y=3x^2 - 2$。
根据平移规律，该抛物线是由抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位长度得到的。
(2)
∵$a=3＞0$，
∴抛物线开口向上；
抛物线$y=3x^2 - 2$的对称轴为y轴。
(3) 该抛物线开口向上，对称轴为y轴，因此：
当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随$x$值的增大而减小。
(4)
∵$x_1＜x_2＜0$，两点都在对称轴左侧，且左侧y随x的增大而减小，因此x越小y值越大，可得$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) 该抛物线对应的函数表达式为$y=3x^2-2$，它是由抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位长度得到的
(2) 开口向上，对称轴为$y$轴
(3) 当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随$x$值的增大而减小
(4) $y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数y=ax²+k的性质，二次函数增减性判断
【点评】
本题是二次函数基础题型，围绕y=ax²+k的图象与性质设置问题，侧重考查对基础知识点的理解与应用，熟练掌握二次函数的开口、对称轴、增减性及平移规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
14 如图,直线$l$过$A(4,0),B(0,4)$两点,它与二次函数$y=ax^2$的图象在第一象限内交于点$P$,若$△ AOP$的面积为$\frac{9}{2}$.
（1）求点$P$的坐标；
（2）求二次函数的表达式；
（3）能否将二次函数$y=ax^2$的图象上下平移,使平移后的图象经过点$A$？
（1）求点$P$的坐标；
（2）求二次函数的表达式；
（3）能否将二次函数$y=ax^2$的图象上下平移,使平移后的图象经过点$A$？
答案
14. (1) 设直线$l$对应的函数表达式为$y=kx+b. \because$ 直线$l$过$A(4,0),B(0,4)$两点,$\therefore \begin{cases}4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4.\end{cases} \therefore y=-x+4. \because △ AOP$的面积为$\frac{9}{2}, \therefore \frac{1}{2}×4×y_P=\frac{9}{2}. \therefore y_P=\frac{9}{4}. \therefore \frac{9}{4}=-x_P+4$,解得$x_P=\frac{7}{4}. \therefore$ 点$P$的坐标为$(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$
(2) 将$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$代入$y=ax^2$,得$\frac{9}{4}=a×(\frac{7}{4})^2$,解得$a=\frac{36}{49}. \therefore$ 二次函数的表达式为$y=\frac{36}{49}x^2$
(3) 设将二次函数$y=\frac{36}{49}x^2$的图象上下平移后的图象对应的函数表达式为$y=\frac{36}{49}x^2+m$. 将$A(4,0)$代入,得$0=\frac{36}{49}×4^2+m$,解得$m=-\frac{576}{49}. \therefore$ 能将二次函数$y=ax^2$的图象向下平移$\frac{576}{49}$个单位长度,使平移后的图象经过点$A$
(2) 将$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$代入$y=ax^2$,得$\frac{9}{4}=a×(\frac{7}{4})^2$,解得$a=\frac{36}{49}. \therefore$ 二次函数的表达式为$y=\frac{36}{49}x^2$
(3) 设将二次函数$y=\frac{36}{49}x^2$的图象上下平移后的图象对应的函数表达式为$y=\frac{36}{49}x^2+m$. 将$A(4,0)$代入,得$0=\frac{36}{49}×4^2+m$,解得$m=-\frac{576}{49}. \therefore$ 能将二次函数$y=ax^2$的图象向下平移$\frac{576}{49}$个单位长度,使平移后的图象经过点$A$
解析
【分析】
解题分三步推导：
1. 求点P坐标：先利用A、B两点坐标求出直线l的解析式，再结合△AOP的面积，以OA为底，点P的纵坐标为高，先算出P的纵坐标，再代入直线解析式求出横坐标，即可得到P点坐标。
2. 求二次函数表达式：二次函数$y=ax^2$仅含一个未知参数a，将第一问求出的P点坐标代入解析式，解出a即可得到二次函数表达式。
3. 判断平移可行性：二次函数上下平移时，二次项系数不变，仅常数项改变，设平移后的解析式为$y=ax^2+m$，将A点坐标代入，若能求出m则说明可以平移，根据m的正负可确定平移的方向和单位长度。
【解析】
(1) 设直线$l$对应的函数表达式为$y=kx+b$。
∵直线$l$过$A(4,0)$、$B(0,4)$两点，
∴代入得$\begin{cases}4k+b=0\\b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$，
∴直线$l$的解析式为$y=-x+4$。
∵$△ AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，$OA=4$，$△ AOP$的高等于点$P$的纵坐标$y_P$，
∴$\frac{1}{2} × 4 × y_P = \frac{9}{2}$，解得$y_P=\frac{9}{4}$。
将$y_P=\frac{9}{4}$代入$y=-x+4$，得$\frac{9}{4}=-x_P+4$，解得$x_P=\frac{7}{4}$，
∴点$P$的坐标为$(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。
(2) 将$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$代入$y=ax^2$，得：
$\frac{9}{4}=a × (\frac{7}{4})^2$，解得$a=\frac{36}{49}$，
∴二次函数的表达式为$y=\frac{36}{49}x^2$。
(3) 设上下平移后的二次函数解析式为$y=\frac{36}{49}x^2 + m$，
将$A(4,0)$代入上式，得：
$0=\frac{36}{49} × 4^2 + m$，解得$m=-\frac{576}{49}$，
∴能将二次函数$y=ax^2$的图象向下平移$\frac{576}{49}$个单位长度，使平移后的图象经过点$A$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(\frac{7}{4},\frac{9}{4})}$
(2) $\boldsymbol{y=\frac{36}{49}x^2}$
(3) 能，向下平移$\frac{576}{49}$个单位长度即可。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数性质，函数图象平移
【点评】
本题属于函数基础综合题，侧重考察待定系数法的应用和函数平移的规律，解题的突破口是利用三角形面积求出交点P的坐标，整体侧重基础，能很好地检验对函数核心性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题分三步推导：
1. 求点P坐标：先利用A、B两点坐标求出直线l的解析式，再结合△AOP的面积，以OA为底，点P的纵坐标为高，先算出P的纵坐标，再代入直线解析式求出横坐标，即可得到P点坐标。
2. 求二次函数表达式：二次函数$y=ax^2$仅含一个未知参数a，将第一问求出的P点坐标代入解析式，解出a即可得到二次函数表达式。
3. 判断平移可行性：二次函数上下平移时，二次项系数不变，仅常数项改变，设平移后的解析式为$y=ax^2+m$，将A点坐标代入，若能求出m则说明可以平移，根据m的正负可确定平移的方向和单位长度。
【解析】
(1) 设直线$l$对应的函数表达式为$y=kx+b$。
∵直线$l$过$A(4,0)$、$B(0,4)$两点，
∴代入得$\begin{cases}4k+b=0\\b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$，
∴直线$l$的解析式为$y=-x+4$。
∵$△ AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，$OA=4$，$△ AOP$的高等于点$P$的纵坐标$y_P$，
∴$\frac{1}{2} × 4 × y_P = \frac{9}{2}$，解得$y_P=\frac{9}{4}$。
将$y_P=\frac{9}{4}$代入$y=-x+4$，得$\frac{9}{4}=-x_P+4$，解得$x_P=\frac{7}{4}$，
∴点$P$的坐标为$(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。
(2) 将$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$代入$y=ax^2$，得：
$\frac{9}{4}=a × (\frac{7}{4})^2$，解得$a=\frac{36}{49}$，
∴二次函数的表达式为$y=\frac{36}{49}x^2$。
(3) 设上下平移后的二次函数解析式为$y=\frac{36}{49}x^2 + m$，
将$A(4,0)$代入上式，得：
$0=\frac{36}{49} × 4^2 + m$，解得$m=-\frac{576}{49}$，
∴能将二次函数$y=ax^2$的图象向下平移$\frac{576}{49}$个单位长度，使平移后的图象经过点$A$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(\frac{7}{4},\frac{9}{4})}$
(2) $\boldsymbol{y=\frac{36}{49}x^2}$
(3) 能，向下平移$\frac{576}{49}$个单位长度即可。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数性质，函数图象平移
【点评】
本题属于函数基础综合题，侧重考察待定系数法的应用和函数平移的规律，解题的突破口是利用三角形面积求出交点P的坐标，整体侧重基础，能很好地检验对函数核心性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
