登录
1 下列算式中，不能运用平方差公式进行运算的是（
A.$(x+a)(x-a)$
B.$(a+b)(-a-b)$
C.$(-x-b)(x-b)$
D.$(b+m)(m-b)$
B
）A.$(x+a)(x-a)$
B.$(a+b)(-a-b)$
C.$(-x-b)(x-b)$
D.$(b+m)(m-b)$
答案
B
解析
【分析】
解题的关键是牢记平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，当两个因式中有一组项完全相同，另一组项互为相反数时，就可以运用平方差公式运算。我们只需要逐一分析每个选项的两个因式，判断是否存在相同项和相反项即可得出答案。
【解析】
平方差公式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其适用特征为：相乘的两个二项式中，有一组完全相同的项，另一组互为相反数的项。
对各选项逐一分析：
选项A：$(x+a)(x-a)$中，相同项为$x$，相反项为$a$和$-a$，符合平方差公式特征，可以运用平方差公式运算，不符合题意。
选项B：$(a+b)(-a-b)=-(a+b)(a+b)$，两个因式中$a$与$-a$相反，$b$与$-b$相反，没有相同的项，不符合平方差公式特征，不能运用平方差公式运算，符合题意。
选项C：$(-x-b)(x-b)=(-b-x)(-b+x)$，相同项为$-b$，相反项为$-x$和$x$，符合平方差公式特征，可以运用平方差公式运算，不符合题意。
选项D：$(b+m)(m-b)=(m+b)(m-b)$，相同项为$m$，相反项为$b$和$-b$，符合平方差公式特征，可以运用平方差公式运算，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的识别、多项式乘多项式
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题，核心考查对平方差公式结构特征的理解，只要能准确区分两个二项式中的相同项和相反项，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的关键是牢记平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，当两个因式中有一组项完全相同，另一组项互为相反数时，就可以运用平方差公式运算。我们只需要逐一分析每个选项的两个因式，判断是否存在相同项和相反项即可得出答案。
【解析】
平方差公式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其适用特征为：相乘的两个二项式中，有一组完全相同的项，另一组互为相反数的项。
对各选项逐一分析：
选项A：$(x+a)(x-a)$中，相同项为$x$，相反项为$a$和$-a$，符合平方差公式特征，可以运用平方差公式运算，不符合题意。
选项B：$(a+b)(-a-b)=-(a+b)(a+b)$，两个因式中$a$与$-a$相反，$b$与$-b$相反，没有相同的项，不符合平方差公式特征，不能运用平方差公式运算，符合题意。
选项C：$(-x-b)(x-b)=(-b-x)(-b+x)$，相同项为$-b$，相反项为$-x$和$x$，符合平方差公式特征，可以运用平方差公式运算，不符合题意。
选项D：$(b+m)(m-b)=(m+b)(m-b)$，相同项为$m$，相反项为$b$和$-b$，符合平方差公式特征，可以运用平方差公式运算，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的识别、多项式乘多项式
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题，核心考查对平方差公式结构特征的理解，只要能准确区分两个二项式中的相同项和相反项，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2（易错题）下列计算正确的是 （
A.$(m+3n)(m-3n)=m^2 - 3n^2$
B.$(-m+3n)(m-3n)=-m^2 -9n^2$
C.$(-m-3n)(m-3n)=-m^2 +9n^2$
D.$(-m-3n)(m+3n)=m^2 -9n^2$
C
）A.$(m+3n)(m-3n)=m^2 - 3n^2$
B.$(-m+3n)(m-3n)=-m^2 -9n^2$
C.$(-m-3n)(m-3n)=-m^2 +9n^2$
D.$(-m-3n)(m+3n)=m^2 -9n^2$
答案
对平方差公式的特征理解不透彻而出错，正确答案为C
解析
【分析】
本题考查整式乘法中平方差公式的应用，解题思路如下：首先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘时，若其中一项完全相同，另一项互为相反数，即可用平方差公式计算，结果为相同项的平方减去相反项的平方。解题时逐个分析选项，先判断选项是否符合平方差公式的适用条件，符合的直接套用公式计算，不符合的可先提取负号变形，再用对应乘法公式计算，最后对比结果判断正误即可。
【解析】
首先写出平方差公式：$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2 - b^2}$，公式特征为：两因式中一项相同、一项互为相反数。
对各选项逐一计算：
选项A：$(m+3n)(m-3n)$中，相同项为$m$，相反项为$3n$和$-3n$，套用公式得$m^2 - (3n)^2 = m^2 - 9n^2$，与选项中$m^2-3n^2$不符，故A错误。
选项B：$(-m+3n)(m-3n)$中两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，变形得$-(m-3n)(m-3n)=-(m-3n)^2$，展开得$-(m^2 - 6mn + 9n^2) = -m^2 + 6mn - 9n^2$，与选项中$-m^2-9n^2$不符，故B错误。
选项C：$(-m-3n)(m-3n)$中，相同项为$-3n$，相反项为$-m$和$m$，套用公式得$(-3n)^2 - m^2 = 9n^2 - m^2 = -m^2 + 9n^2$，与选项结果一致，故C正确。
选项D：$(-m-3n)(m+3n)$中两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，变形得$-(m+3n)(m+3n)=-(m+3n)^2$，展开得$-(m^2 + 6mn + 9n^2) = -m^2 -6mn -9n^2$，与选项中$m^2-9n^2$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是易错题，易错点为对平方差公式的结构特征理解不透彻，容易混淆相同项和相反项，或计算时漏乘系数的平方，解题时先判断公式的适用条件再计算，就能有效降低错误率。
【难度系数】
0.6
本题考查整式乘法中平方差公式的应用，解题思路如下：首先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘时，若其中一项完全相同，另一项互为相反数，即可用平方差公式计算，结果为相同项的平方减去相反项的平方。解题时逐个分析选项，先判断选项是否符合平方差公式的适用条件，符合的直接套用公式计算，不符合的可先提取负号变形，再用对应乘法公式计算，最后对比结果判断正误即可。
【解析】
首先写出平方差公式：$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2 - b^2}$，公式特征为：两因式中一项相同、一项互为相反数。
对各选项逐一计算：
选项A：$(m+3n)(m-3n)$中，相同项为$m$，相反项为$3n$和$-3n$，套用公式得$m^2 - (3n)^2 = m^2 - 9n^2$，与选项中$m^2-3n^2$不符，故A错误。
选项B：$(-m+3n)(m-3n)$中两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，变形得$-(m-3n)(m-3n)=-(m-3n)^2$，展开得$-(m^2 - 6mn + 9n^2) = -m^2 + 6mn - 9n^2$，与选项中$-m^2-9n^2$不符，故B错误。
选项C：$(-m-3n)(m-3n)$中，相同项为$-3n$，相反项为$-m$和$m$，套用公式得$(-3n)^2 - m^2 = 9n^2 - m^2 = -m^2 + 9n^2$，与选项结果一致，故C正确。
选项D：$(-m-3n)(m+3n)$中两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，变形得$-(m+3n)(m+3n)=-(m+3n)^2$，展开得$-(m^2 + 6mn + 9n^2) = -m^2 -6mn -9n^2$，与选项中$m^2-9n^2$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是易错题，易错点为对平方差公式的结构特征理解不透彻，容易混淆相同项和相反项，或计算时漏乘系数的平方，解题时先判断公式的适用条件再计算，就能有效降低错误率。
【难度系数】
0.6
3 下列算式中,能连续两次用平方差公式计算的是 (
A.$(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$
B.$(x+1)(x^2-1)(x+1)$
C.$(x+y)(x^2-y^2)(x-y)$
D.$(x-y)(x^2+y^2)(x-y)$
A
)A.$(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$
B.$(x+1)(x^2-1)(x+1)$
C.$(x+y)(x^2-y^2)(x-y)$
D.$(x-y)(x^2+y^2)(x-y)$
答案
A
解析
【分析】
要判断哪个算式能连续两次用平方差公式，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题时先观察每个选项的因式，先找第一组符合平方差特征的因式计算，再看计算结果是否能和剩余因式再次满足平方差公式的结构特征即可。
【解析】
平方差公式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，需满足两个因式有一项相同、一项互为相反数的特征。
选项A：利用乘法交换律调整运算顺序，先计算$(x+y)(x-y)$：
第一次用平方差公式：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，
得到的结果与剩余因式$(x^2+y^2)$仍符合平方差公式特征，
第二次用平方差公式：$(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x^2)^2-(y^2)^2=x^4-y^4$，符合要求。
选项B：调整顺序得$(x+1)(x+1)(x^2-1)=(x+1)^2(x^2-1)$，$(x+1)^2$与$x^2-1$没有互为相反数的项，无法再次使用平方差公式，不符合。
选项C：先计算$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，再与剩余的$(x^2-y^2)$相乘得$(x^2-y^2)^2$，用的是完全平方公式，不是平方差公式，不符合。
选项D：先计算$(x-y)(x-y)=(x-y)^2$，再与$(x^2+y^2)$相乘，没有互为相反数的项，无法使用平方差公式，不符合。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的结构特征，解题的关键是灵活调整因式的运算顺序，先凑出符合平方差的形式，再验证后续运算是否仍能使用平方差公式，要求学生熟练掌握平方差公式的特点，避免和完全平方公式混淆。
【难度系数】
0.8
要判断哪个算式能连续两次用平方差公式，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题时先观察每个选项的因式，先找第一组符合平方差特征的因式计算，再看计算结果是否能和剩余因式再次满足平方差公式的结构特征即可。
【解析】
平方差公式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，需满足两个因式有一项相同、一项互为相反数的特征。
选项A：利用乘法交换律调整运算顺序，先计算$(x+y)(x-y)$：
第一次用平方差公式：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，
得到的结果与剩余因式$(x^2+y^2)$仍符合平方差公式特征，
第二次用平方差公式：$(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x^2)^2-(y^2)^2=x^4-y^4$，符合要求。
选项B：调整顺序得$(x+1)(x+1)(x^2-1)=(x+1)^2(x^2-1)$，$(x+1)^2$与$x^2-1$没有互为相反数的项，无法再次使用平方差公式，不符合。
选项C：先计算$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，再与剩余的$(x^2-y^2)$相乘得$(x^2-y^2)^2$，用的是完全平方公式，不是平方差公式，不符合。
选项D：先计算$(x-y)(x-y)=(x-y)^2$，再与$(x^2+y^2)$相乘，没有互为相反数的项，无法使用平方差公式，不符合。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的结构特征，解题的关键是灵活调整因式的运算顺序，先凑出符合平方差的形式，再验证后续运算是否仍能使用平方差公式，要求学生熟练掌握平方差公式的特点，避免和完全平方公式混淆。
【难度系数】
0.8
4 整体思想 已知$(x+2)(x-2)-2x=1$，则$2x^2 -4x +3$的值为（
A.13
B.8
C.$-3$
D.5
A
）A.13
B.8
C.$-3$
D.5
答案
A
解析
【分析】
解题时先利用平方差公式化简已知等式左边的多项式乘积，整理后得到$x^2-2x$的整体值；再观察待求代数式的结构，将其变形为含有$x^2-2x$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解$x$的值，能简化运算步骤。
【解析】
第一步：化简已知等式
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(x+2)(x-2)=x^2-4$，代入已知等式：
$x^2 - 4 - 2x = 1$
移项整理得：$x^2 - 2x = 5$
第二步：变形待求代数式
观察$2x^2 -4x +3$，提取公因式2可得：
$2x^2 -4x +3 = 2(x^2 - 2x) + 3$
第三步：整体代入求值
将$x^2 - 2x=5$代入上式：
$2×5 +3 = 10 +3 =13$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，整式化简
【点评】
本题是整式运算中的典型题型，核心是运用整体思想简化计算，避免求解未知数的具体值，既降低了运算量，也减少了计算出错的概率，要求熟练掌握平方差公式和代数式变形技巧。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平方差公式化简已知等式左边的多项式乘积，整理后得到$x^2-2x$的整体值；再观察待求代数式的结构，将其变形为含有$x^2-2x$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解$x$的值，能简化运算步骤。
【解析】
第一步：化简已知等式
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得$(x+2)(x-2)=x^2-4$，代入已知等式：
$x^2 - 4 - 2x = 1$
移项整理得：$x^2 - 2x = 5$
第二步：变形待求代数式
观察$2x^2 -4x +3$，提取公因式2可得：
$2x^2 -4x +3 = 2(x^2 - 2x) + 3$
第三步：整体代入求值
将$x^2 - 2x=5$代入上式：
$2×5 +3 = 10 +3 =13$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，整式化简
【点评】
本题是整式运算中的典型题型，核心是运用整体思想简化计算，避免求解未知数的具体值，既降低了运算量，也减少了计算出错的概率，要求熟练掌握平方差公式和代数式变形技巧。
【难度系数】
0.7
5 填空：
(1) $(-1-4a)(4a-1)=$
(2) $(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a-\frac{1}{2}b)=$
(1) $(-1-4a)(4a-1)=$
$1-16a^2$
；(2) $(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a-\frac{1}{2}b)=$
$\frac{1}{9}a^2-\frac{1}{4}b^2$
。答案
(1) $1-16a^2$ (2) $\frac{1}{9}a^2-\frac{1}{4}b^2$
解析
【分析】
这两道题都考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题时先分别找出每个乘法算式中两个因式的相同项（对应公式中的$a$）和互为相反数的项（对应公式中的$b$），再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 先对算式变形，找出相同项和相反项：
$(-1-4a)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)$，其中相同项是$-1$，互为相反数的项是$-4a$和$4a$，符合平方差公式结构。
代入公式得：
原式$=(-1)^2-(4a)^2=1-16a^2$。
(2) 观察算式，相同项是$\frac{1}{3}a$，互为相反数的项是$\frac{1}{2}b$和$-\frac{1}{2}b$，直接代入平方差公式：
原式$=(\frac{1}{3}a)^2-(\frac{1}{2}b)^2=\frac{1}{9}a^2-\frac{1}{4}b^2$。
【答案】
(1) $1-16a^2$ (2) $\frac{1}{9}a^2-\frac{1}{4}b^2$
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确识别公式中的“相同项”和“相反项”，计算平方项时要注意给系数也做平方运算，避免出现系数漏乘的错误。
【难度系数】
0.8
这两道题都考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题时先分别找出每个乘法算式中两个因式的相同项（对应公式中的$a$）和互为相反数的项（对应公式中的$b$），再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 先对算式变形，找出相同项和相反项：
$(-1-4a)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)$，其中相同项是$-1$，互为相反数的项是$-4a$和$4a$，符合平方差公式结构。
代入公式得：
原式$=(-1)^2-(4a)^2=1-16a^2$。
(2) 观察算式，相同项是$\frac{1}{3}a$，互为相反数的项是$\frac{1}{2}b$和$-\frac{1}{2}b$，直接代入平方差公式：
原式$=(\frac{1}{3}a)^2-(\frac{1}{2}b)^2=\frac{1}{9}a^2-\frac{1}{4}b^2$。
【答案】
(1) $1-16a^2$ (2) $\frac{1}{9}a^2-\frac{1}{4}b^2$
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确识别公式中的“相同项”和“相反项”，计算平方项时要注意给系数也做平方运算，避免出现系数漏乘的错误。
【难度系数】
0.8
6 教材 P114 练习 T2 变式 计算：
(1) $(3a + 5b)(3a - 5b);$
(2) $(5m + 2)(5m - 2) - (3m + 1)(1 - 3m).$
(1) $(3a + 5b)(3a - 5b);$
(2) $(5m + 2)(5m - 2) - (3m + 1)(1 - 3m).$
答案
(1) $9a^2-25b^2$ (2) $34m^2-5$
解析
【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：1. 先回忆平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$；2. 第(1)题可直接识别出公式里的$a=3a$、$b=5b$，直接代入公式计算即可；3. 第(2)题先分别对两个乘积项应用平方差公式计算，注意第二个乘积$(3m+1)(1-3m)$可变形为$(1+3m)(1-3m)$，识别出$a=1$、$b=3m$后代入公式，再去括号、合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 直接应用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(3a + 5b)(3a - 5b)&=(3a)^2 - (5b)^2\\&=9a^2 - 25b^2\end{aligned}$
(2) 先分别计算两个乘积，再合并同类项：
计算$(5m + 2)(5m - 2)$，应用平方差公式得：
$(5m + 2)(5m - 2)=(5m)^2 - 2^2=25m^2 - 4$
将$(3m + 1)(1 - 3m)$变形为$(1 + 3m)(1 - 3m)$，应用平方差公式得：
$(1 + 3m)(1 - 3m)=1^2 - (3m)^2=1 - 9m^2$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(25m^2 - 4) - (1 - 9m^2)\\&=25m^2 - 4 - 1 + 9m^2\\&=34m^2 - 5\end{aligned}$
【答案】
(1) $9a^2-25b^2$ (2) $34m^2-5$
【知识点】
平方差公式；整式混合运算；合并同类项
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确匹配公式中的“a”和“b”，计算时要注意变形后因式的符号，去括号时不要漏变号，熟练掌握公式能大幅提升计算效率。
【难度系数】
0.8
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：1. 先回忆平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$；2. 第(1)题可直接识别出公式里的$a=3a$、$b=5b$，直接代入公式计算即可；3. 第(2)题先分别对两个乘积项应用平方差公式计算，注意第二个乘积$(3m+1)(1-3m)$可变形为$(1+3m)(1-3m)$，识别出$a=1$、$b=3m$后代入公式，再去括号、合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 直接应用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(3a + 5b)(3a - 5b)&=(3a)^2 - (5b)^2\\&=9a^2 - 25b^2\end{aligned}$
(2) 先分别计算两个乘积，再合并同类项：
计算$(5m + 2)(5m - 2)$，应用平方差公式得：
$(5m + 2)(5m - 2)=(5m)^2 - 2^2=25m^2 - 4$
将$(3m + 1)(1 - 3m)$变形为$(1 + 3m)(1 - 3m)$，应用平方差公式得：
$(1 + 3m)(1 - 3m)=1^2 - (3m)^2=1 - 9m^2$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(25m^2 - 4) - (1 - 9m^2)\\&=25m^2 - 4 - 1 + 9m^2\\&=34m^2 - 5\end{aligned}$
【答案】
(1) $9a^2-25b^2$ (2) $34m^2-5$
【知识点】
平方差公式；整式混合运算；合并同类项
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确匹配公式中的“a”和“b”，计算时要注意变形后因式的符号，去括号时不要漏变号，熟练掌握公式能大幅提升计算效率。
【难度系数】
0.8
7 如图,从一个边长为$ a $的大正方形纸板中挖去一个边长为$ b $的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图①),然后拼成一个平行四边形(如图②),那么通过计算甲、乙两个图形涂色部分的面积,可以验证成立的等式为（
A.$ a^2 - b^2 = (a - b)^2 $
B.$ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $
C.$ a^2 - 2ab + 2b^2 = (a - b)^2 $
D.$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $
D
）A.$ a^2 - b^2 = (a - b)^2 $
B.$ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $
C.$ a^2 - 2ab + 2b^2 = (a - b)^2 $
D.$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $
答案
D
解析
【分析】
这道题利用图形剪拼前后阴影部分面积不变的性质来验证乘法公式，解题思路分为两步：第一步先计算图①的阴影面积，可直接用大正方形面积减去挖去的小正方形面积得到；第二步计算图②拼成的平行四边形的面积，先确定平行四边形的底和高，再用平行四边形面积公式计算；最后根据两个图形阴影面积相等，即可推导出对应的等式。
【解析】
首先计算图①阴影部分的面积：
大正方形边长为$a$，面积为$a^2$；挖去的小正方形边长为$b$，面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1=a^2 - b^2$。
再计算图②平行四边形的面积：
观察拼接后的平行四边形，底的长度为$a + b$，平行四边形的高为大正方形与小正方形的边长差$a - b$，因此平行四边形面积$S_2 = \mathrm{底} × \mathrm{高} = (a + b)(a - b)$。
由于剪拼前后阴影部分总面积不变，即$S_1 = S_2$，因此可得等式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，面积法，图形剪拼
【点评】
本题是数形结合的典型题型，通过几何图形的剪拼直观验证了代数公式，能帮助理解平方差公式的几何意义，解题的关键是抓住剪拼前后面积不变的核心性质。
【难度系数】
0.7
这道题利用图形剪拼前后阴影部分面积不变的性质来验证乘法公式，解题思路分为两步：第一步先计算图①的阴影面积，可直接用大正方形面积减去挖去的小正方形面积得到；第二步计算图②拼成的平行四边形的面积，先确定平行四边形的底和高，再用平行四边形面积公式计算；最后根据两个图形阴影面积相等，即可推导出对应的等式。
【解析】
首先计算图①阴影部分的面积：
大正方形边长为$a$，面积为$a^2$；挖去的小正方形边长为$b$，面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1=a^2 - b^2$。
再计算图②平行四边形的面积：
观察拼接后的平行四边形，底的长度为$a + b$，平行四边形的高为大正方形与小正方形的边长差$a - b$，因此平行四边形面积$S_2 = \mathrm{底} × \mathrm{高} = (a + b)(a - b)$。
由于剪拼前后阴影部分总面积不变，即$S_1 = S_2$，因此可得等式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，面积法，图形剪拼
【点评】
本题是数形结合的典型题型，通过几何图形的剪拼直观验证了代数公式，能帮助理解平方差公式的几何意义，解题的关键是抓住剪拼前后面积不变的核心性质。
【难度系数】
0.7
8 教材P113例2(3)变式 运用平方差公式计算：
(1) $2016×1984$；
(2) $40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}$。
(1) $2016×1984$；
(2) $40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}$。
答案
(1) 3999744 (2) $1\ 599\dfrac{5}{9}$
解析
【分析】
本题考查平方差公式的简便应用，解题思路如下：首先观察两个相乘的数的特征，找到两个数的中间值，将两个数分别转化为“中间值+较小数”和“中间值-较小数”的形式，使其符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，再代入公式计算即可，相比直接计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
(1) 先对两个乘数变形：$2016=2000+16$，$1984=2000-16$
$\begin{aligned}2016×1984&=(2000+16)×(2000-16)\\&=2000^2 - 16^2\\&=4000000 - 256\\&=3999744\end{aligned}$
(2) 先对带分数变形：$40\dfrac{2}{3}=40+\dfrac{2}{3}$，$39\dfrac{1}{3}=40-\dfrac{2}{3}$
$\begin{aligned}40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}&=(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})\\&=40^2 - (\dfrac{2}{3})^2\\&=1600 - \dfrac{4}{9}\\&=1599\dfrac{5}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $3999744$；(2) $1599\dfrac{5}{9}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 有理数简便运算
【点评】
本题属于平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确识别两个乘数的结构特征，合理变形为平方差公式的标准形式后计算，能很好地考查学生对公式结构的掌握程度和简便计算的能力。
【难度系数】
0.8
本题考查平方差公式的简便应用，解题思路如下：首先观察两个相乘的数的特征，找到两个数的中间值，将两个数分别转化为“中间值+较小数”和“中间值-较小数”的形式，使其符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，再代入公式计算即可，相比直接计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
(1) 先对两个乘数变形：$2016=2000+16$，$1984=2000-16$
$\begin{aligned}2016×1984&=(2000+16)×(2000-16)\\&=2000^2 - 16^2\\&=4000000 - 256\\&=3999744\end{aligned}$
(2) 先对带分数变形：$40\dfrac{2}{3}=40+\dfrac{2}{3}$，$39\dfrac{1}{3}=40-\dfrac{2}{3}$
$\begin{aligned}40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}&=(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})\\&=40^2 - (\dfrac{2}{3})^2\\&=1600 - \dfrac{4}{9}\\&=1599\dfrac{5}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $3999744$；(2) $1599\dfrac{5}{9}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 有理数简便运算
【点评】
本题属于平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确识别两个乘数的结构特征，合理变形为平方差公式的标准形式后计算，能很好地考查学生对公式结构的掌握程度和简便计算的能力。
【难度系数】
0.8
9 $(x^2 + y^2 + 1)(x^2 + y^2 - 1) = 8$，则$x^2 + y^2$的值是（
A.3
B.$\pm 3$
C.6
D.$\pm 6$
A
）A.3
B.$\pm 3$
C.6
D.$\pm 6$
答案
A
解析
【分析】
首先观察等式左边的运算结构，两个因式中都含有$x^2+y^2$，且形式为“整体+1”乘“整体-1”，符合平方差公式的特征。我们可以先把$x^2+y^2$看作一个整体，利用平方差公式化简等式后求解，最后结合平方数的非负性，舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
解：令$t=x^2+y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$。
原等式可变形为：
$(t+1)(t-1)=8$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开得：
$t^2-1=8$
移项计算得：
$t^2=9$
解得$t=3$或$t=-3$
因为$t≥0$，所以$t=-3$不符合题意，舍去。
因此$x^2+y^2=3$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、整体换元法、非负数的性质
【点评】
本题解题的核心是将重复出现的$x^2+y^2$看作整体运用平方差公式化简，易错点是忽略平方和的非负性，误选包含负数的选项，解题时要注意对解的合理性进行验证。
【难度系数】
0.7
首先观察等式左边的运算结构，两个因式中都含有$x^2+y^2$，且形式为“整体+1”乘“整体-1”，符合平方差公式的特征。我们可以先把$x^2+y^2$看作一个整体，利用平方差公式化简等式后求解，最后结合平方数的非负性，舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
解：令$t=x^2+y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$。
原等式可变形为：
$(t+1)(t-1)=8$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开得：
$t^2-1=8$
移项计算得：
$t^2=9$
解得$t=3$或$t=-3$
因为$t≥0$，所以$t=-3$不符合题意，舍去。
因此$x^2+y^2=3$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、整体换元法、非负数的性质
【点评】
本题解题的核心是将重复出现的$x^2+y^2$看作整体运用平方差公式化简，易错点是忽略平方和的非负性，误选包含负数的选项，解题时要注意对解的合理性进行验证。
【难度系数】
0.7
