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10 [2025 兰州]如图,在正方形ABCD中,AB=2 cm,对角线AC,BD相交于点O,动点P从点O出发沿O→A→B方向以$\sqrt{2}$ cm/s的速度运动,同时点Q从点C出发沿C→D方向以1 cm/s的速度运动.当点Q到达点D时,点P,Q同时停止运动.若运动时间为x s,$△ CPQ$的面积为y cm²,则当点P分别在OA,AB上运动时,y与x之间的函数关系分别是 （
A.均为一次函数
B.一次函数,二次函数
C.均为二次函数
D.二次函数,一次函数
D
）A.均为一次函数
B.一次函数,二次函数
C.均为二次函数
D.二次函数,一次函数
答案
10. D
解析
【分析】
解题时需分点P在OA上、点P在AB上两种情况讨论：首先确定运动时间的分段范围，正方形边长为2cm，对角线OA长为√2 cm，结合P的运动速度可知P在OA上的运动时间为1s，Q从C到D的总运动时间为2s，因此0≤x≤1时P在OA上，1＜x≤2时P在AB上。再分别找到两种情况下△CPQ的底和对应高，代入三角形面积公式得到y与x的函数关系式，最后判断函数类型即可。
【解析】
设运动时间为x s，由题意得CQ=x cm。
1. 当点P在OA上运动（0≤x≤1）时：
点P到CD边的水平距离为(x+1) cm，根据三角形面积公式：
$y = \frac{1}{2} × CQ × 水平距离 = \frac{1}{2} × x × (x+1) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x$，属于二次函数。
2. 当点P在AB上运动（1＜x≤2）时：
AB为正方形左侧边，点P到CD边的水平距离恒等于正方形边长2 cm，因此：
$y = \frac{1}{2} × CQ × 2 = \frac{1}{2} × x × 2 = x$，属于一次函数。
因此两段函数关系分别为二次函数、一次函数。
【答案】
D
【知识点】
动点问题，三角形面积计算，函数类型判断
【点评】
本题是几何动点与函数类型结合的典型题型，解题核心是根据动点的不同位置分类讨论，准确提取三角形的底和高的长度，进而得到面积的函数表达式再判断类型，需注意分段讨论时取值范围的划分。
【难度系数】
0.7
解题时需分点P在OA上、点P在AB上两种情况讨论：首先确定运动时间的分段范围，正方形边长为2cm，对角线OA长为√2 cm，结合P的运动速度可知P在OA上的运动时间为1s，Q从C到D的总运动时间为2s，因此0≤x≤1时P在OA上，1＜x≤2时P在AB上。再分别找到两种情况下△CPQ的底和对应高，代入三角形面积公式得到y与x的函数关系式，最后判断函数类型即可。
【解析】
设运动时间为x s，由题意得CQ=x cm。
1. 当点P在OA上运动（0≤x≤1）时：
点P到CD边的水平距离为(x+1) cm，根据三角形面积公式：
$y = \frac{1}{2} × CQ × 水平距离 = \frac{1}{2} × x × (x+1) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x$，属于二次函数。
2. 当点P在AB上运动（1＜x≤2）时：
AB为正方形左侧边，点P到CD边的水平距离恒等于正方形边长2 cm，因此：
$y = \frac{1}{2} × CQ × 2 = \frac{1}{2} × x × 2 = x$，属于一次函数。
因此两段函数关系分别为二次函数、一次函数。
【答案】
D
【知识点】
动点问题，三角形面积计算，函数类型判断
【点评】
本题是几何动点与函数类型结合的典型题型，解题核心是根据动点的不同位置分类讨论，准确提取三角形的底和高的长度，进而得到面积的函数表达式再判断类型，需注意分段讨论时取值范围的划分。
【难度系数】
0.7
11（易错题）当$m=$
2
时，函数$y=(m^2 - 1)x^{m^2 - m} - mx - 8$是以$x$为自变量的二次函数。答案
11. 2
解析
【分析】
要判定给定函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义，同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2；二是二次项的系数不能为0（若系数为0，二次项消失，函数就不是二次函数）。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再代入二次项系数验证，排除使系数为0的m值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列如下条件：
1. 自变量x的最高次数为2：
$m^2 - m = 2$
整理为一元二次方程：$m^2 - m - 2 = 0$
因式分解得：$(m-2)(m+1)=0$
解得：$m=2$ 或 $m=-1$
2. 二次项系数不为0：
$m^2 - 1 ≠ 0$
解得：$m ≠ 1$ 且 $m ≠ -1$
结合两个条件，舍去不符合要求的$m=-1$，最终得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的定义，一元二次方程求解，不等式求解
【点评】
本题是二次函数判定类的易错题，解题时常出现忽略二次项系数不为0的限制条件，直接把次数方程的两个解都作为答案的错误，牢记二次函数判定需同时满足最高次为2、二次项系数不为0两个要求，就能避开这类易错点。
【难度系数】
0.6
要判定给定函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义，同时满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2；二是二次项的系数不能为0（若系数为0，二次项消失，函数就不是二次函数）。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再代入二次项系数验证，排除使系数为0的m值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列如下条件：
1. 自变量x的最高次数为2：
$m^2 - m = 2$
整理为一元二次方程：$m^2 - m - 2 = 0$
因式分解得：$(m-2)(m+1)=0$
解得：$m=2$ 或 $m=-1$
2. 二次项系数不为0：
$m^2 - 1 ≠ 0$
解得：$m ≠ 1$ 且 $m ≠ -1$
结合两个条件，舍去不符合要求的$m=-1$，最终得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的定义，一元二次方程求解，不等式求解
【点评】
本题是二次函数判定类的易错题，解题时常出现忽略二次项系数不为0的限制条件，直接把次数方程的两个解都作为答案的错误，牢记二次函数判定需同时满足最高次为2、二次项系数不为0两个要求，就能避开这类易错点。
【难度系数】
0.6
12 数形结合思想 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本为每千克40元的农产品，如图所示为该种农产品的日销售量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数图象，请结合图象解答下面的问题：
(1) 求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2) 求日销售利润w(元)与x(元)之间的函数表达式.
(1) 求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2) 求日销售利润w(元)与x(元)之间的函数表达式.
答案
12. (1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$.把$(50,50)$,$(80,20)$代入,得$\begin{cases}50k+b=50,\\80k+b=20,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=100.\end{cases}$ $\therefore y=-x+100$.
令$y=0$,则$-x+100=0$,解得$x=100$.
∵ 该农产品的成本为每千克40元,
∴ 自变量$x$的取值范围是$40＜x＜100$. $\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+100(40＜x＜100)$
(2) $w=(x-40)y=(x-40)(-x+100)=-x^2+140x-4000$
令$y=0$,则$-x+100=0$,解得$x=100$.
∵ 该农产品的成本为每千克40元,
∴ 自变量$x$的取值范围是$40＜x＜100$. $\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+100(40＜x＜100)$
(2) $w=(x-40)y=(x-40)(-x+100)=-x^2+140x-4000$
解析
【分析】
(1) 观察图象可知y与x为一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数表达式为y=kx+b，选取图象上两个已知点(50,50)和(80,20)代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出函数表达式；再结合实际意义确定自变量范围：销售单价需高于成本40元，且日销售量y＞0，令y=0求出对应x值得到x的上限，最终确定x的取值范围。
(2) 根据“总利润=每千克利润×日销售量”的数量关系求解：每千克利润为(x-40)元，将第一问求出的y的表达式代入公式，展开化简即可得到w与x的函数表达式。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$。
把$(50,50)$、$(80,20)$代入表达式，得：
$\begin{cases}50k+b=50\\80k+b=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=100\end{cases}$
$\therefore y=-x+100$
令$y=0$，则$-x+100=0$，解得$x=100$。
∵ 该农产品成本为每千克40元，销售单价需高于成本，且销售量大于0，
∴ 自变量$x$的取值范围是$40＜x＜100$。
即$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+100(40＜x＜100)$。
(2) 日销售利润=每千克利润×日销售量，每千克利润为$(x-40)$元，因此：
$w=(x-40)y$
将$y=-x+100$代入，得：
$w=(x-40)(-x+100)=-x^2+140x-4000$
【答案】
(1) $y=-x+100(40＜x＜100)$
(2) $w=-x^2+140x-4000$
【知识点】
待定系数法求一次函数；销售利润计算；二次函数应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查函数的应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时要结合实际意义确定自变量的取值范围，牢记销售类问题的基本数量关系，是典型的函数基础应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图象可知y与x为一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数表达式为y=kx+b，选取图象上两个已知点(50,50)和(80,20)代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出函数表达式；再结合实际意义确定自变量范围：销售单价需高于成本40元，且日销售量y＞0，令y=0求出对应x值得到x的上限，最终确定x的取值范围。
(2) 根据“总利润=每千克利润×日销售量”的数量关系求解：每千克利润为(x-40)元，将第一问求出的y的表达式代入公式，展开化简即可得到w与x的函数表达式。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$。
把$(50,50)$、$(80,20)$代入表达式，得：
$\begin{cases}50k+b=50\\80k+b=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=100\end{cases}$
$\therefore y=-x+100$
令$y=0$，则$-x+100=0$，解得$x=100$。
∵ 该农产品成本为每千克40元，销售单价需高于成本，且销售量大于0，
∴ 自变量$x$的取值范围是$40＜x＜100$。
即$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+100(40＜x＜100)$。
(2) 日销售利润=每千克利润×日销售量，每千克利润为$(x-40)$元，因此：
$w=(x-40)y$
将$y=-x+100$代入，得：
$w=(x-40)(-x+100)=-x^2+140x-4000$
【答案】
(1) $y=-x+100(40＜x＜100)$
(2) $w=-x^2+140x-4000$
【知识点】
待定系数法求一次函数；销售利润计算；二次函数应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查函数的应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时要结合实际意义确定自变量的取值范围，牢记销售类问题的基本数量关系，是典型的函数基础应用题型。
【难度系数】
0.7
13 如图,某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD,为美化环境,用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆,篱笆的厚度忽略不计).
(1) 若四块矩形花圃的面积相等,求证: $AE=3BE$;
(2) 在(1)的条件下,设BC的长度为$x$ m,矩形区域ABCD的面积为$y$ m²,求$y$与$x$之间的函数表达式,并写出自变量$x$的取值范围.
(1) 若四块矩形花圃的面积相等,求证: $AE=3BE$;
(2) 在(1)的条件下,设BC的长度为$x$ m,矩形区域ABCD的面积为$y$ m²,求$y$与$x$之间的函数表达式,并写出自变量$x$的取值范围.
答案
13. (1) $\because$ 矩形$MEFN$与矩形$EBCF$的面积相等,$\therefore ME=BE$.同理可得$MG=NG$. $\because$ 四块矩形花圃的面积相等,即$S_{\mathrm{矩形}AMND}=2S_{\mathrm{矩形}MEFN}$,$\therefore AM=2ME$. $\therefore AE=AM+ME=3ME$,即$AE=3BE$
(2) $\because$ 篱笆的总长为100 m,$\therefore 2AB+GH+3BC=100$ m,即$2AB+\frac{1}{2}AB+3BC=100$ m. $\therefore AB=(40-\frac{6}{5}x)\mathrm{m}$. $\therefore y=x(40-\frac{6}{5}x)=-\frac{6}{5}x^2+40x$. $\because 40-\frac{6}{5}x＞0$, $x＞0$, $\therefore 0＜x＜\frac{100}{3}$. $\therefore y = -\frac{6}{5}x^2+40x(0＜x＜\frac{100}{3})$
(2) $\because$ 篱笆的总长为100 m,$\therefore 2AB+GH+3BC=100$ m,即$2AB+\frac{1}{2}AB+3BC=100$ m. $\therefore AB=(40-\frac{6}{5}x)\mathrm{m}$. $\therefore y=x(40-\frac{6}{5}x)=-\frac{6}{5}x^2+40x$. $\because 40-\frac{6}{5}x＞0$, $x＞0$, $\therefore 0＜x＜\frac{100}{3}$. $\therefore y = -\frac{6}{5}x^2+40x(0＜x＜\frac{100}{3})$
解析
【分析】
(1) 要证明$AE=3BE$，可结合矩形面积相等的条件推导各段长度关系：同底的矩形面积比等于高的比，先由下方两个矩形面积相等得$ME=BE$，再由四块面积相等推出$AM$与$ME$的数量关系，整理即可得证。
(2) 要求$y$与$x$的函数关系式，首先根据篱笆总长的条件，结合(1)的结论得到$GH$与$AB$的关系，代入总长等式解出$AB$关于$x$的表达式，再根据矩形面积公式写出$y$的表达式，最后根据边长为正求出自变量$x$的取值范围。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 矩形$MEFN$与矩形$EBCF$的面积相等，且二者公共底为$BC$，
$\therefore ME=BE$（同底的矩形面积相等则高相等）。
同理，上方两个矩形面积相等，可得$MG=NG$。
又$\because$ 四块矩形花圃的面积相等，
$\therefore S_{\mathrm{矩形}AMND}=2S_{\mathrm{矩形}MEFN}$，
矩形$AMND$与矩形$MEFN$的底均等于$BC$，
$\therefore AM=2ME$（同底的矩形面积比等于高的比）。
$\therefore AE=AM+ME=3ME=3BE$，即$AE=3BE$，得证。
(2) 解：
设$BC$的长度为$x$ m。
由篱笆总长为100 m，可得所有篱笆长度和为：$2AB+GH+3BC=100$。
由(1)的条件可知$GH=\frac{1}{2}AB$，代入上式得：
$2AB+\frac{1}{2}AB+3x=100$
整理得$\frac{5}{2}AB=100-3x$，解得$AB=40-\frac{6}{5}x$。
矩形$ABCD$的面积$y=AB· BC$，代入得：
$y=x(40-\frac{6}{5}x)=-\frac{6}{5}x^2+40x$。
$\because$ 矩形边长为正数，
$\therefore \begin{cases}x＞0 \\ 40-\frac{6}{5}x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜\frac{100}{3}$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $y = -\frac{6}{5}x^2 + 40x(0 ＜ x ＜ \frac{100}{3})$
【知识点】
矩形的性质，二次函数实际应用，不等式组求解
【点评】
本题结合矩形面积性质考查二次函数的实际应用，解题关键是根据面积相等的条件理清各段篱笆的长度关系，再根据篱笆总长求出边长表达式，注意实际问题中自变量取值范围要满足边长为正的要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明$AE=3BE$，可结合矩形面积相等的条件推导各段长度关系：同底的矩形面积比等于高的比，先由下方两个矩形面积相等得$ME=BE$，再由四块面积相等推出$AM$与$ME$的数量关系，整理即可得证。
(2) 要求$y$与$x$的函数关系式，首先根据篱笆总长的条件，结合(1)的结论得到$GH$与$AB$的关系，代入总长等式解出$AB$关于$x$的表达式，再根据矩形面积公式写出$y$的表达式，最后根据边长为正求出自变量$x$的取值范围。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 矩形$MEFN$与矩形$EBCF$的面积相等，且二者公共底为$BC$，
$\therefore ME=BE$（同底的矩形面积相等则高相等）。
同理，上方两个矩形面积相等，可得$MG=NG$。
又$\because$ 四块矩形花圃的面积相等，
$\therefore S_{\mathrm{矩形}AMND}=2S_{\mathrm{矩形}MEFN}$，
矩形$AMND$与矩形$MEFN$的底均等于$BC$，
$\therefore AM=2ME$（同底的矩形面积比等于高的比）。
$\therefore AE=AM+ME=3ME=3BE$，即$AE=3BE$，得证。
(2) 解：
设$BC$的长度为$x$ m。
由篱笆总长为100 m，可得所有篱笆长度和为：$2AB+GH+3BC=100$。
由(1)的条件可知$GH=\frac{1}{2}AB$，代入上式得：
$2AB+\frac{1}{2}AB+3x=100$
整理得$\frac{5}{2}AB=100-3x$，解得$AB=40-\frac{6}{5}x$。
矩形$ABCD$的面积$y=AB· BC$，代入得：
$y=x(40-\frac{6}{5}x)=-\frac{6}{5}x^2+40x$。
$\because$ 矩形边长为正数，
$\therefore \begin{cases}x＞0 \\ 40-\frac{6}{5}x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜\frac{100}{3}$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $y = -\frac{6}{5}x^2 + 40x(0 ＜ x ＜ \frac{100}{3})$
【知识点】
矩形的性质，二次函数实际应用，不等式组求解
【点评】
本题结合矩形面积性质考查二次函数的实际应用，解题关键是根据面积相等的条件理清各段篱笆的长度关系，再根据篱笆总长求出边长表达式，注意实际问题中自变量取值范围要满足边长为正的要求。
【难度系数】
0.65
