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一、选择题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1[2025江苏无锡期中]如图,所有四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C的面积依次为2,6,3,则正方形D的面积为 (
A.6
B.8
C.11
D.12
(第1题图)
(第2题图)
1[2025江苏无锡期中]如图,所有四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C的面积依次为2,6,3,则正方形D的面积为 (
C
)A.6
B.8
C.11
D.12
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. C 【解析】如图
,设正方形A,B,C,D的边长分别为$a,b,c,d$,正方形E的边长为$x$. 因为所有三角形都为直角三角形,所以$a^2+b^2=x^2$,$x^2+c^2=d^2$,所以$d^2=a^2+b^2+c^2$. 因为正方形A,B,C的面积依次为2,6,3,所以$d^2=2+6+3=11$,所以正方形D的面积为11. 故选C.解析
【分析】
本题属于勾股定理在图形面积中的应用类题型，解题思路如下：首先，正方形的面积等于边长的平方，因此可将正方形的面积直接转化为对应边长的平方值；其次，观察图形可知，正方形A、B的边长为同一个直角三角形的两条直角边，正方形E的边长为该直角三角形的斜边，根据勾股定理可得A、B的面积之和等于E的面积；最后，正方形E、C的边长为另一个直角三角形的两条直角边，正方形D的边长为该直角三角形的斜边，同理可得E、C的面积之和等于D的面积，联立两个关系即可推出D的面积等于A、B、C的面积之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
如图，设正方形A、B、C、D的边长分别为$a,b,c,d$，正方形E的边长为$x$。
∵ 所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理可得：
在直角边为$a$、$b$的直角三角形中，$a^2 + b^2 = x^2$；
在直角边为$x$、$c$的直角三角形中，$x^2 + c^2 = d^2$；
将第一个式子代入第二个式子，可得$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$。
∵ 正方形面积等于边长的平方，正方形A、B、C的面积依次为2、6、3，即$a^2=2$，$b^2=6$，$c^2=3$，
∴ $d^2 = 2 + 6 + 3 = 11$，即正方形D的面积为11。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；数形结合思想
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用题型，解题核心是利用勾股定理建立不同正方形面积之间的等量关系，属于基础常考题，熟练掌握勾股定理的几何含义即可快速求解。
【难度系数】
0.75
本题属于勾股定理在图形面积中的应用类题型，解题思路如下：首先，正方形的面积等于边长的平方，因此可将正方形的面积直接转化为对应边长的平方值；其次，观察图形可知，正方形A、B的边长为同一个直角三角形的两条直角边，正方形E的边长为该直角三角形的斜边，根据勾股定理可得A、B的面积之和等于E的面积；最后，正方形E、C的边长为另一个直角三角形的两条直角边，正方形D的边长为该直角三角形的斜边，同理可得E、C的面积之和等于D的面积，联立两个关系即可推出D的面积等于A、B、C的面积之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
如图
，设正方形A、B、C、D的边长分别为$a,b,c,d$，正方形E的边长为$x$。∵ 所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理可得：
在直角边为$a$、$b$的直角三角形中，$a^2 + b^2 = x^2$；
在直角边为$x$、$c$的直角三角形中，$x^2 + c^2 = d^2$；
将第一个式子代入第二个式子，可得$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$。
∵ 正方形面积等于边长的平方，正方形A、B、C的面积依次为2、6、3，即$a^2=2$，$b^2=6$，$c^2=3$，
∴ $d^2 = 2 + 6 + 3 = 11$，即正方形D的面积为11。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；数形结合思想
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用题型，解题核心是利用勾股定理建立不同正方形面积之间的等量关系，属于基础常考题，熟练掌握勾股定理的几何含义即可快速求解。
【难度系数】
0.75
2[2025贵州毕节质检]如图,小明将一张长为20 cm,宽为15 cm的长方形纸片(AE＞DE)剪去了一角,量得AB=6 cm,CD=8 cm,则BC的长为 (
A.8 cm
B.13 cm
C.15 cm
D.20 cm
C
)A.8 cm
B.13 cm
C.15 cm
D.20 cm
答案
2. C 【解析】如图
,延长$AB$,$DC$相交于$F$,则$△ BFC$是直角三角形. 由勾股定理得$BF^2+FC^2=BC^2$. 因为$AB=6$ cm,$CD=8$ cm,$AF=15$ cm,$FD=20$ cm,所以$BC^2=(15-6)^2+(20-8)^2=9^2+12^2=225$,所以$BC=15$ cm. 故选C.解析
【分析】
本题中图形为长方形剪去一角得到的五边形，无法直接计算BC的长度，因此考虑使用补形法：将AB、DC延长相交得到完整的长方形，同时构造出以BC为斜边的直角三角形。先利用长方形的边长求出直角三角形的两条直角边长度，再代入勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
延长$AB$、$DC$相交于$F$，如图，则$∠ F=90°$，$△ BFC$是直角三角形。
∵ 原长方形长为20 cm，宽为15 cm，
∴ $AF=15\ \mathrm{cm}$，$FD=20\ \mathrm{cm}$，
又
∵ $AB=6\ \mathrm{cm}$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $BF=AF-AB=15-6=9\ \mathrm{cm}$，$FC=FD-CD=20-8=12\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，由勾股定理得：
$BC^2=BF^2+FC^2=9^2+12^2=81+144=225$，
∴ $BC=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，长方形的性质，补形法
【点评】
本题是勾股定理的常见应用题型，核心解题思路是通过补形将不规则图形的线段求解问题转化为直角三角形的边长计算问题，既考查了勾股定理的计算应用，也考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题中图形为长方形剪去一角得到的五边形，无法直接计算BC的长度，因此考虑使用补形法：将AB、DC延长相交得到完整的长方形，同时构造出以BC为斜边的直角三角形。先利用长方形的边长求出直角三角形的两条直角边长度，再代入勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
延长$AB$、$DC$相交于$F$，如图
，则$∠ F=90°$，$△ BFC$是直角三角形。∵ 原长方形长为20 cm，宽为15 cm，
∴ $AF=15\ \mathrm{cm}$，$FD=20\ \mathrm{cm}$，
又
∵ $AB=6\ \mathrm{cm}$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $BF=AF-AB=15-6=9\ \mathrm{cm}$，$FC=FD-CD=20-8=12\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，由勾股定理得：
$BC^2=BF^2+FC^2=9^2+12^2=81+144=225$，
∴ $BC=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，长方形的性质，补形法
【点评】
本题是勾股定理的常见应用题型，核心解题思路是通过补形将不规则图形的线段求解问题转化为直角三角形的边长计算问题，既考查了勾股定理的计算应用，也考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
3 [2026 湖南湘西州质检]如图，
，长方形纸片ABCD中，AB=3，BC=4。若将长方形纸片折叠，使C点和A点重合，展开，得到折痕EF，连接AC，则折痕EF的长为（
A.$\frac{15}{4}$
B.$\frac{15}{8}$
C.15
D.16
，长方形纸片ABCD中，AB=3，BC=4。若将长方形纸片折叠，使C点和A点重合，展开，得到折痕EF，连接AC，则折痕EF的长为（A
）A.$\frac{15}{4}$
B.$\frac{15}{8}$
C.15
D.16
答案
3. A 【解析】如图
,连接$AF$,设$AC$与$EF$交于点$O$. 因为点$C$与点$A$重合,折痕为$EF$,即$EF$垂直平分$AC$,所以$AF=CF$,$AO=CO$,$∠ FOC=90°$. 又因为四边形$ABCD$为长方形,所以$∠ B=90°$,$AB=CD=3$,$AD=BC=4$. 设$CF=x$,则$AF=x$,$BF=4-x$. 因为$AB^2+BF^2=AF^2$,所以$3^2+(4-x)^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{8}$,所以$CF=\frac{25}{8}$. 在$Rt△ ABC$中,由勾股定理得$AC^2=BC^2+AB^2=5^2$,所以$AC=5$,所以$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$. 因为$∠ FOC=90°$,所以$OF^2=FC^2-OC^2=(\frac{25}{8})^2-(\frac{5}{2})^2=(\frac{15}{8})^2$,所以$OF=\frac{15}{8}$. 易得$△ AOE ≌ △ COF$,所以$OE=OF$,所以$OE=\frac{15}{8}$,所以$EF=OE+OF=\frac{15}{4}$. 故选A.解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠后重合的点关于折痕对称，即折痕垂直平分两个重合点的连线，因此首先可以得到EF垂直平分AC，进而得到AF=CF、AO=CO、∠FOC=90°。接下来要求EF的长度，我们可以先求EF的一半，再乘2得到全长：第一步，结合矩形的直角性质，设CF为x，利用勾股定理在Rt△ABF中列方程求解CF的长度；第二步，利用勾股定理先求出矩形对角线AC的长度，进而得到OC的长度；第三步，在Rt△FOC中用勾股定理求出OF的长度；最后证明△AOE≌△COF得到OE=OF，EF=2OF即可算出结果。
【解析】
如图，连接$AF$，设$AC$与$EF$交于点$O$。
1. 由折叠的性质可知：点C与点A关于折痕EF对称，因此EF垂直平分AC，可得$AF=CF$，$AO=CO$，$∠ FOC=90°$。
2. 因为四边形ABCD是长方形，所以$∠ B=90°$，$AB=CD=3$，$AD=BC=4$。
3. 设$CF=x$，则$AF=x$，$BF=BC-CF=4-x$，在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2+BF^2=AF^2$，代入得$3^2+(4-x)^2=x^2$，
展开计算：$9+16-8x+x^2=x^2$，化简得$25-8x=0$，解得$x=\frac{25}{8}$，即$CF=\frac{25}{8}$。
4. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因此$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$。
5. 在$Rt△ FOC$中，由勾股定理得：
$OF^2=FC^2-OC^2=(\frac{25}{8})^2-(\frac{5}{2})^2=\frac{625}{64}-\frac{400}{64}=\frac{225}{64}$，所以$OF=\frac{15}{8}$。
6. 因为$AD// BC$，所以$∠ OAE=∠ OCF$，又$AO=CO$，$∠ AOE=∠ COF$，可证$△ AOE≌△ COF$（ASA），因此$OE=OF=\frac{15}{8}$。
7. 所以$EF=OE+OF=\frac{15}{8}+\frac{15}{8}=\frac{15}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何折叠计算问题，解题的核心是抓住折叠前后对应线段相等、折痕垂直平分对应点连线的性质，结合勾股定理列方程求解未知线段，同时借助全等三角形得到线段的等量关系，综合考察了几何推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆折叠的性质：折叠后重合的点关于折痕对称，即折痕垂直平分两个重合点的连线，因此首先可以得到EF垂直平分AC，进而得到AF=CF、AO=CO、∠FOC=90°。接下来要求EF的长度，我们可以先求EF的一半，再乘2得到全长：第一步，结合矩形的直角性质，设CF为x，利用勾股定理在Rt△ABF中列方程求解CF的长度；第二步，利用勾股定理先求出矩形对角线AC的长度，进而得到OC的长度；第三步，在Rt△FOC中用勾股定理求出OF的长度；最后证明△AOE≌△COF得到OE=OF，EF=2OF即可算出结果。
【解析】
如图
，连接$AF$，设$AC$与$EF$交于点$O$。1. 由折叠的性质可知：点C与点A关于折痕EF对称，因此EF垂直平分AC，可得$AF=CF$，$AO=CO$，$∠ FOC=90°$。
2. 因为四边形ABCD是长方形，所以$∠ B=90°$，$AB=CD=3$，$AD=BC=4$。
3. 设$CF=x$，则$AF=x$，$BF=BC-CF=4-x$，在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2+BF^2=AF^2$，代入得$3^2+(4-x)^2=x^2$，
展开计算：$9+16-8x+x^2=x^2$，化简得$25-8x=0$，解得$x=\frac{25}{8}$，即$CF=\frac{25}{8}$。
4. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，因此$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$。
5. 在$Rt△ FOC$中，由勾股定理得：
$OF^2=FC^2-OC^2=(\frac{25}{8})^2-(\frac{5}{2})^2=\frac{625}{64}-\frac{400}{64}=\frac{225}{64}$，所以$OF=\frac{15}{8}$。
6. 因为$AD// BC$，所以$∠ OAE=∠ OCF$，又$AO=CO$，$∠ AOE=∠ COF$，可证$△ AOE≌△ COF$（ASA），因此$OE=OF=\frac{15}{8}$。
7. 所以$EF=OE+OF=\frac{15}{8}+\frac{15}{8}=\frac{15}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何折叠计算问题，解题的核心是抓住折叠前后对应线段相等、折痕垂直平分对应点连线的性质，结合勾股定理列方程求解未知线段，同时借助全等三角形得到线段的等量关系，综合考察了几何推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
4 如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长$AD=80\ \mathrm{cm}$,高$AB=60\ \mathrm{cm}$,水深$AE=40\ \mathrm{cm}$.在水面上紧贴内壁$G$处有一块面包屑,$G$在水面线$EF$上,且$EG=60\ \mathrm{cm}$,一只蚂蚁想从鱼缸外的$A$点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的$G$处吃面包屑,则蚂蚁爬行的最短路线长为
4 如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长$AD=80\ \mathrm{cm}$,高$AB=60\ \mathrm{cm}$,水深$AE=40\ \mathrm{cm}$.在水面上紧贴内壁$G$处有一块面包屑,$G$在水面线$EF$上,且$EG=60\ \mathrm{cm}$,一只蚂蚁想从鱼缸外的$A$点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的$G$处吃面包屑,则蚂蚁爬行的最短路线长为
100
$\mathrm{cm}$.答案
4. 100 【解析】如图
,作点$A$关于$BC$的对称点$A'$,连接$A'G$交$BC$于点$Q$,则$AQ+QG=A'Q+QG=A'G$,所以蚂蚁沿着$A \to Q \to G$的路线爬行时路线最短,最短路线长等于$A'G$的长. 在$Rt△ A'EG$中,$A'E=80$ cm,$EG=60$ cm,所以$A'G^2=A'E^2+EG^2=10\ 000$,所以$A'G=100$ cm,所以最短路线长为100 cm. 故答案为100.思路分析
作出点$A$关于$BC$的对称点$A'$,连接$A'G$交$BC$于点$Q$,此时$AQ+QG$最短,根据勾股定理求解即可.
解析
【分析】
这是翻越边界的最短路径问题，解题思路如下：①要让蚂蚁爬行路径最短，需将折线路径转化为直线段，利用“两点之间线段最短”求解；②蚂蚁需要先爬过鱼缸上沿BC再到G点，因此作点A关于BC的对称点A'，根据轴对称性质，A到BC上任意点的距离等于A'到该点的距离，此时A到G的折线路径长度就等于A'到G的线段长度；③最后将线段A'放到直角三角形中，用勾股定理计算长度即可。
【解析】
作点$A$关于$BC$的对称点$A'$，连接$A'G$交$BC$于点$Q$，则$AQ+QG=A'Q+QG=A'G$，蚂蚁沿$A\to Q\to G$爬行时路线最短，最短路线长等于$A'G$的长。
由题意得：$A'B=AB=60\ \mathrm{cm}$，$EB=AB-AE=60-40=20\ \mathrm{cm}$，因此$A'E=A'B+EB=60+20=80\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ A'EG$中，$EG=60\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$A'G^2=A'E^2+EG^2=80^2+60^2=6400+3600=10000$
因此$A'G=\sqrt{10000}=100\ \mathrm{cm}$，即最短路线长为100cm。
【答案】
100
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题是平面几何最短路径的经典题型，核心是利用轴对称将折线路径转化为直线段，再结合勾股定理计算长度，掌握对称法处理跨边界的路径问题是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是翻越边界的最短路径问题，解题思路如下：①要让蚂蚁爬行路径最短，需将折线路径转化为直线段，利用“两点之间线段最短”求解；②蚂蚁需要先爬过鱼缸上沿BC再到G点，因此作点A关于BC的对称点A'，根据轴对称性质，A到BC上任意点的距离等于A'到该点的距离，此时A到G的折线路径长度就等于A'到G的线段长度；③最后将线段A'放到直角三角形中，用勾股定理计算长度即可。
【解析】
作点$A$关于$BC$的对称点$A'$，连接$A'G$交$BC$于点$Q$，则$AQ+QG=A'Q+QG=A'G$，蚂蚁沿$A\to Q\to G$爬行时路线最短，最短路线长等于$A'G$的长。
由题意得：$A'B=AB=60\ \mathrm{cm}$，$EB=AB-AE=60-40=20\ \mathrm{cm}$，因此$A'E=A'B+EB=60+20=80\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ A'EG$中，$EG=60\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$A'G^2=A'E^2+EG^2=80^2+60^2=6400+3600=10000$
因此$A'G=\sqrt{10000}=100\ \mathrm{cm}$，即最短路线长为100cm。
【答案】
100
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题是平面几何最短路径的经典题型，核心是利用轴对称将折线路径转化为直线段，再结合勾股定理计算长度，掌握对称法处理跨边界的路径问题是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5[2025辽宁辽阳质检]在$△ ABC$中，$AB=15$，$AC=20$，$D$是$BC$边所在直线上的点，$AD=12$，$BD=9$，则$BC=$
25或7
.答案
5. 25或7 【解析】如图
(1),当点$D$在线段$BC$上时,因为$AD=12$,$BD=9$,$AB=15$,所以$AD^2+BD^2=AB^2$,所以$△ ABD$是直角三角形,且$∠ ADB=90°$,所以$∠ ADC=90°$,所以$DC^2=AC^2-AD^2=20^2-12^2=256$,所以$DC=16$,所以$BC=BD+CD=9+16=25$. 如图
(2),当点$D$在$CB$的延长线上时,同理可得$DC=16$,所以$BC=CD-BD=16-9=7$. 因为$AC＞AB$,所以点$D$不在$BC$的延长线上. 综上所述,$BC$的长度为25或7. 故答案为25或7.思路分析
分情况进行讨论:点$D$在线段$BC$上和点$D$在$CB$延长线上. 逆用勾股定理可得到$△ ABD$为直角三角形,$∠ ADB=90°$,再根据勾股定理即可得到$CD$的长,进而利用线段的和差关系求出$BC$的长.
解析
【分析】
首先，题目明确D是BC边所在直线上的点，因此需要分点D在线段BC上、点D在CB的延长线上两种情况讨论（可通过边长关系排除点D在BC延长线上的情况）。第一步先根据AB、AD、BD的长度，逆用勾股定理判断△ABD是直角三角形，得到∠ADB=90°；第二步在Rt△ADC中用勾股定理求出CD的长度；第三步结合D的位置，通过线段的和差关系计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图(1)，当点D在线段BC上时：
已知AD=12，BD=9，AB=15，
计算得$AD^2+BD^2=12^2+9^2=144+81=225=15^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，因此$∠ ADC=90°$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得$DC^2=AC^2-AD^2=20^2-12^2=400-144=256$，所以$DC=16$，
此时$BC=BD+CD=9+16=25$。
② 如图(2)，当点D在CB的延长线上时：
同理可得$∠ ADB=90°$，$DC=16$，
此时$BC=CD-BD=16-9=7$。
另外，由于$AC＞AB$，因此点D不可能在BC的延长线上。
综上，BC的长度为25或7。
【答案】
25或7
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略“点在直线上”包含多种位置情况，漏算其中一种结果。解题时先利用勾股定理逆定理判断直角，再用勾股定理求边长，是几何中求解线段长度的常用思路。
【难度系数】
0.6
首先，题目明确D是BC边所在直线上的点，因此需要分点D在线段BC上、点D在CB的延长线上两种情况讨论（可通过边长关系排除点D在BC延长线上的情况）。第一步先根据AB、AD、BD的长度，逆用勾股定理判断△ABD是直角三角形，得到∠ADB=90°；第二步在Rt△ADC中用勾股定理求出CD的长度；第三步结合D的位置，通过线段的和差关系计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图
(1)，当点D在线段BC上时：已知AD=12，BD=9，AB=15，
计算得$AD^2+BD^2=12^2+9^2=144+81=225=15^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，因此$∠ ADC=90°$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得$DC^2=AC^2-AD^2=20^2-12^2=400-144=256$，所以$DC=16$，
此时$BC=BD+CD=9+16=25$。
② 如图
(2)，当点D在CB的延长线上时：同理可得$∠ ADB=90°$，$DC=16$，
此时$BC=CD-BD=16-9=7$。
另外，由于$AC＞AB$，因此点D不可能在BC的延长线上。
综上，BC的长度为25或7。
【答案】
25或7
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略“点在直线上”包含多种位置情况，漏算其中一种结果。解题时先利用勾股定理逆定理判断直角，再用勾股定理求边长，是几何中求解线段长度的常用思路。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共50分)
6[2025四川成都期中]如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160 km.
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200 km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
6[2025四川成都期中]如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160 km.
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200 km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
答案
6.【解】(1)由题意可知,$AD ⊥ BC$,$AB=340$ km,$AD=160$ km. 在$Rt△ ABD$中,$BD^2=AB^2-AD^2=90\ 000$,所以$BD=300$ km. 因为$300 ÷ 15=20(\mathrm{h})$,所以台风中心经过20 h从B点移到D点.
(2)如图
,在射线$BC$上取点$E$,$F$,使得$AE=AF=200$ km. 由$AD ⊥ BC$得$DE=DF$. 在$Rt△ AED$中,$ED^2=AE^2-AD^2=14\ 400$,所以$ED=120$ km,所以$EF=2ED=240$ km,$240 ÷ 15=16(\mathrm{h})$,所以A市受到台风影响的时间持续16 h.解析
【分析】
(1) 首先根据题意可知AD垂直BC，△ABD为直角三角形，已知斜边AB和直角边AD的长度，可利用勾股定理先求出BD的长度，再结合“时间=路程÷速度”的行程公式，即可求出台风中心从B移动到D的时间。
(2) 要计算A市受台风影响的时长，首先明确：当台风中心到A的距离不超过200km时，A市受影响。因此在BC上取E、F两点，使AE=AF=200km，线段EF就是台风移动过程中影响A市的路径。由AD垂直BC，结合等腰三角形三线合一的性质可知DE=DF，在Rt△AED中用勾股定理求出DE长度，进而得到EF的总长度，再除以台风移动速度就能得到受影响的持续时间。
【解析】
(1) 由题意得$AD ⊥ BC$，$AB=340\ \mathrm{km}$，$AD=160\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理：
$BD^2=AB^2-AD^2=340^2-160^2=90000$，
解得$BD=300\ \mathrm{km}$。
台风移动速度为$15\ \mathrm{km/h}$，因此移动时间为$300÷15=20(\mathrm{h})$。
(2) 如图，在射线$BC$上取点$E$、$F$，使得$AE=AF=200\ \mathrm{km}$，即台风中心在EF段移动时，A市受台风影响。
$\because AD ⊥ BC$，$AE=AF$，$\therefore DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，根据勾股定理：
$ED^2=AE^2-AD^2=200^2-160^2=14400$，
解得$ED=120\ \mathrm{km}$。
$\therefore EF=2ED=2×120=240\ \mathrm{km}$，
因此A市受影响的持续时间为$240÷15=16(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 台风中心经过20 h从B点移到D点。
(2) 如图，A市受到台风影响的时间持续16 h。
【知识点】
勾股定理；行程公式应用；等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的应用题，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的几何计算问题，找到台风影响对应的路径长度，既考查了基础计算能力，也考查了数学建模的应用意识。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据题意可知AD垂直BC，△ABD为直角三角形，已知斜边AB和直角边AD的长度，可利用勾股定理先求出BD的长度，再结合“时间=路程÷速度”的行程公式，即可求出台风中心从B移动到D的时间。
(2) 要计算A市受台风影响的时长，首先明确：当台风中心到A的距离不超过200km时，A市受影响。因此在BC上取E、F两点，使AE=AF=200km，线段EF就是台风移动过程中影响A市的路径。由AD垂直BC，结合等腰三角形三线合一的性质可知DE=DF，在Rt△AED中用勾股定理求出DE长度，进而得到EF的总长度，再除以台风移动速度就能得到受影响的持续时间。
【解析】
(1) 由题意得$AD ⊥ BC$，$AB=340\ \mathrm{km}$，$AD=160\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理：
$BD^2=AB^2-AD^2=340^2-160^2=90000$，
解得$BD=300\ \mathrm{km}$。
台风移动速度为$15\ \mathrm{km/h}$，因此移动时间为$300÷15=20(\mathrm{h})$。
(2) 如图
，在射线$BC$上取点$E$、$F$，使得$AE=AF=200\ \mathrm{km}$，即台风中心在EF段移动时，A市受台风影响。$\because AD ⊥ BC$，$AE=AF$，$\therefore DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，根据勾股定理：
$ED^2=AE^2-AD^2=200^2-160^2=14400$，
解得$ED=120\ \mathrm{km}$。
$\therefore EF=2ED=2×120=240\ \mathrm{km}$，
因此A市受影响的持续时间为$240÷15=16(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 台风中心经过20 h从B点移到D点。
(2) 如图
，A市受到台风影响的时间持续16 h。【知识点】
勾股定理；行程公式应用；等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的应用题，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的几何计算问题，找到台风影响对应的路径长度，既考查了基础计算能力，也考查了数学建模的应用意识。
【难度系数】
0.7
7[2026山西太原质检]如图(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,直角边AC在射线OP上,直角顶点C与射线端点O重合,AC=b,BC=a,且满足$(b-8)^2 + |a-6| = 0.$
(1)$a=$
(2)如图(2),向右匀速移动Rt△ABC,在移动的过程中,Rt△ABC的直角边AC始终在射线OP上,移动的速度为1个单位长度/秒,移动的时间为t秒,连接OB.
①Rt△ABC在移动的过程中,能否使△OAB为直角三角形?若能,求出t的值;若不能,说明理由.
②若△OAB为等腰三角形,直接写出t的值为
(1)$a=$
6
, $b=$8
.(2)如图(2),向右匀速移动Rt△ABC,在移动的过程中,Rt△ABC的直角边AC始终在射线OP上,移动的速度为1个单位长度/秒,移动的时间为t秒,连接OB.
①Rt△ABC在移动的过程中,能否使△OAB为直角三角形?若能,求出t的值;若不能,说明理由.
②若△OAB为等腰三角形,直接写出t的值为
2或8
.答案
7.【解】(1)由题意可得$b-8=0$,$a-6=0$,解得$a=6$,$b=8$,故答案为6,8.
(2)①能. 由题意得$OC=t$,$∠ OCB=90°$. 因为$AC=8$,$BC=6$,所以$OA=OC+AC=t+8$,$OB^2=OC^2+BC^2=t^2+6^2$,$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+6^2=100$. 因为$t＞0$,点$C$在$OP$上,$∠ ACB=90°$,所以只能是$∠ OBA=90°$,所以$OB^2+AB^2=OA^2$,即$t^2+6^2+100=(t+8)^2$,解得$t=\frac{9}{2}$,所以$Rt△ ABC$在移动过程中,能使$△ OAB$为直角三角形,此时$t=\frac{9}{2}$.
②当$OB=AB$时,$t^2+6^2=100$,解得$t=8$;当$OA=AB$时,$t+8=10$,解得$t=2$;当$OB=OA$时,$t^2+6^2=(t+8)^2$,解得$t=-\frac{7}{4}$(不合题意,舍去),所以当$t$的值为2或8时,$△ OAB$为等腰三角形,故答案为2或8.
(2)①能. 由题意得$OC=t$,$∠ OCB=90°$. 因为$AC=8$,$BC=6$,所以$OA=OC+AC=t+8$,$OB^2=OC^2+BC^2=t^2+6^2$,$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+6^2=100$. 因为$t＞0$,点$C$在$OP$上,$∠ ACB=90°$,所以只能是$∠ OBA=90°$,所以$OB^2+AB^2=OA^2$,即$t^2+6^2+100=(t+8)^2$,解得$t=\frac{9}{2}$,所以$Rt△ ABC$在移动过程中,能使$△ OAB$为直角三角形,此时$t=\frac{9}{2}$.
②当$OB=AB$时,$t^2+6^2=100$,解得$t=8$;当$OA=AB$时,$t+8=10$,解得$t=2$;当$OB=OA$时,$t^2+6^2=(t+8)^2$,解得$t=-\frac{7}{4}$(不合题意,舍去),所以当$t$的值为2或8时,$△ OAB$为等腰三角形,故答案为2或8.
解析
【分析】
(1) 利用非负数的性质解题：平方和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程即可求出a、b的值。
(2) ①先根据动点的速度和时间表示出OC的长度，再用含t的式子分别表示出△OAB三边的长度（或边长的平方）；先判断△OAB中可能为直角的角，排除不可能的情况后，根据勾股定理列方程求解即可。
②△OAB为等腰三角形需分三种情况分类讨论：OB=AB、OA=AB、OB=OA，分别根据边长相等列方程，舍去不符合题意的负解，即可得到t的值。
【解析】
(1) 因为$(b-8)^2≥0$，$|a-6|≥0$，且$(b-8)^2 + |a-6| = 0$，所以$b-8=0$，$a-6=0$，解得$a=6$，$b=8$。
(2) ①能。由题意得，移动时间为t秒，移动速度为1单位长度/秒，故$OC=t$，$∠ OCB=90°$。
已知$AC=8$，$BC=6$，因此$OA=OC+AC=t+8$，
由勾股定理可得：$OB^2=OC^2+BC^2=t^2+6^2$，$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+6^2=100$。
因为$t＞0$，结合图形可知$∠ OAB$和$∠ AOB$都不可能为直角，只有$∠ OBA$可能为直角，
此时根据勾股定理有$OB^2+AB^2=OA^2$，代入得：
$t^2+6^2+100=(t+8)^2$
展开整理得$16t=72$，解得$t=\frac{9}{2}$。
②分三种情况讨论：
情况1：当$OB=AB$时，$OB^2=AB^2$，即$t^2+6^2=100$，解得$t=8$（$t=-8$舍去）；
情况2：当$OA=AB$时，$t+8=10$，解得$t=2$；
情况3：当$OB=OA$时，$OB^2=OA^2$，即$t^2+6^2=(t+8)^2$，解得$t=-\frac{7}{4}$，不符合$t＞0$的要求，舍去。
综上，t的值为2或8。
【答案】
(1) $\boxed{6}$，$\boxed{8}$
(2) ①能，$t=\boxed{\frac{9}{2}}$；②$\boxed{2}$或$\boxed{8}$
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了代数与几何的结合应用，解题的关键是掌握非负数的性质和勾股定理，同时处理动点问题时要注意分类讨论思想的运用，对所有可能的情况全面分析，还要检验解是否符合实际意义，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
(1) 利用非负数的性质解题：平方和绝对值都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程即可求出a、b的值。
(2) ①先根据动点的速度和时间表示出OC的长度，再用含t的式子分别表示出△OAB三边的长度（或边长的平方）；先判断△OAB中可能为直角的角，排除不可能的情况后，根据勾股定理列方程求解即可。
②△OAB为等腰三角形需分三种情况分类讨论：OB=AB、OA=AB、OB=OA，分别根据边长相等列方程，舍去不符合题意的负解，即可得到t的值。
【解析】
(1) 因为$(b-8)^2≥0$，$|a-6|≥0$，且$(b-8)^2 + |a-6| = 0$，所以$b-8=0$，$a-6=0$，解得$a=6$，$b=8$。
(2) ①能。由题意得，移动时间为t秒，移动速度为1单位长度/秒，故$OC=t$，$∠ OCB=90°$。
已知$AC=8$，$BC=6$，因此$OA=OC+AC=t+8$，
由勾股定理可得：$OB^2=OC^2+BC^2=t^2+6^2$，$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+6^2=100$。
因为$t＞0$，结合图形可知$∠ OAB$和$∠ AOB$都不可能为直角，只有$∠ OBA$可能为直角，
此时根据勾股定理有$OB^2+AB^2=OA^2$，代入得：
$t^2+6^2+100=(t+8)^2$
展开整理得$16t=72$，解得$t=\frac{9}{2}$。
②分三种情况讨论：
情况1：当$OB=AB$时，$OB^2=AB^2$，即$t^2+6^2=100$，解得$t=8$（$t=-8$舍去）；
情况2：当$OA=AB$时，$t+8=10$，解得$t=2$；
情况3：当$OB=OA$时，$OB^2=OA^2$，即$t^2+6^2=(t+8)^2$，解得$t=-\frac{7}{4}$，不符合$t＞0$的要求，舍去。
综上，t的值为2或8。
【答案】
(1) $\boxed{6}$，$\boxed{8}$
(2) ①能，$t=\boxed{\frac{9}{2}}$；②$\boxed{2}$或$\boxed{8}$
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了代数与几何的结合应用，解题的关键是掌握非负数的性质和勾股定理，同时处理动点问题时要注意分类讨论思想的运用，对所有可能的情况全面分析，还要检验解是否符合实际意义，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
