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1 教材变式题 下列函数中，属于$y$关于$x$的二次函数的是（
A.$y=2^2 + x$
B.$y=x(2x - 3)$
C.$y=\frac{1}{x^2}$
D.$y=(x - 1)^2 - x^2$
B
）A.$y=2^2 + x$
B.$y=x(2x - 3)$
C.$y=\frac{1}{x^2}$
D.$y=(x - 1)^2 - x^2$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断是否为二次函数，首先明确二次函数的判定依据：①函数表达式是关于自变量x的整式；②化简后自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们只需对每个选项逐一按上述标准验证即可，注意遇到有括号、含平方项的表达式要先化简再判断，避免误判。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数，叫做$y$关于$x$的二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=2^2+x=x+4$，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合要求；
选项B：化简得$y=x(2x-3)=2x^2-3x$，满足$a=2≠0$，最高次数为2且为整式，属于二次函数，符合要求；
选项C：$y=\frac{1}{x^2}$的分母含自变量$x$，不是整式，不属于二次函数，不符合要求；
选项D：化简得$y=(x-1)^2-x^2=x^2-2x+1-x^2=-2x+1$，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简
【点评】
本题属于二次函数判定的基础题，解题的关键是牢记二次函数的判定条件，注意一定要先化简表达式再判断最高次数，避免误将未化简的含平方项的表达式直接判定为二次函数。
【难度系数】
0.8
要判断是否为二次函数，首先明确二次函数的判定依据：①函数表达式是关于自变量x的整式；②化简后自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们只需对每个选项逐一按上述标准验证即可，注意遇到有括号、含平方项的表达式要先化简再判断，避免误判。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数，叫做$y$关于$x$的二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=2^2+x=x+4$，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合要求；
选项B：化简得$y=x(2x-3)=2x^2-3x$，满足$a=2≠0$，最高次数为2且为整式，属于二次函数，符合要求；
选项C：$y=\frac{1}{x^2}$的分母含自变量$x$，不是整式，不属于二次函数，不符合要求；
选项D：化简得$y=(x-1)^2-x^2=x^2-2x+1-x^2=-2x+1$，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简
【点评】
本题属于二次函数判定的基础题，解题的关键是牢记二次函数的判定条件，注意一定要先化简表达式再判断最高次数，避免误将未化简的含平方项的表达式直接判定为二次函数。
【难度系数】
0.8
2 [2025盐城期末]若函数$y=x^{m-1}-x+2$是二次函数，则m的值为
3
。答案
2. 3
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二次函数的核心判定条件：一是函数为整式，二是含自变量的项的最高次数为2，三是二次项系数不为0。本题给出的函数已是整式，其中可能的最高次项为$x^{m-1}$，因此只需令该项的次数等于2，同时验证该项系数不为0，即可求出m的取值。
【解析】
解：根据二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0。
在函数$y=x^{m-1}-x+2$中，最高次项为$x^{m-1}$，因此可列方程：
$m-1=2$
解得$m=3$
此时二次项为$x^2$，系数为1≠0，符合二次函数的定义，因此m的值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对二次函数定义的理解和应用，解题的关键是牢记二次函数的两个核心判定条件，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确二次函数的核心判定条件：一是函数为整式，二是含自变量的项的最高次数为2，三是二次项系数不为0。本题给出的函数已是整式，其中可能的最高次项为$x^{m-1}$，因此只需令该项的次数等于2，同时验证该项系数不为0，即可求出m的取值。
【解析】
解：根据二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0。
在函数$y=x^{m-1}-x+2$中，最高次项为$x^{m-1}$，因此可列方程：
$m-1=2$
解得$m=3$
此时二次项为$x^2$，系数为1≠0，符合二次函数的定义，因此m的值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对二次函数定义的理解和应用，解题的关键是牢记二次函数的两个核心判定条件，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
3当
$a≠2$
时，函数$y=(a-2)x^2 -2x +1$是二次函数。答案
3. $a≠2$
解析
【分析】
要判断给定函数为二次函数，需结合二次函数的定义思考：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。本题中函数表达式里x的最高次数已经是2，因此只需保证二次项系数不为0，据此列不等式即可求出a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠ 0$）的函数叫做二次函数。
本题中函数$y=(a-2)x^2 -2x +1$的二次项系数为$a-2$，要使该函数为二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$a-2≠ 0$
解得：$a≠ 2$
【答案】
$a≠2$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查二次函数的成立条件，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不能为0的要求，避免遗漏该条件导致出错。
【难度系数】
0.9
要判断给定函数为二次函数，需结合二次函数的定义思考：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。本题中函数表达式里x的最高次数已经是2，因此只需保证二次项系数不为0，据此列不等式即可求出a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠ 0$）的函数叫做二次函数。
本题中函数$y=(a-2)x^2 -2x +1$的二次项系数为$a-2$，要使该函数为二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$a-2≠ 0$
解得：$a≠ 2$
【答案】
$a≠2$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查二次函数的成立条件，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不能为0的要求，避免遗漏该条件导致出错。
【难度系数】
0.9
4 [2025 宿迁泗阳期末]若函数 $y=(k-2)x^{k^2 -2}+4x+8$ 是二次函数.
（1）求$k$的值；
（2）当$y=0$时，求自变量$x$的值.
（1）求$k$的值；
（2）当$y=0$时，求自变量$x$的值.
答案
4. (1) 由条件可知,$k-2≠0$,且$k^2-2=2$,
∴ $k=-2$
(2) 由(1)可得,该二次函数为$y=-4x^2+4x+8$,当$y=0$时,$-4x^2+4x+8=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-1$
∴ $k=-2$
(2) 由(1)可得,该二次函数为$y=-4x^2+4x+8$,当$y=0$时,$-4x^2+4x+8=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-1$
解析
【分析】
（1）求k的值需结合二次函数的定义分析：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列出关于k的方程和不等式，联立求解即可得到k的取值。
（2）将第（1）问求得的k值代入原函数，得到具体的二次函数解析式，令y=0，问题转化为解一元二次方程，运用一元二次方程的常规解法求解即可得到自变量x的值。
【解析】
（1）根据二次函数的定义，可列关系式：
$\begin{cases}k^2 - 2 = 2 \\ k - 2 ≠ 0\end{cases}$
解方程$k^2 - 2 = 2$，移项得$k^2=4$，解得$k=2$或$k=-2$；
结合不等式$k-2≠0$，即$k≠2$，因此$k=-2$。
（2）把$k=-2$代入原函数，得解析式：
$y=(-2-2)x^2+4x+8=-4x^2+4x+8$
当$y=0$时，代入得方程：$-4x^2+4x+8=0$
两边同时除以$-4$化简得：$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：$(x-2)(x+1)=0$
即$x-2=0$或$x+1=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
【答案】
（1）$k=-2$；（2）$x_1=2$，$x_2=-1$
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数定义的应用，解题时要注意不要遗漏二次项系数不为0的限制条件，同时要掌握“求函数值为0时自变量的取值”等价于解对应一元二次方程的转化思路。
【难度系数】
0.7
（1）求k的值需结合二次函数的定义分析：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列出关于k的方程和不等式，联立求解即可得到k的取值。
（2）将第（1）问求得的k值代入原函数，得到具体的二次函数解析式，令y=0，问题转化为解一元二次方程，运用一元二次方程的常规解法求解即可得到自变量x的值。
【解析】
（1）根据二次函数的定义，可列关系式：
$\begin{cases}k^2 - 2 = 2 \\ k - 2 ≠ 0\end{cases}$
解方程$k^2 - 2 = 2$，移项得$k^2=4$，解得$k=2$或$k=-2$；
结合不等式$k-2≠0$，即$k≠2$，因此$k=-2$。
（2）把$k=-2$代入原函数，得解析式：
$y=(-2-2)x^2+4x+8=-4x^2+4x+8$
当$y=0$时，代入得方程：$-4x^2+4x+8=0$
两边同时除以$-4$化简得：$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：$(x-2)(x+1)=0$
即$x-2=0$或$x+1=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
【答案】
（1）$k=-2$；（2）$x_1=2$，$x_2=-1$
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数定义的应用，解题时要注意不要遗漏二次项系数不为0的限制条件，同时要掌握“求函数值为0时自变量的取值”等价于解对应一元二次方程的转化思路。
【难度系数】
0.7
5 若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数表达式为（
A.$y=(x+6)^2$
B.$y=x^2 + 6^2$
C.$y=x^2 + 6x$
D.$y=x^2 + 12x$
D
）A.$y=(x+6)^2$
B.$y=x^2 + 6^2$
C.$y=x^2 + 6x$
D.$y=x^2 + 12x$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先明确题目所求的是面积增加量y与边长增加量x的函数关系，核心等量关系为：增加的面积=边长增加后的正方形面积-原正方形面积。首先回忆正方形面积公式，分别计算原正方形和边长增加后新正方形的面积，再作差化简即可得到函数表达式。
【解析】
1. 计算原正方形面积：已知原正方形边长为6，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得原面积为$6^2=36$。
2. 计算边长增加后的新正方形面积：边长增加x后，新边长为$6+x$，因此新面积为$(6+x)^2$。
3. 推导y与x的函数关系：面积增加量$y=\mathrm{新面积}-\mathrm{原面积}$，代入得：
$y=(6+x)^2 - 36$
利用完全平方公式展开并化简：
$y=36+12x+x^2-36=x^2+12x$
因此对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，列二次函数关系式，完全平方公式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，解题的关键是找准面积增加量的等量关系，计算时要注意完全平方公式的正确展开，避免漏项出错。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确题目所求的是面积增加量y与边长增加量x的函数关系，核心等量关系为：增加的面积=边长增加后的正方形面积-原正方形面积。首先回忆正方形面积公式，分别计算原正方形和边长增加后新正方形的面积，再作差化简即可得到函数表达式。
【解析】
1. 计算原正方形面积：已知原正方形边长为6，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得原面积为$6^2=36$。
2. 计算边长增加后的新正方形面积：边长增加x后，新边长为$6+x$，因此新面积为$(6+x)^2$。
3. 推导y与x的函数关系：面积增加量$y=\mathrm{新面积}-\mathrm{原面积}$，代入得：
$y=(6+x)^2 - 36$
利用完全平方公式展开并化简：
$y=36+12x+x^2-36=x^2+12x$
因此对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，列二次函数关系式，完全平方公式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，解题的关键是找准面积增加量的等量关系，计算时要注意完全平方公式的正确展开，避免漏项出错。
【难度系数】
0.85
6 教材变式题 一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离$s(\mathrm{m})$与滚动时间$t(\mathrm{s})$的数据如下表：
| 时间 $t/\mathrm{s}$ | $1$ |
| $3$ | $4$ | $5$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 距离 $s/\mathrm{m}$ | $2$ | $8$ | $18$ | $32$ | $50$ | $···$ |
已知小球滚动的距离$s(\mathrm{m})$是时间$t(\mathrm{s})$的二次函数,则$s$与$t$的函数表达式为 (
A.$s=2t$
B.$s=2t^2 + 2$
C.$s=2t^2$
D.$s=2(t-1)^2$
| 时间 $t/\mathrm{s}$ | $1$ |
| $3$ | $4$ | $5$ | $···$ || --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 距离 $s/\mathrm{m}$ | $2$ | $8$ | $18$ | $32$ | $50$ | $···$ |
已知小球滚动的距离$s(\mathrm{m})$是时间$t(\mathrm{s})$的二次函数,则$s$与$t$的函数表达式为 (
C
)A.$s=2t$
B.$s=2t^2 + 2$
C.$s=2t^2$
D.$s=2(t-1)^2$
答案
6. C
解析
【分析】
解题思路：首先题干明确说明s是t的二次函数，因此可先排除属于一次函数的错误选项；接下来有两种解题方向，一是代入验证法，将表格中给出的t值分别代入剩余选项，判断对应的s值是否与表格一致，逐一排除错误选项；二是待定系数法，先设出二次函数的一般式，结合“小球由静止开始滚动”可知t=0时s=0，再代入表格中两组t和s的数值，求解系数得到解析式，再对应选项即可。
【解析】
方法一：代入排除法
① 选项A是一次函数，不符合“s是t的二次函数”的要求，直接排除；
② 当t=1时，表格中s=2：
代入B选项：$s=2×1^2+2=4≠2$，排除B；
代入D选项：$s=2×(1-1)^2=0≠2$，排除D；
代入C选项：$s=2×1^2=2$，符合表格数据；
③ 验证其他数值：t=2时，$s=2×2^2=8$；t=3时，$s=2×3^2=18$，均与表格数据一致，故C正确。
方法二：待定系数法
设s与t的二次函数解析式为$s=at^2+bt+c(a≠0)$，
因为小球由静止开始滚动，所以t=0时s=0，代入得c=0，解析式简化为$s=at^2+bt$；
将t=1，s=2和t=2，s=8代入得方程组：
$\begin{cases}a+b=2\\4a+2b=8\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$b=2-a$，代入第二个方程得$4a+2(2-a)=8$，解得$a=2$，$b=0$，
因此函数解析式为$s=2t^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数解析式的确定，两种解题方法中代入排除法更快捷，解题时可以结合题干给出的限制条件和表格数据简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先题干明确说明s是t的二次函数，因此可先排除属于一次函数的错误选项；接下来有两种解题方向，一是代入验证法，将表格中给出的t值分别代入剩余选项，判断对应的s值是否与表格一致，逐一排除错误选项；二是待定系数法，先设出二次函数的一般式，结合“小球由静止开始滚动”可知t=0时s=0，再代入表格中两组t和s的数值，求解系数得到解析式，再对应选项即可。
【解析】
方法一：代入排除法
① 选项A是一次函数，不符合“s是t的二次函数”的要求，直接排除；
② 当t=1时，表格中s=2：
代入B选项：$s=2×1^2+2=4≠2$，排除B；
代入D选项：$s=2×(1-1)^2=0≠2$，排除D；
代入C选项：$s=2×1^2=2$，符合表格数据；
③ 验证其他数值：t=2时，$s=2×2^2=8$；t=3时，$s=2×3^2=18$，均与表格数据一致，故C正确。
方法二：待定系数法
设s与t的二次函数解析式为$s=at^2+bt+c(a≠0)$，
因为小球由静止开始滚动，所以t=0时s=0，代入得c=0，解析式简化为$s=at^2+bt$；
将t=1，s=2和t=2，s=8代入得方程组：
$\begin{cases}a+b=2\\4a+2b=8\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$b=2-a$，代入第二个方程得$4a+2(2-a)=8$，解得$a=2$，$b=0$，
因此函数解析式为$s=2t^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数解析式的确定，两种解题方法中代入排除法更快捷，解题时可以结合题干给出的限制条件和表格数据简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7 [2025合肥长丰期末]一台机器原价为60万元，如果每年价格的下降率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数表达式为
$y=60(1-x)^2$
，y是x的二次
函数。答案
7. $y=60(1-x)^2$ 二次
解析
【分析】
这是一道结合实际下降率场景列函数关系式的题目，解题思路如下：第一步先明确下降率问题的计算规则，每一次降价都是在上一次价格的基础上乘以(1-下降率)；第二步先计算第一年降价后的价格，再以第一年的价格为基础计算第二年降价后的价格，即可得到y与x的关系式；第三步根据得到的关系式的最高次数，判断函数类型即可。
【解析】
解：已知机器原价为60万元，年下降率为x。
1. 计算第一年末的价格：根据下降率计算规则，第一年末价格 = 原价×(1-下降率) = $60(1-x)$ 万元；
2. 计算第二年末的价格y：第二年末是在第一年末价格的基础上再次下降x，因此
$y = 60(1-x) × (1-x) = 60(1-x)^2$；
3. 判断函数类型：将表达式展开得$y=60x^2 - 120x + 60$，自变量x的最高次数为2，符合二次函数的定义，因此y是x的二次函数。
【答案】
$y=60(1-x)^2$；二次
【知识点】
下降率问题；列函数关系式；二次函数的定义
【点评】
本题考查实际问题中函数解析式的列写与函数类型的判断，解题的关键是掌握连续下降率的计算方法，属于基础常考题。
【难度系数】
0.85
这是一道结合实际下降率场景列函数关系式的题目，解题思路如下：第一步先明确下降率问题的计算规则，每一次降价都是在上一次价格的基础上乘以(1-下降率)；第二步先计算第一年降价后的价格，再以第一年的价格为基础计算第二年降价后的价格，即可得到y与x的关系式；第三步根据得到的关系式的最高次数，判断函数类型即可。
【解析】
解：已知机器原价为60万元，年下降率为x。
1. 计算第一年末的价格：根据下降率计算规则，第一年末价格 = 原价×(1-下降率) = $60(1-x)$ 万元；
2. 计算第二年末的价格y：第二年末是在第一年末价格的基础上再次下降x，因此
$y = 60(1-x) × (1-x) = 60(1-x)^2$；
3. 判断函数类型：将表达式展开得$y=60x^2 - 120x + 60$，自变量x的最高次数为2，符合二次函数的定义，因此y是x的二次函数。
【答案】
$y=60(1-x)^2$；二次
【知识点】
下降率问题；列函数关系式；二次函数的定义
【点评】
本题考查实际问题中函数解析式的列写与函数类型的判断，解题的关键是掌握连续下降率的计算方法，属于基础常考题。
【难度系数】
0.85
8 已知长方体的高为6,底面是边长为x的正方形,则这个长方体的侧面展开图的面积$S=$
$24x$
,长方体的体积$V=$$6x^2$
,所有棱长的和$L=$$8x+24$
.以上三个函数中,$V=6x^2$
是关于x的二次函数.答案
8. $24x$ $6x^2$ $8x+24$ $V=6x^2$
解析
【分析】
解题时先回忆长方体的侧面积、体积、棱长和的计算公式，结合题目给出的底面边长x、高6的条件依次计算三个量，再根据二次函数的定义判断哪个是二次函数即可。
第一步：计算侧面展开图面积，长方体侧面由4个全等的长方形组成，单个长方形长为底面正方形边长x，宽为长方体的高6，算出单个面积乘4即可得到S；
第二步：计算体积，长方体体积=底面积×高，底面积是边长为x的正方形面积，乘高6即可得到V；
第三步：计算棱长和，长方体共12条棱，其中8条是底面正方形的边（上下底面各4条），4条是高，分别求和即可得到L；
第四步：对比三个函数的形式，符合二次函数定义的即为所求。
【解析】
1. 求侧面展开图的面积S：
长方体的侧面是4个完全相同的长方形，长方形的长为底面正方形边长x，宽为长方体的高6，单个侧面面积为$6x$，因此侧面展开图总面积$S=4×6x=24x$。
2. 求长方体的体积V：
长方体体积=底面积×高，底面是边长为x的正方形，底面积为$x^2$，高为6，因此$V=x^2×6=6x^2$。
3. 求所有棱长的和L：
长方体共有12条棱，其中上下两个正方形底面各有4条长为x的棱，还有4条长为6的高，因此$L=4x×2 + 4×6=8x+24$。
4. 判断二次函数：
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的函数。$S=24x$、$L=8x+24$都是一次函数，只有$V=6x^2$符合二次函数的定义。
【答案】
$24x$；$6x^2$；$8x+24$；$V=6x^2$
【知识点】
长方体的相关量计算；二次函数的定义
【点评】
本题是基础综合题，既考查了长方体侧面积、体积、棱长和的公式应用，又考查了二次函数的识别，掌握基础公式和定义是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆长方体的侧面积、体积、棱长和的计算公式，结合题目给出的底面边长x、高6的条件依次计算三个量，再根据二次函数的定义判断哪个是二次函数即可。
第一步：计算侧面展开图面积，长方体侧面由4个全等的长方形组成，单个长方形长为底面正方形边长x，宽为长方体的高6，算出单个面积乘4即可得到S；
第二步：计算体积，长方体体积=底面积×高，底面积是边长为x的正方形面积，乘高6即可得到V；
第三步：计算棱长和，长方体共12条棱，其中8条是底面正方形的边（上下底面各4条），4条是高，分别求和即可得到L；
第四步：对比三个函数的形式，符合二次函数定义的即为所求。
【解析】
1. 求侧面展开图的面积S：
长方体的侧面是4个完全相同的长方形，长方形的长为底面正方形边长x，宽为长方体的高6，单个侧面面积为$6x$，因此侧面展开图总面积$S=4×6x=24x$。
2. 求长方体的体积V：
长方体体积=底面积×高，底面是边长为x的正方形，底面积为$x^2$，高为6，因此$V=x^2×6=6x^2$。
3. 求所有棱长的和L：
长方体共有12条棱，其中上下两个正方形底面各有4条长为x的棱，还有4条长为6的高，因此$L=4x×2 + 4×6=8x+24$。
4. 判断二次函数：
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，$a≠0$）的函数。$S=24x$、$L=8x+24$都是一次函数，只有$V=6x^2$符合二次函数的定义。
【答案】
$24x$；$6x^2$；$8x+24$；$V=6x^2$
【知识点】
长方体的相关量计算；二次函数的定义
【点评】
本题是基础综合题，既考查了长方体侧面积、体积、棱长和的公式应用，又考查了二次函数的识别，掌握基础公式和定义是解题的关键。
【难度系数】
0.85
9 根据下列条件分别列出函数表达式，并判断列出的函数表达式是否为二次函数.
（1）两个数中，若一个数比另一个数大5，则这两个数的乘积$ p $是较大的数$ m $的函数.
（2）一个半径为10 cm的圆，挖掉四个大小相同的正方形孔，剩余的面积$ S(\mathrm{cm}^2) $是正方形孔的边长$ x(\mathrm{cm}) $的函数.
（3）某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果.根据经验估计，每多种一棵苹果树，平均每棵苹果树就会少结5个苹果，那么果园结苹果总个数$ y $是增种苹果树数量$ x(\mathrm{棵}) $的函数.
（1）两个数中，若一个数比另一个数大5，则这两个数的乘积$ p $是较大的数$ m $的函数.
（2）一个半径为10 cm的圆，挖掉四个大小相同的正方形孔，剩余的面积$ S(\mathrm{cm}^2) $是正方形孔的边长$ x(\mathrm{cm}) $的函数.
（3）某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果.根据经验估计，每多种一棵苹果树，平均每棵苹果树就会少结5个苹果，那么果园结苹果总个数$ y $是增种苹果树数量$ x(\mathrm{棵}) $的函数.
答案
9. (1) 这两个数的乘积$ p $与较大的数$ m $之间的函数表达式为$p=m(m-5)=m^2-5m$,是二次函数
(2) 剩余的面积$ S(\mathrm{cm}^2) $与正方形孔的边长$ x(\mathrm{cm}) $之间的函数表达式为$S=100π-4x^2$,是二次函数
(3) 果园结苹果总个数$ y $与增种苹果树数量$ x(\mathrm{棵}) $之间的函数表达式为$y=(10+x)(200-5x)=-5x^2+150x+2000$,是二次函数
(2) 剩余的面积$ S(\mathrm{cm}^2) $与正方形孔的边长$ x(\mathrm{cm}) $之间的函数表达式为$S=100π-4x^2$,是二次函数
(3) 果园结苹果总个数$ y $与增种苹果树数量$ x(\mathrm{棵}) $之间的函数表达式为$y=(10+x)(200-5x)=-5x^2+150x+2000$,是二次函数
解析
【分析】
解题时先针对每个小问梳理题目中的等量关系，用给出的自变量表示出对应的未知量，再根据等量关系列出函数表达式，最后对照二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，其中$a、b、c$是常数，且$a≠0$的整式函数是二次函数）判断是否为二次函数：(1) 乘积等于较大数乘较小数，较小数比$m$小5；(2) 剩余面积等于圆的总面积减去4个正方形的面积；(3) 苹果总个数等于苹果树总棵数乘平均每棵树结的苹果数，分别列式化简后判断即可。
【解析】
(1) 已知较大的数为$m$，则较小的数为$m-5$，两数的乘积$p=m(m-5)$，化简得$p=m^2-5m$，符合二次函数定义，是二次函数。
(2) 半径为10cm的圆的面积为$π×10^2=100π\ \mathrm{cm}^2$，4个正方形孔的总面积为$4x^2\ \mathrm{cm}^2$，因此剩余面积$S=100π-4x^2$，符合二次函数定义，是二次函数。
(3) 增种$x$棵苹果树后，总共有$(10+x)$棵苹果树，平均每棵树结$(200-5x)$个苹果，因此总个数$y=(10+x)(200-5x)$，展开化简得$y=-5x^2+150x+2000$，符合二次函数定义，是二次函数。
【答案】
(1) $p=m^2-5m$，是二次函数；
(2) $S=100π-4x^2$，是二次函数；
(3) $y=-5x^2+150x+2000$，是二次函数。
【知识点】
实际问题函数建模；二次函数的定义；整式化简
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确找到各问题中的等量关系，列式后结合二次函数的定义特征判断即可，能帮助学生巩固二次函数的基本概念，提升用函数解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题时先针对每个小问梳理题目中的等量关系，用给出的自变量表示出对应的未知量，再根据等量关系列出函数表达式，最后对照二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，其中$a、b、c$是常数，且$a≠0$的整式函数是二次函数）判断是否为二次函数：(1) 乘积等于较大数乘较小数，较小数比$m$小5；(2) 剩余面积等于圆的总面积减去4个正方形的面积；(3) 苹果总个数等于苹果树总棵数乘平均每棵树结的苹果数，分别列式化简后判断即可。
【解析】
(1) 已知较大的数为$m$，则较小的数为$m-5$，两数的乘积$p=m(m-5)$，化简得$p=m^2-5m$，符合二次函数定义，是二次函数。
(2) 半径为10cm的圆的面积为$π×10^2=100π\ \mathrm{cm}^2$，4个正方形孔的总面积为$4x^2\ \mathrm{cm}^2$，因此剩余面积$S=100π-4x^2$，符合二次函数定义，是二次函数。
(3) 增种$x$棵苹果树后，总共有$(10+x)$棵苹果树，平均每棵树结$(200-5x)$个苹果，因此总个数$y=(10+x)(200-5x)$，展开化简得$y=-5x^2+150x+2000$，符合二次函数定义，是二次函数。
【答案】
(1) $p=m^2-5m$，是二次函数；
(2) $S=100π-4x^2$，是二次函数；
(3) $y=-5x^2+150x+2000$，是二次函数。
【知识点】
实际问题函数建模；二次函数的定义；整式化简
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确找到各问题中的等量关系，列式后结合二次函数的定义特征判断即可，能帮助学生巩固二次函数的基本概念，提升用函数解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
