登录
1 二次函数$y=x^2$的图象一定经过（
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
A
）A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=x^2$的基本性质：第一步先判断开口方向，由二次项系数的正负决定，本题二次项系数为1＞0，可知抛物线开口向上；第二步分析函数值的符号，任意实数的平方均为非负数，即$y=x^2≥0$，仅当x=0时y=0，其余情况y均为正；第三步结合象限内点的坐标符号特征，x＞0时y＞0对应第一象限，x＜0时y＞0对应第二象限，即可判断图象经过的象限。
【解析】
对于二次函数$y=x^2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$；
2. 对任意非零实数$x$，都有$x^2＞0$，即$y＞0$：
当$x＞0$时，点$(x,y)$的横、纵坐标均为正，位于第一象限；
当$x＜0$时，点$(x,y)$的横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限。
因此该二次函数的图象一定经过第一、二象限，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的图象性质
2. 象限的坐标符号特征
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对最简单二次函数图象特征的掌握，牢记开口方向、函数值取值范围等基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数$y=x^2$的基本性质：第一步先判断开口方向，由二次项系数的正负决定，本题二次项系数为1＞0，可知抛物线开口向上；第二步分析函数值的符号，任意实数的平方均为非负数，即$y=x^2≥0$，仅当x=0时y=0，其余情况y均为正；第三步结合象限内点的坐标符号特征，x＞0时y＞0对应第一象限，x＜0时y＞0对应第二象限，即可判断图象经过的象限。
【解析】
对于二次函数$y=x^2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$；
2. 对任意非零实数$x$，都有$x^2＞0$，即$y＞0$：
当$x＞0$时，点$(x,y)$的横、纵坐标均为正，位于第一象限；
当$x＜0$时，点$(x,y)$的横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限。
因此该二次函数的图象一定经过第一、二象限，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的图象性质
2. 象限的坐标符号特征
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对最简单二次函数图象特征的掌握，牢记开口方向、函数值取值范围等基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2 [2025 绍兴越城期末]已知函数$y=x^2$，下列说法错误的是（
A.对称轴是y轴
B.点$(-1,2)$在该函数图象上
C.当$x＞0$时，y随x的增大而增大
D.函数图象有最低点
B
）A.对称轴是y轴
B.点$(-1,2)$在该函数图象上
C.当$x＞0$时，y随x的增大而增大
D.函数图象有最低点
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=x^2$的性质及函数图象上点的坐标特征，解题思路如下：首先回忆二次函数$y=ax^2$的基础性质，包括对称轴、开口方向、增减性、最值等，再逐一验证每个选项：判断点是否在函数图象上时，将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的函数值与点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之则不在；判断性质相关选项时，直接对应$y=x^2$的性质验证即可，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 二次函数$y=x^2$属于$y=ax^2$（$a=1$）的形式，其对称轴为直线$x=0$，即y轴，该选项说法正确，不符合题意；
B. 将$x=-1$代入$y=x^2$，得$y=(-1)^2=1≠2$，因此点$(-1,2)$不在该函数图象上，该选项说法错误，符合题意；
C. $y=x^2$的开口向上，对称轴为y轴，因此在对称轴右侧（$x＞0$）时，y随x的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意；
D. $y=x^2$开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，因此函数图象有最低点$(0,0)$，该选项说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=x^2$的图象与性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对基础二次函数性质的掌握程度，熟练记忆$y=x^2$的开口方向、对称轴、增减性等核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=x^2$的性质及函数图象上点的坐标特征，解题思路如下：首先回忆二次函数$y=ax^2$的基础性质，包括对称轴、开口方向、增减性、最值等，再逐一验证每个选项：判断点是否在函数图象上时，将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的函数值与点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之则不在；判断性质相关选项时，直接对应$y=x^2$的性质验证即可，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 二次函数$y=x^2$属于$y=ax^2$（$a=1$）的形式，其对称轴为直线$x=0$，即y轴，该选项说法正确，不符合题意；
B. 将$x=-1$代入$y=x^2$，得$y=(-1)^2=1≠2$，因此点$(-1,2)$不在该函数图象上，该选项说法错误，符合题意；
C. $y=x^2$的开口向上，对称轴为y轴，因此在对称轴右侧（$x＞0$）时，y随x的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意；
D. $y=x^2$开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，因此函数图象有最低点$(0,0)$，该选项说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=x^2$的图象与性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对基础二次函数性质的掌握程度，熟练记忆$y=x^2$的开口方向、对称轴、增减性等核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3 [2024广东]若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_1＜y_2＜y_3$
。答案
$y_1＜y_2＜y_3$
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：直接将各点的横坐标代入二次函数解析式，计算出对应的y值后比较大小；思路二：利用二次函数$y=x^2$的增减性判断，二次函数$y=x^2$开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），在$x≥0$的范围内，y随x的增大而增大，已知三个点的横坐标均满足$x≥0$，可直接通过横坐标的大小关系推导对应函数值的大小关系。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将$x=0$代入$y=x^2$，得$y_1=0^2=0$；
将$x=1$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y_3=2^2=4$；
∵$0＜1＜4$，
∴$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二（增减性判断法）：
二次函数$y=x^2$的二次项系数为$1＞0$，图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，
∴当$x≥0$时，y随x的增大而增大，
又
∵$0＜1＜2$，
∴对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
$y_1＜y_2＜y_3$
【知识点】
1.二次函数$y=x^2$的性质 2.函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题方法灵活，既可以通过代入计算直接比较，也可以利用函数增减性快速判断，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一：直接将各点的横坐标代入二次函数解析式，计算出对应的y值后比较大小；思路二：利用二次函数$y=x^2$的增减性判断，二次函数$y=x^2$开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），在$x≥0$的范围内，y随x的增大而增大，已知三个点的横坐标均满足$x≥0$，可直接通过横坐标的大小关系推导对应函数值的大小关系。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将$x=0$代入$y=x^2$，得$y_1=0^2=0$；
将$x=1$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y_3=2^2=4$；
∵$0＜1＜4$，
∴$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二（增减性判断法）：
二次函数$y=x^2$的二次项系数为$1＞0$，图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，
∴当$x≥0$时，y随x的增大而增大，
又
∵$0＜1＜2$，
∴对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$。
【答案】
$y_1＜y_2＜y_3$
【知识点】
1.二次函数$y=x^2$的性质 2.函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题方法灵活，既可以通过代入计算直接比较，也可以利用函数增减性快速判断，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
4 教材变式题 已知一等腰直角三角形的斜边长为$2x$ cm，其面积为$y$ $cm^2$.
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式，并写出$x$的取值范围；
(2) 列出当$x=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3$时，$y$与$x$的对应值表；
(3) 画出$y$关于$x$的函数图象.
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式，并写出$x$的取值范围；
(2) 列出当$x=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3$时，$y$与$x$的对应值表；
(3) 画出$y$关于$x$的函数图象.
答案
(1) $\because$ 等腰直角三角形的斜边长为$2x$ cm,$\therefore$ 易得直角边长为$\sqrt{2}x$ cm. $\therefore y=\frac{1}{2}(\sqrt{2}x)^2=x^2(x＞0)$
(2) 列表如下：
| $x$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $\frac{3}{2}$ | $2$ | $\frac{5}{2}$ | $3$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $\frac{9}{4}$ | $4$ | $\frac{25}{4}$ | $9$ |
(3)
解析
【分析】
(1) 求y关于x的函数表达式，首先利用等腰直角三角形的三边关系结合勾股定理求出直角边长，再代入三角形面积公式推导即可，结合边长为正的实际意义可确定x的取值范围；(2) 求对应值表只需将给定的x值依次代入第一问得到的函数表达式，计算出对应y值即可；(3) 画函数图象遵循“列表、描点、连线”的步骤，注意x＞0，图象仅在第一象限。
【解析】
(1) 设该等腰直角三角形的直角边长为$a$ cm，根据勾股定理可得：
$a^2+a^2=(2x)^2$，整理得$2a^2=4x^2$，即$a^2=2x^2$，
∵ 边长为正数，
∴ $a=\sqrt{2}x$，
根据三角形面积公式可得$y=\frac{1}{2} · a · a=\frac{1}{2}a^2$，
将$a^2=2x^2$代入得：$y=\frac{1}{2} × 2x^2=x^2$，
∵ 斜边长$2x＞0$，
∴ $x＞0$。
(2) 将$x=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3$分别代入$y=x^2$计算，可得对应y值分别为$\frac{1}{4}、1、\frac{9}{4}、4、\frac{25}{4}、9$，列表如下：
| $x$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $\frac{3}{2}$ | $2$ | $\frac{5}{2}$ | $3$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $\frac{9}{4}$ | $4$ | $\frac{25}{4}$ | $9$ |
(3) 根据上表的坐标点描点，再用平滑曲线依次连接各点，得到函数图象：
【答案】
(1) $y=x^2(x＞0)$
(2)
| $x$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $\frac{3}{2}$ | $2$ | $\frac{5}{2}$ | $3$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $\frac{9}{4}$ | $4$ | $\frac{25}{4}$ | $9$ |
(3)
【知识点】
等腰直角三角形性质，二次函数解析式，二次函数图象
【点评】
本题结合几何图形考查二次函数基础应用，覆盖了函数表达式求解、列表求对应值、描点画图的完整流程，解题时需注意自变量的实际意义，避免忽略取值范围导致图象出错。
【难度系数】
0.8
(1) 求y关于x的函数表达式，首先利用等腰直角三角形的三边关系结合勾股定理求出直角边长，再代入三角形面积公式推导即可，结合边长为正的实际意义可确定x的取值范围；(2) 求对应值表只需将给定的x值依次代入第一问得到的函数表达式，计算出对应y值即可；(3) 画函数图象遵循“列表、描点、连线”的步骤，注意x＞0，图象仅在第一象限。
【解析】
(1) 设该等腰直角三角形的直角边长为$a$ cm，根据勾股定理可得：
$a^2+a^2=(2x)^2$，整理得$2a^2=4x^2$，即$a^2=2x^2$，
∵ 边长为正数，
∴ $a=\sqrt{2}x$，
根据三角形面积公式可得$y=\frac{1}{2} · a · a=\frac{1}{2}a^2$，
将$a^2=2x^2$代入得：$y=\frac{1}{2} × 2x^2=x^2$，
∵ 斜边长$2x＞0$，
∴ $x＞0$。
(2) 将$x=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3$分别代入$y=x^2$计算，可得对应y值分别为$\frac{1}{4}、1、\frac{9}{4}、4、\frac{25}{4}、9$，列表如下：
| $x$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $\frac{3}{2}$ | $2$ | $\frac{5}{2}$ | $3$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $\frac{9}{4}$ | $4$ | $\frac{25}{4}$ | $9$ |
(3) 根据上表的坐标点描点，再用平滑曲线依次连接各点，得到函数图象：
【答案】
(1) $y=x^2(x＞0)$
(2)
| $x$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $\frac{3}{2}$ | $2$ | $\frac{5}{2}$ | $3$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $\frac{9}{4}$ | $4$ | $\frac{25}{4}$ | $9$ |
(3)
【知识点】
等腰直角三角形性质，二次函数解析式，二次函数图象
【点评】
本题结合几何图形考查二次函数基础应用，覆盖了函数表达式求解、列表求对应值、描点画图的完整流程，解题时需注意自变量的实际意义，避免忽略取值范围导致图象出错。
【难度系数】
0.8
5 对于二次函数 $y=x^2$ 与 $y=-x^2$ 的图象，下列说法错误的是 （
A.对称轴相同
B.顶点的坐标相同
C.都有最高点
D.开口方向相反
C
）A.对称轴相同
B.顶点的坐标相同
C.都有最高点
D.开口方向相反
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，解题思路如下：首先明确形如$y=ax^2$的二次函数的通用性质，以及系数$a$对图象的影响，再逐一对应四个选项判断正误，最终选出说法错误的选项。第一步，回忆$y=ax^2$的共同性质：对称轴都是y轴（直线$x=0$），顶点坐标都是$(0,0)$；第二步，明确$a$的作用：$a＞0$时开口向上，函数有最低点；$a＜0$时开口向下，函数有最高点；第三步，分别对应两个函数的$a$值，逐一验证选项即可。
【解析】
我们先分别梳理两个二次函数的图象性质：
1. 二次函数$y=x^2$：其中$a=1＞0$，因此开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，开口向上故有最低点；
2. 二次函数$y=-x^2$：其中$a=-1＜0$，因此开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，开口向下故有最高点。
接下来逐一判断选项：
A选项：两个函数对称轴都是y轴，对称轴相同，说法正确；
B选项：两个函数顶点坐标都是$(0,0)$，顶点坐标相同，说法正确；
C选项：$y=x^2$有最低点，只有$y=-x^2$有最高点，并非都有最高点，说法错误；
D选项：$y=x^2$开口向上，$y=-x^2$开口向下，开口方向相反，说法正确。
因此本题选说法错误的C选项。
【答案】
C
【知识点】
$y=ax^2$的图象性质；二次函数开口方向；二次函数顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，核心是掌握系数$a$对$y=ax^2$图象开口方向的影响，以及这类最简二次函数的对称轴、顶点的规律，熟练记忆性质就能快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，解题思路如下：首先明确形如$y=ax^2$的二次函数的通用性质，以及系数$a$对图象的影响，再逐一对应四个选项判断正误，最终选出说法错误的选项。第一步，回忆$y=ax^2$的共同性质：对称轴都是y轴（直线$x=0$），顶点坐标都是$(0,0)$；第二步，明确$a$的作用：$a＞0$时开口向上，函数有最低点；$a＜0$时开口向下，函数有最高点；第三步，分别对应两个函数的$a$值，逐一验证选项即可。
【解析】
我们先分别梳理两个二次函数的图象性质：
1. 二次函数$y=x^2$：其中$a=1＞0$，因此开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，开口向上故有最低点；
2. 二次函数$y=-x^2$：其中$a=-1＜0$，因此开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，开口向下故有最高点。
接下来逐一判断选项：
A选项：两个函数对称轴都是y轴，对称轴相同，说法正确；
B选项：两个函数顶点坐标都是$(0,0)$，顶点坐标相同，说法正确；
C选项：$y=x^2$有最低点，只有$y=-x^2$有最高点，并非都有最高点，说法错误；
D选项：$y=x^2$开口向上，$y=-x^2$开口向下，开口方向相反，说法正确。
因此本题选说法错误的C选项。
【答案】
C
【知识点】
$y=ax^2$的图象性质；二次函数开口方向；二次函数顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，核心是掌握系数$a$对$y=ax^2$图象开口方向的影响，以及这类最简二次函数的对称轴、顶点的规律，熟练记忆性质就能快速作答。
【难度系数】
0.9
6 不在抛物线$y=-x^2$上的点是 （
A.$(1,-1)$
B.$(\sqrt{5},-5)$
C.$(-\sqrt{5},5)$
D.$(0,0)$
C
）A.$(1,-1)$
B.$(\sqrt{5},-5)$
C.$(-\sqrt{5},5)$
D.$(0,0)$
答案
C
解析
【分析】
要判断点是否在抛物线上，核心方法是验证点的坐标是否满足抛物线的解析式：将点的横坐标代入解析式计算对应的y值，若计算结果和点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。我们只需逐个代入四个选项的横坐标计算，对比纵坐标即可找到不在抛物线上的点。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-x^2$，逐个验证选项：
A. 当$x=1$时，$y=-1^2=-1$，与点$(1,-1)$的纵坐标相等，故该点在抛物线上，不符合题意；
B. 当$x=\sqrt{5}$时，$y=-(\sqrt{5})^2=-5$，与点$(\sqrt{5},-5)$的纵坐标相等，故该点在抛物线上，不符合题意；
C. 当$x=-\sqrt{5}$时，$y=-(-\sqrt{5})^2=-5$，与点$(-\sqrt{5},5)$的纵坐标$5$不相等，故该点不在抛物线上，符合题意；
D. 当$x=0$时，$y=-0^2=0$，与点$(0,0)$的纵坐标相等，故该点在抛物线上，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图像上点的坐标特征
2. 乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握判断点是否在函数图像上的通用方法：代入横坐标求纵坐标，对比是否与已知纵坐标一致，计算时注意符号规则，避免把负号计入平方运算导致出错。
【难度系数】
0.9
要判断点是否在抛物线上，核心方法是验证点的坐标是否满足抛物线的解析式：将点的横坐标代入解析式计算对应的y值，若计算结果和点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。我们只需逐个代入四个选项的横坐标计算，对比纵坐标即可找到不在抛物线上的点。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-x^2$，逐个验证选项：
A. 当$x=1$时，$y=-1^2=-1$，与点$(1,-1)$的纵坐标相等，故该点在抛物线上，不符合题意；
B. 当$x=\sqrt{5}$时，$y=-(\sqrt{5})^2=-5$，与点$(\sqrt{5},-5)$的纵坐标相等，故该点在抛物线上，不符合题意；
C. 当$x=-\sqrt{5}$时，$y=-(-\sqrt{5})^2=-5$，与点$(-\sqrt{5},5)$的纵坐标$5$不相等，故该点不在抛物线上，符合题意；
D. 当$x=0$时，$y=-0^2=0$，与点$(0,0)$的纵坐标相等，故该点在抛物线上，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图像上点的坐标特征
2. 乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握判断点是否在函数图像上的通用方法：代入横坐标求纵坐标，对比是否与已知纵坐标一致，计算时注意符号规则，避免把负号计入平方运算导致出错。
【难度系数】
0.9
7 教材变式题 已知抛物线 $ y = -x^2 $。若点$(a, -4)$在此抛物线上，则$a=$
2或-2
；点$A(-3, 9)$关于$x$轴的对称点在
此抛物线上(填“在”或“不在”)。答案
2或-2 在
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步求解a的值，根据“点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线解析式”的性质，将点的坐标代入解析式解方程即可；第二步判断对称点是否在抛物线上，先根据“关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数”求出对称点坐标，再代入解析式验证左右两边是否相等即可。
【解析】
1. 求a的值：
已知点$(a, -4)$在抛物线$y=-x^2$上，将$x=a$，$y=-4$代入解析式得：
$-4=-a^2$
整理得$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
2. 判断对称点是否在抛物线上：
点$A(-3,9)$关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标取相反数，即对称点坐标为$(-3,-9)$。
将$x=-3$代入抛物线解析式得：
$y=-(-3)^2=-9$，与对称点的纵坐标相等，因此该点在抛物线上。
【答案】
2或-2；在
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；关于x轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与点坐标的对应关系，以及轴对称点的坐标变化规律，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为两步：第一步求解a的值，根据“点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线解析式”的性质，将点的坐标代入解析式解方程即可；第二步判断对称点是否在抛物线上，先根据“关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数”求出对称点坐标，再代入解析式验证左右两边是否相等即可。
【解析】
1. 求a的值：
已知点$(a, -4)$在抛物线$y=-x^2$上，将$x=a$，$y=-4$代入解析式得：
$-4=-a^2$
整理得$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
2. 判断对称点是否在抛物线上：
点$A(-3,9)$关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标取相反数，即对称点坐标为$(-3,-9)$。
将$x=-3$代入抛物线解析式得：
$y=-(-3)^2=-9$，与对称点的纵坐标相等，因此该点在抛物线上。
【答案】
2或-2；在
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；关于x轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与点坐标的对应关系，以及轴对称点的坐标变化规律，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8 二次函数$y=-x^2$的图象与一次函数$y=2x+a$的图象交于点$P(1,m)$，则$a=$
-3
，$m=$-1
。答案
-3 -1
解析
【分析】
本题已知两个函数图象的交点坐标，解题的核心思路是：函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式，交点同时在两个函数图象上，因此坐标可分别代入两个函数解析式求解未知参数。第一步先将点P的横坐标代入二次函数解析式，求出m的值，得到点P的完整坐标；第二步再将完整的点P坐标代入一次函数解析式，即可解出a的值。
【解析】
∵ 点$P(1,m)$在二次函数$y=-x^2$的图象上，
∴ 将$x=1$代入$y=-x^2$，得：
$m=-1^2=-1$，
即点$P$的坐标为$(1,-1)$。
又
∵ 点$P(1,-1)$在一次函数$y=2x+a$的图象上，
∴ 将$x=1$，$y=-1$代入$y=2x+a$，得：
$-1=2×1+a$，
解得：$a=-1-2=-3$。
【答案】
$-3$；$-1$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数参数求解
【点评】
本题属于基础类题目，考查对函数交点性质的理解，解题的关键是明确交点坐标同时满足两个相交函数的解析式，按照先求完整交点坐标、再代入求未知参数的顺序计算即可，整体计算难度低，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题已知两个函数图象的交点坐标，解题的核心思路是：函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式，交点同时在两个函数图象上，因此坐标可分别代入两个函数解析式求解未知参数。第一步先将点P的横坐标代入二次函数解析式，求出m的值，得到点P的完整坐标；第二步再将完整的点P坐标代入一次函数解析式，即可解出a的值。
【解析】
∵ 点$P(1,m)$在二次函数$y=-x^2$的图象上，
∴ 将$x=1$代入$y=-x^2$，得：
$m=-1^2=-1$，
即点$P$的坐标为$(1,-1)$。
又
∵ 点$P(1,-1)$在一次函数$y=2x+a$的图象上，
∴ 将$x=1$，$y=-1$代入$y=2x+a$，得：
$-1=2×1+a$，
解得：$a=-1-2=-3$。
【答案】
$-3$；$-1$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数参数求解
【点评】
本题属于基础类题目，考查对函数交点性质的理解，解题的关键是明确交点坐标同时满足两个相交函数的解析式，按照先求完整交点坐标、再代入求未知参数的顺序计算即可，整体计算难度低，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
9 转化与化归思想 如图，A，D为抛物线$y=x^2$上的两点，B，C为抛物线$y=-x^2$上的两点，$AD// BC// x$轴.若$AD=2$，求点A，B，C，D的坐标及涂色部分的面积.
答案
$A(-1,1),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1),S_{涂色}=\frac{1}{2}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{2}×2×2=2$
解析
【分析】
解题时先利用抛物线$y=x^2$的轴对称性确定点A、D的横坐标：已知AD平行于x轴且长度为2，抛物线$y=x^2$关于y轴对称，因此A、D的横坐标互为相反数，横坐标差为2，可推出两点横坐标分别为-1和1，代入抛物线解析式即可求得纵坐标，得到A、D坐标；再根据BC平行于x轴，且AB、CD垂直于x轴，可知B和A横坐标相同，C和D横坐标相同，代入$y=-x^2$即可求得B、C坐标；求阴影面积时，利用抛物线$y=x^2$和$y=-x^2$的对称性，通过割补法可发现阴影部分面积恰好是正方形ABCD面积的一半，代入正方形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点A、D的坐标：
∵ 抛物线$y=x^2$关于y轴对称，且$AD// x$轴，$AD=2$
∴ 点A与点D关于y轴对称，横坐标分别为$-1$和$1$
将$x=1$代入$y=x^2$，得$y=1^2=1$
∴ $A(-1,1)$，$D(1,1)$
2. 求点B、C的坐标：
∵ $BC// x$轴，$AB⊥ x$轴、$CD⊥ x$轴
∴ 点B横坐标与A相同为$-1$，点C横坐标与D相同为$1$
将$x=-1$代入$y=-x^2$，得$y=-(-1)^2=-1$
∴ $B(-1,-1)$，同理可得$C(1,-1)$
3. 计算涂色部分面积：
由点坐标可知正方形ABCD的边长为$1-(-1)=2$，则正方形面积$S_{正方形ABCD}=2×2=4$
根据抛物线的中心对称性和轴对称性，将分散的阴影部分割补后，可得涂色部分面积为正方形面积的一半
∴ $S_{涂色}=\frac{1}{2}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
$A(-1,1),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1)$，涂色部分面积为$2$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数图象上点的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题依托二次函数图象，考查对称性的应用，将不规则图形的面积转化为规则图形面积求解，渗透了转化与化归的数学思想，解题的关键是灵活运用抛物线的对称性简化计算。
【难度系数】
0.7
解题时先利用抛物线$y=x^2$的轴对称性确定点A、D的横坐标：已知AD平行于x轴且长度为2，抛物线$y=x^2$关于y轴对称，因此A、D的横坐标互为相反数，横坐标差为2，可推出两点横坐标分别为-1和1，代入抛物线解析式即可求得纵坐标，得到A、D坐标；再根据BC平行于x轴，且AB、CD垂直于x轴，可知B和A横坐标相同，C和D横坐标相同，代入$y=-x^2$即可求得B、C坐标；求阴影面积时，利用抛物线$y=x^2$和$y=-x^2$的对称性，通过割补法可发现阴影部分面积恰好是正方形ABCD面积的一半，代入正方形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点A、D的坐标：
∵ 抛物线$y=x^2$关于y轴对称，且$AD// x$轴，$AD=2$
∴ 点A与点D关于y轴对称，横坐标分别为$-1$和$1$
将$x=1$代入$y=x^2$，得$y=1^2=1$
∴ $A(-1,1)$，$D(1,1)$
2. 求点B、C的坐标：
∵ $BC// x$轴，$AB⊥ x$轴、$CD⊥ x$轴
∴ 点B横坐标与A相同为$-1$，点C横坐标与D相同为$1$
将$x=-1$代入$y=-x^2$，得$y=-(-1)^2=-1$
∴ $B(-1,-1)$，同理可得$C(1,-1)$
3. 计算涂色部分面积：
由点坐标可知正方形ABCD的边长为$1-(-1)=2$，则正方形面积$S_{正方形ABCD}=2×2=4$
根据抛物线的中心对称性和轴对称性，将分散的阴影部分割补后，可得涂色部分面积为正方形面积的一半
∴ $S_{涂色}=\frac{1}{2}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
$A(-1,1),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1)$，涂色部分面积为$2$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数图象上点的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题依托二次函数图象，考查对称性的应用，将不规则图形的面积转化为规则图形面积求解，渗透了转化与化归的数学思想，解题的关键是灵活运用抛物线的对称性简化计算。
【难度系数】
0.7
