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1[2026江西萍乡调研]下列各数中，是无理数的是（
A.$2π$
B.$0.\dot{3}$
C.0
D.$-0.101\ 001\ 000\ 1$
A
）A.$2π$
B.$0.\dot{3}$
C.0
D.$-0.101\ 001\ 000\ 1$
答案
1. A 【解析】2π是无理数; $0.\dot{3}$是无限循环小数,不是无理数; 0 是整数,不是无理数;-0. 101 001 000 1 是有限小数,不是无理数.故选 A.
解析
【分析】
要判断一个数是不是无理数，首先需明确无理数的核心定义：无限不循环小数，同时牢记有理数的范围：整数、有限小数、无限循环小数都属于有理数，均不是无理数。解题时先回忆常见的无理数类型：①含π的数（π本身是无限不循环小数，和非零有理数运算后仍为无限不循环）；②开方开不尽的数；③人为构造的无限不循环小数。再逐一判断每个选项即可。
【解析】
根据无理数、有理数的定义逐一分析：
A. $2π$：$π$是无限不循环小数，因此$2π$也属于无限不循环小数，是无理数；
B. $0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，不是无理数；
C. 0是整数，属于有理数，不是无理数；
D. $-0.101\ 001\ 000\ 1$是有限小数，属于有理数，不是无理数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的识别
2. 有理数的分类
【点评】
本题考查实数分类中无理数的判断，属于基础概念题，解题关键是牢记无理数的定义及常见的无理数类型，注意不要误将有限位的有规律小数判定为无理数。
【难度系数】
0.85
要判断一个数是不是无理数，首先需明确无理数的核心定义：无限不循环小数，同时牢记有理数的范围：整数、有限小数、无限循环小数都属于有理数，均不是无理数。解题时先回忆常见的无理数类型：①含π的数（π本身是无限不循环小数，和非零有理数运算后仍为无限不循环）；②开方开不尽的数；③人为构造的无限不循环小数。再逐一判断每个选项即可。
【解析】
根据无理数、有理数的定义逐一分析：
A. $2π$：$π$是无限不循环小数，因此$2π$也属于无限不循环小数，是无理数；
B. $0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，不是无理数；
C. 0是整数，属于有理数，不是无理数；
D. $-0.101\ 001\ 000\ 1$是有限小数，属于有理数，不是无理数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的识别
2. 有理数的分类
【点评】
本题考查实数分类中无理数的判断，属于基础概念题，解题关键是牢记无理数的定义及常见的无理数类型，注意不要误将有限位的有规律小数判定为无理数。
【难度系数】
0.85
2[2025山东德州期中]当半径为r m的圆的面积为$50π \ \mathrm{m}^2$时，半径r是
无理数
（填“有理数”或“无理数”）。答案
2. 无理数 【解析】因为 $π r^2 = 50π$,所以 $r^2 = 50$,所以 r 是无理数. 故答案为无理数.
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，回忆圆的面积公式，用公式将已知的圆面积与半径r建立等量关系；第二步，化简等式求出$r^2$的值；第三步，结合有理数、无理数的定义判断r的类型：有理数是整数和分数的统称，不存在有理数的平方等于50，因此可判断r的属性。
【解析】
解：根据圆的面积公式$S=π r^2$，将$S=50π$代入得：
$π r^2=50π$
两边同时除以不为0的$π$，可得$r^2=50$。
由于半径$r＞0$，因此$r=\sqrt{50}$，$\sqrt{50}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，即无理数，因此r是无理数。
【答案】
无理数
【知识点】
圆的面积计算，无理数的判定，平方根的计算
【点评】
本题结合几何基础公式考查实数的分类，解题核心是先通过公式运算得到半径的平方，再结合无理数的概念判断，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步思考：第一步，回忆圆的面积公式，用公式将已知的圆面积与半径r建立等量关系；第二步，化简等式求出$r^2$的值；第三步，结合有理数、无理数的定义判断r的类型：有理数是整数和分数的统称，不存在有理数的平方等于50，因此可判断r的属性。
【解析】
解：根据圆的面积公式$S=π r^2$，将$S=50π$代入得：
$π r^2=50π$
两边同时除以不为0的$π$，可得$r^2=50$。
由于半径$r＞0$，因此$r=\sqrt{50}$，$\sqrt{50}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，即无理数，因此r是无理数。
【答案】
无理数
【知识点】
圆的面积计算，无理数的判定，平方根的计算
【点评】
本题结合几何基础公式考查实数的分类，解题核心是先通过公式运算得到半径的平方，再结合无理数的概念判断，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.8
3 如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,每个小正方形的顶点叫作格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图(1)中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数；
(2)在图(2)中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.
(1)在图(1)中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数；
(2)在图(2)中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.
答案
3.【解】(1)如图(1),$△ ABC$ 即为所求.
(2)如图(2),$△ GHI$ 即为所求.(答案不唯一)
解析
【分析】
解决本题需要结合勾股定理和有理数、无理数的概念分步思考：
(1) 构造三边长都是有理数的直角三角形：整数属于有理数，可利用常见的整数勾股数（如3、4、5，满足$3^2+4^2=5^2$），在网格中取竖直、水平方向的整数长度作为直角边，两边夹角为直角，斜边自然为整数，即可满足三边长都是有理数的要求。
(2) 构造三边长都是无理数的直角三角形：需要保证三条边长都不是整数，利用勾股定理选择非水平、非竖直的线段作为直角边，使两条直角边的长度均为无理数，再验证斜边长度也为无理数，同时满足勾股定理的逆定理，构成直角三角形即可。
【解析】
(1) 在图(1)中取格点A、B、C，使AB竖直长度为4，BC水平长度为3，$∠ B=90°$。由勾股定理计算得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，三边长3、4、5均为有理数，$△ ABC$符合要求。
(2) 在图(2)中选取格点G、H、I，经勾股定理计算，三条边长分别为$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$（示例），均为无理数且满足勾股定理，$△ GHI$符合要求。本题答案不唯一，满足三边长均为无理数的直角三角形即可。
【答案】
(1)如图(1),$△ ABC$ 即为所求.
(2)如图(2),$△ GHI$ 即为所求.(答案不唯一)
【知识点】
勾股定理，实数分类，网格作图
【点评】
本题结合网格考查勾股定理的应用和实数的相关概念，开放性较强，需要灵活运用勾股定理构造符合条件的图形，能有效锻炼动手作图能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需要结合勾股定理和有理数、无理数的概念分步思考：
(1) 构造三边长都是有理数的直角三角形：整数属于有理数，可利用常见的整数勾股数（如3、4、5，满足$3^2+4^2=5^2$），在网格中取竖直、水平方向的整数长度作为直角边，两边夹角为直角，斜边自然为整数，即可满足三边长都是有理数的要求。
(2) 构造三边长都是无理数的直角三角形：需要保证三条边长都不是整数，利用勾股定理选择非水平、非竖直的线段作为直角边，使两条直角边的长度均为无理数，再验证斜边长度也为无理数，同时满足勾股定理的逆定理，构成直角三角形即可。
【解析】
(1) 在图(1)中取格点A、B、C，使AB竖直长度为4，BC水平长度为3，$∠ B=90°$。由勾股定理计算得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，三边长3、4、5均为有理数，$△ ABC$符合要求。
(2) 在图(2)中选取格点G、H、I，经勾股定理计算，三条边长分别为$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$（示例），均为无理数且满足勾股定理，$△ GHI$符合要求。本题答案不唯一，满足三边长均为无理数的直角三角形即可。
【答案】
(1)如图(1),$△ ABC$ 即为所求.
(2)如图(2),$△ GHI$ 即为所求.(答案不唯一)
【知识点】
勾股定理，实数分类，网格作图
【点评】
本题结合网格考查勾股定理的应用和实数的相关概念，开放性较强，需要灵活运用勾股定理构造符合条件的图形，能有效锻炼动手作图能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
4 设边长为4的正方形的对角线长为x.
(1)x是有理数吗？说说你的理由.
(2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间.
(1)x是有理数吗？说说你的理由.
(2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间.
答案
4.【解】(1)x 不是有理数. 理由如下：
由勾股定理可知 $x^2 = 4^2 + 4^2 = 32$,首先 x 不可能是整数(因为 $5^2 = 25,6^2 = 36$,所以 x 在 5 和6 之间),其次 x 也不可能是分数(因为若 x是最简分数$\frac{n}{m}$,则$(\frac{n}{m})^2$仍是一个分数,不等于 32 ). 综上可知,x 不是有理数.
(2)x 在 5 和 6 之间.
由勾股定理可知 $x^2 = 4^2 + 4^2 = 32$,首先 x 不可能是整数(因为 $5^2 = 25,6^2 = 36$,所以 x 在 5 和6 之间),其次 x 也不可能是分数(因为若 x是最简分数$\frac{n}{m}$,则$(\frac{n}{m})^2$仍是一个分数,不等于 32 ). 综上可知,x 不是有理数.
(2)x 在 5 和 6 之间.
解析
【分析】
（1）要判断x是否为有理数，首先明确有理数是整数和分数的统称，只需验证x是否属于整数或分数即可。第一步先利用正方形对角线与相邻两边构成直角三角形的特点，通过勾股定理求出$x^2$的值；第二步分别判断x是不是整数、是不是分数，若二者都不满足，则x不是有理数。
（2）要估算x的相邻整数范围，只需找到两个相邻正整数，使得它们的平方分别小于和大于$x^2$的值，根据算术平方根的非负性，就能确定x的取值区间。
【解析】
（1）x不是有理数，理由如下：
根据勾股定理，正方形对角线与两条邻边构成直角三角形，因此：
$x^2=4^2+4^2=16+16=32$
① 判断x是否为整数：
已知$5^2=25$，$6^2=36$，可得$25＜32＜36$，x为正数，因此$5＜x＜6$，即x不是整数。
② 判断x是否为分数：
若x是最简分数$\frac{n}{m}$（m、n为互质正整数，$m≠1$），则$(\frac{n}{m})^2=\frac{n^2}{m^2}$仍为分数，不可能等于整数32，因此x也不是分数。
有理数仅包含整数和分数，x既不是整数也不是分数，因此x不是有理数。
（2）由（1）可知$5^2=25＜32＜36=6^2$，且x为正数，因此$5＜x＜6$，即x在5和6两个相邻整数之间。
【答案】
（1）x不是有理数，理由见解析；
（2）x在5和6之间。
【知识点】
勾股定理；有理数的定义；无理数的估算
【点评】
本题结合正方形对角线的计算，考查有理数的判定和无理数的范围估算，核心是掌握有理数的分类规则，以及用“平方夹逼法”估算无理数大小的方法，属于实数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）要判断x是否为有理数，首先明确有理数是整数和分数的统称，只需验证x是否属于整数或分数即可。第一步先利用正方形对角线与相邻两边构成直角三角形的特点，通过勾股定理求出$x^2$的值；第二步分别判断x是不是整数、是不是分数，若二者都不满足，则x不是有理数。
（2）要估算x的相邻整数范围，只需找到两个相邻正整数，使得它们的平方分别小于和大于$x^2$的值，根据算术平方根的非负性，就能确定x的取值区间。
【解析】
（1）x不是有理数，理由如下：
根据勾股定理，正方形对角线与两条邻边构成直角三角形，因此：
$x^2=4^2+4^2=16+16=32$
① 判断x是否为整数：
已知$5^2=25$，$6^2=36$，可得$25＜32＜36$，x为正数，因此$5＜x＜6$，即x不是整数。
② 判断x是否为分数：
若x是最简分数$\frac{n}{m}$（m、n为互质正整数，$m≠1$），则$(\frac{n}{m})^2=\frac{n^2}{m^2}$仍为分数，不可能等于整数32，因此x也不是分数。
有理数仅包含整数和分数，x既不是整数也不是分数，因此x不是有理数。
（2）由（1）可知$5^2=25＜32＜36=6^2$，且x为正数，因此$5＜x＜6$，即x在5和6两个相邻整数之间。
【答案】
（1）x不是有理数，理由见解析；
（2）x在5和6之间。
【知识点】
勾股定理；有理数的定义；无理数的估算
【点评】
本题结合正方形对角线的计算，考查有理数的判定和无理数的范围估算，核心是掌握有理数的分类规则，以及用“平方夹逼法”估算无理数大小的方法，属于实数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
5 下列说法中,正确的是 (
A.无理数包括正无理数、零和负无理数
B.无限小数都是无理数
C.正实数包括正有理数和正无理数
D.实数可以分为正实数和负实数两类
C
)A.无理数包括正无理数、零和负无理数
B.无限小数都是无理数
C.正实数包括正有理数和正无理数
D.实数可以分为正实数和负实数两类
答案
5. C 【解析】无理数包括正无理数和负无理数,故 A 错误; 无限循环小数是有理数,无限不循环小数是无理数,故 B 错误; 实数可分为正实数、零、负实数,故 D 错误. 故选 C.
解析
【分析】
这道题考查实数相关的分类概念，解题时首先要回忆清楚无理数、有理数、实数的定义和分类标准，再逐一核对每个选项的表述是否符合概念，排查出正确选项。核心要注意几个易混点：0的归属、无限小数和无理数的区别、实数的分类边界，带着这些判断标准逐个分析选项即可。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
A选项：无理数是无限不循环小数，0属于有理数，因此无理数仅包括正无理数和负无理数，该选项表述错误；
B选项：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此“无限小数都是无理数”的表述错误；
C选项：正实数指所有大于0的实数，实数可分为有理数和无理数，因此正实数包括正有理数和正无理数，该选项表述正确；
D选项：实数按正负性分类，可分为正实数、0、负实数三类，0既不属于正实数也不属于负实数，因此该选项表述错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
实数的分类，无理数的概念，有理数的概念
【点评】
本题属于实数概念的基础考查题，易错点是容易混淆0的归属、无限小数与无理数的范围，解题时紧扣各类数的定义判断，就能避免因概念模糊出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查实数相关的分类概念，解题时首先要回忆清楚无理数、有理数、实数的定义和分类标准，再逐一核对每个选项的表述是否符合概念，排查出正确选项。核心要注意几个易混点：0的归属、无限小数和无理数的区别、实数的分类边界，带着这些判断标准逐个分析选项即可。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
A选项：无理数是无限不循环小数，0属于有理数，因此无理数仅包括正无理数和负无理数，该选项表述错误；
B选项：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此“无限小数都是无理数”的表述错误；
C选项：正实数指所有大于0的实数，实数可分为有理数和无理数，因此正实数包括正有理数和正无理数，该选项表述正确；
D选项：实数按正负性分类，可分为正实数、0、负实数三类，0既不属于正实数也不属于负实数，因此该选项表述错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
实数的分类，无理数的概念，有理数的概念
【点评】
本题属于实数概念的基础考查题，易错点是容易混淆0的归属、无限小数与无理数的范围，解题时紧扣各类数的定义判断，就能避免因概念模糊出错。
【难度系数】
0.8
6[2025湖北荆州期中]$3-π$的绝对值是
$π-3$
，$\frac{1}{π}$的倒数是$π$
，$π - 3.14$的相反数是$3.14-π$
答案
6. $π-3$ $π$ $3.14-π$ 【解析】$3-π$ 的绝对值是$π-3$. 因为 $1÷ \frac{1}{π}=π$,所以 $\frac{1}{π}$ 的倒数是 $π$. $π-3.14$ 的相反数是$-(π-3.14)=3.14-π$.
解析
【分析】
解决本题需要依次运用绝对值、倒数、相反数的相关概念，结合π的取值范围（π≈3.14159，大于3且大于3.14）逐步求解：①求绝对值时，先判断3-π的正负，再根据“负数的绝对值是它的相反数”计算；②求倒数时，根据“乘积为1的两个数互为倒数”，用1除以$\frac{1}{π}$即可得到结果；③求相反数时，根据“数a的相反数为-a”，给$π-3.14$整体加负号后化简即可。
【解析】
1. 计算$3-π$的绝对值：
因为$π\approx3.14159＞3$，所以$3-π＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$\left|3-π\right|=-(3-π)=π-3$。
2. 计算$\frac{1}{π}$的倒数：
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此$\frac{1}{π}$的倒数为$1÷\frac{1}{π}=π$。
3. 计算$π-3.14$的相反数：
根据相反数的定义，任意数$a$的相反数为$-a$，因此$π-3.14$的相反数为$-(π-3.14)=3.14-π$。
【答案】
$π-3$；$π$；$3.14-π$
【知识点】
绝对值的性质；倒数的定义；相反数的定义
【点评】
本题是实数相关概念的基础考查题，解题核心是熟练掌握绝对值、倒数、相反数的定义，同时明确π的大致取值范围判断式子的正负，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解决本题需要依次运用绝对值、倒数、相反数的相关概念，结合π的取值范围（π≈3.14159，大于3且大于3.14）逐步求解：①求绝对值时，先判断3-π的正负，再根据“负数的绝对值是它的相反数”计算；②求倒数时，根据“乘积为1的两个数互为倒数”，用1除以$\frac{1}{π}$即可得到结果；③求相反数时，根据“数a的相反数为-a”，给$π-3.14$整体加负号后化简即可。
【解析】
1. 计算$3-π$的绝对值：
因为$π\approx3.14159＞3$，所以$3-π＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$\left|3-π\right|=-(3-π)=π-3$。
2. 计算$\frac{1}{π}$的倒数：
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此$\frac{1}{π}$的倒数为$1÷\frac{1}{π}=π$。
3. 计算$π-3.14$的相反数：
根据相反数的定义，任意数$a$的相反数为$-a$，因此$π-3.14$的相反数为$-(π-3.14)=3.14-π$。
【答案】
$π-3$；$π$；$3.14-π$
【知识点】
绝对值的性质；倒数的定义；相反数的定义
【点评】
本题是实数相关概念的基础考查题，解题核心是熟练掌握绝对值、倒数、相反数的定义，同时明确π的大致取值范围判断式子的正负，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
7[2025湖南长沙调研]请把下列各数填入相应的集合中.
$\frac{1}{2},5.2,0,12,\frac{22}{7},\frac{π}{3},-|-1|,0.101001,-2^2,-\frac{5}{3},2025,-0.030030003···$(相邻两个3之间0的个数逐次加1).
非负数集合：$\{$…$\}$；
分数集合：$\{$…$\}$；
无理数集合：$\{$…$\}$；
整数集合：$\{$…$\}$.
$\frac{1}{2},5.2,0,12,\frac{22}{7},\frac{π}{3},-|-1|,0.101001,-2^2,-\frac{5}{3},2025,-0.030030003···$(相邻两个3之间0的个数逐次加1).
非负数集合：$\{$…$\}$；
分数集合：$\{$…$\}$；
无理数集合：$\{$…$\}$；
整数集合：$\{$…$\}$.
答案
7.【解】非负数集合：$\{\frac{1}{2},5.2,0,12,\frac{22}{7},\frac{π}{3}, $$0.101\ 001,2\ 025,···\}$；
分数集合：$\{\frac{1}{2},5.2,\frac{22}{7},0.101\ 001,-\frac{5}{3},···\}$；
无理数集合：$\{\frac{π}{3},-0.030\ 030\ 003···(相邻两 个3之间0的个数逐次加1),···\}$；
整数集合：$\{0,12,-|-1|,-2^2,2\ 025,···\}$.
分数集合：$\{\frac{1}{2},5.2,\frac{22}{7},0.101\ 001,-\frac{5}{3},···\}$；
无理数集合：$\{\frac{π}{3},-0.030\ 030\ 003···(相邻两 个3之间0的个数逐次加1),···\}$；
整数集合：$\{0,12,-|-1|,-2^2,2\ 025,···\}$.
解析
【分析】
解题时首先将题目中带有运算的数先化简，再根据各类数的定义逐一判断所属集合：①非负数指大于或等于0的数；②分数包含正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数，是有理数的一类；③无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的代数式、有规律但不循环的无限小数等；④整数包含正整数、0、负整数。判断时注意先化简再归类，避免漏项、错放。
【解析】
第一步：先化简带运算的数：$-|-1|=-1$，$-2^2=-4$。
第二步：按定义分类：
1. 非负数集合：筛选所有大于等于0的数；
2. 分数集合：筛选属于有理数的分数、有限小数；
3. 无理数集合：筛选无限不循环小数；
4. 整数集合：筛选正整数、0、负整数。
【答案】
非负数集合：$\{\frac{1}{2},5.2,0,12,\frac{22}{7},\frac{π}{3}, 0.101\ 001,2\ 025,···\}$；
分数集合：$\{\frac{1}{2},5.2,\frac{22}{7},0.101\ 001,-\frac{5}{3},···\}$；
无理数集合：$\{\frac{π}{3},-0.030\ 030\ 003···(相邻两个3之间0的个数逐次加1),···\}$；
整数集合：$\{0,12,-|-1|,-2^2,2\ 025,···\}$。
【知识点】
实数的分类，无理数的识别，有理数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题关键是先化简含运算符号的数，准确掌握各类数的定义，尤其要注意区分分数和无理数，不要将含π的数、无限不循环小数错归为分数。
【难度系数】
0.7
解题时首先将题目中带有运算的数先化简，再根据各类数的定义逐一判断所属集合：①非负数指大于或等于0的数；②分数包含正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数，是有理数的一类；③无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的代数式、有规律但不循环的无限小数等；④整数包含正整数、0、负整数。判断时注意先化简再归类，避免漏项、错放。
【解析】
第一步：先化简带运算的数：$-|-1|=-1$，$-2^2=-4$。
第二步：按定义分类：
1. 非负数集合：筛选所有大于等于0的数；
2. 分数集合：筛选属于有理数的分数、有限小数；
3. 无理数集合：筛选无限不循环小数；
4. 整数集合：筛选正整数、0、负整数。
【答案】
非负数集合：$\{\frac{1}{2},5.2,0,12,\frac{22}{7},\frac{π}{3}, 0.101\ 001,2\ 025,···\}$；
分数集合：$\{\frac{1}{2},5.2,\frac{22}{7},0.101\ 001,-\frac{5}{3},···\}$；
无理数集合：$\{\frac{π}{3},-0.030\ 030\ 003···(相邻两个3之间0的个数逐次加1),···\}$；
整数集合：$\{0,12,-|-1|,-2^2,2\ 025,···\}$。
【知识点】
实数的分类，无理数的识别，有理数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题关键是先化简含运算符号的数，准确掌握各类数的定义，尤其要注意区分分数和无理数，不要将含π的数、无限不循环小数错归为分数。
【难度系数】
0.7
8 请利用尺规在下面数轴中画出点A，使点A对应的正数a满足$a^2=10$。
答案
8.【解】如图,点 A 即为所求.
解析
【分析】
解题时首先明确待求的正数a满足a²=10，因此a=√10，要在数轴上画出表示√10的点，可借助勾股定理构造对应长度的线段：首先思考哪两个整数的平方和等于10，易得3²+1²=10，即直角边为3和1的直角三角形斜边长为√10；接下来通过尺规作图，先在数轴上构造出这条长度为√10的线段，再将该长度转移到数轴正半轴即可得到点A。
【解析】
解：
∵a是正数，且a²=10，
∴a=√10。
根据勾股定理，直角边长分别为3和1的直角三角形的斜边长为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，按以下步骤作图：
1. 在数轴正半轴上找到表示3的点，过该点作数轴的垂线；
2. 在垂线上截取长度为1个单位长度的线段，连接原点与该线段的上端点，得到长度为√10的线段；
3. 以原点为圆心，以上述线段的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为所求的点A。
【答案】
如图,点 A 即为所求.
【知识点】
勾股定理；尺规作图；实数与数轴
【点评】
本题考查无理数在数轴上的表示方法，解题核心是利用勾股定理构造出长度等于目标无理数的线段，再通过尺规工具将线段长度对应到数轴上，解题时需注意所求数为正数，只需取数轴正半轴的交点即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确待求的正数a满足a²=10，因此a=√10，要在数轴上画出表示√10的点，可借助勾股定理构造对应长度的线段：首先思考哪两个整数的平方和等于10，易得3²+1²=10，即直角边为3和1的直角三角形斜边长为√10；接下来通过尺规作图，先在数轴上构造出这条长度为√10的线段，再将该长度转移到数轴正半轴即可得到点A。
【解析】
解：
∵a是正数，且a²=10，
∴a=√10。
根据勾股定理，直角边长分别为3和1的直角三角形的斜边长为$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，按以下步骤作图：
1. 在数轴正半轴上找到表示3的点，过该点作数轴的垂线；
2. 在垂线上截取长度为1个单位长度的线段，连接原点与该线段的上端点，得到长度为√10的线段；
3. 以原点为圆心，以上述线段的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为所求的点A。
【答案】
如图,点 A 即为所求.
【知识点】
勾股定理；尺规作图；实数与数轴
【点评】
本题考查无理数在数轴上的表示方法，解题核心是利用勾股定理构造出长度等于目标无理数的线段，再通过尺规工具将线段长度对应到数轴上，解题时需注意所求数为正数，只需取数轴正半轴的交点即可。
【难度系数】
0.7
