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10 已知$a=2015×2017$，$b=2014×2018$，$c=2016×2016$，则$a,b,c$的大小关系是（
A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$a=c＞b$
D.$c＞a＞b$
D
）A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$a=c＞b$
D.$c＞a＞b$
答案
D 【解析】设 $n=2\ 016$,则 $a=(n-1)(n+1)=n^2-1$, $b=(n-2)(n+2)=n^2-4,c=n^2.\because\ n^2＞n^2-1＞n^2-4$, $\therefore c＞a＞b$.
解析
【分析】
观察a、b、c三个式子的因数，均围绕2016分布，若直接计算大数乘积运算量极大，容易出错。因此我们可以设中间数2016为n，将a、b的两个因数改写为n与常数的和、差形式，再利用平方差公式展开，把三个数都转化为含$n^2$的代数式，即可直接比较大小。
【解析】
设$n=2016$，则：
$a=2015×2017=(n-1)(n+1)=n^2-1$
$b=2014×2018=(n-2)(n+2)=n^2-4$
$c=2016×2016=n^2$
因为$n^2＞n^2-1＞n^2-4$，所以$c＞a＞b$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；代数式大小比较
【点评】
本题是平方差公式简化运算的典型应用，通过设中间值换元的方法避免了复杂的大数运算，能很好地检验对平方差公式的掌握程度，以及简便运算的思维意识。
【难度系数】
0.7
观察a、b、c三个式子的因数，均围绕2016分布，若直接计算大数乘积运算量极大，容易出错。因此我们可以设中间数2016为n，将a、b的两个因数改写为n与常数的和、差形式，再利用平方差公式展开，把三个数都转化为含$n^2$的代数式，即可直接比较大小。
【解析】
设$n=2016$，则：
$a=2015×2017=(n-1)(n+1)=n^2-1$
$b=2014×2018=(n-2)(n+2)=n^2-4$
$c=2016×2016=n^2$
因为$n^2＞n^2-1＞n^2-4$，所以$c＞a＞b$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；代数式大小比较
【点评】
本题是平方差公式简化运算的典型应用，通过设中间值换元的方法避免了复杂的大数运算，能很好地检验对平方差公式的掌握程度，以及简便运算的思维意识。
【难度系数】
0.7
11 填空：
(1) (
(2) $(\dfrac{1}{4}x - 3)$(
(1) (
$1-6a$
)(6a+1)=1-36a²；(2) $(\dfrac{1}{4}x - 3)$(
$\frac{1}{4}x+3$
)=$\dfrac{1}{16}x^2 - 9$。答案
(1) $1-6a$ (2) $\frac{1}{4}x+3$
解析
【分析】
这两道题考查平方差公式的逆用，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即两个数的和乘这两个数的差，等于它们的平方差，反过来，两个数的平方差可以拆成这两个数的和与差的乘积。解题时先将等号右侧的式子整理成两个数平方差的形式，确定公式中对应的$a$和$b$，再结合给出的已知因式，补全另一个因式即可。
【解析】
(1) 先将等号右侧变形：$1-36a^2=1^2-(6a)^2$，符合平方差公式中$a^2-b^2$的形式，其中$a=1$，$b=6a$。逆用平方差公式可得：$1^2-(6a)^2=(1-6a)(1+6a)=(1-6a)(6a+1)$，因此括号内填$1-6a$。
(2) 先将等号右侧变形：$\dfrac{1}{16}x^2-9=(\dfrac{1}{4}x)^2-3^2$，符合平方差公式中$a^2-b^2$的形式，其中$a=\dfrac{1}{4}x$，$b=3$。逆用平方差公式可得：$(\dfrac{1}{4}x)^2-3^2=(\dfrac{1}{4}x-3)(\dfrac{1}{4}x+3)$，因此括号内填$\dfrac{1}{4}x+3$。
【答案】
(1) $1-6a$；(2) $\dfrac{1}{4}x+3$
【知识点】
平方差公式；平方差公式的逆用
【点评】
本题属于平方差公式的基础应用题型，熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别公式中对应的两个项是解题的核心，这类题型是后续整式运算、因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.85
这两道题考查平方差公式的逆用，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即两个数的和乘这两个数的差，等于它们的平方差，反过来，两个数的平方差可以拆成这两个数的和与差的乘积。解题时先将等号右侧的式子整理成两个数平方差的形式，确定公式中对应的$a$和$b$，再结合给出的已知因式，补全另一个因式即可。
【解析】
(1) 先将等号右侧变形：$1-36a^2=1^2-(6a)^2$，符合平方差公式中$a^2-b^2$的形式，其中$a=1$，$b=6a$。逆用平方差公式可得：$1^2-(6a)^2=(1-6a)(1+6a)=(1-6a)(6a+1)$，因此括号内填$1-6a$。
(2) 先将等号右侧变形：$\dfrac{1}{16}x^2-9=(\dfrac{1}{4}x)^2-3^2$，符合平方差公式中$a^2-b^2$的形式，其中$a=\dfrac{1}{4}x$，$b=3$。逆用平方差公式可得：$(\dfrac{1}{4}x)^2-3^2=(\dfrac{1}{4}x-3)(\dfrac{1}{4}x+3)$，因此括号内填$\dfrac{1}{4}x+3$。
【答案】
(1) $1-6a$；(2) $\dfrac{1}{4}x+3$
【知识点】
平方差公式；平方差公式的逆用
【点评】
本题属于平方差公式的基础应用题型，熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别公式中对应的两个项是解题的核心，这类题型是后续整式运算、因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.85
12 计算:$(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)=$
$2^{32}-1$
.答案
$2^{32}-1$
解析
【分析】
观察算式中各因式的结构，均为“2的2的n次幂加1”的形式，符合平方差公式中$(a+b)$的特征。我们可以利用“乘1不改变原式结果”的性质，在原式最前方乘以$(2-1)$（因为$2-1=1$），为运用平方差公式创造条件，之后反复套用平方差公式逐步化简，就能快速得到结果，避免直接计算高次幂的繁琐。
【解析】
解：在原式前乘$(2-1)$，原式值不变：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)\\&=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)\\&=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)\\&=(2^8-1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)\\&=(2^{16}-1)×(2^{16}+1)\\&=2^{32}-1\end{aligned}$
【答案】
$2^{32}-1$
【知识点】
平方差公式；幂的运算；整式巧算
【点评】
本题是平方差公式灵活应用的典型题型，解题关键是巧妙构造$(2-1)$作为因式，为连续使用平方差公式简化运算创造条件，能够很好地考察对乘法公式的活用能力。
【难度系数】
0.7
观察算式中各因式的结构，均为“2的2的n次幂加1”的形式，符合平方差公式中$(a+b)$的特征。我们可以利用“乘1不改变原式结果”的性质，在原式最前方乘以$(2-1)$（因为$2-1=1$），为运用平方差公式创造条件，之后反复套用平方差公式逐步化简，就能快速得到结果，避免直接计算高次幂的繁琐。
【解析】
解：在原式前乘$(2-1)$，原式值不变：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)\\&=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)\\&=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)\\&=(2^8-1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)\\&=(2^{16}-1)×(2^{16}+1)\\&=2^{32}-1\end{aligned}$
【答案】
$2^{32}-1$
【知识点】
平方差公式；幂的运算；整式巧算
【点评】
本题是平方差公式灵活应用的典型题型，解题关键是巧妙构造$(2-1)$作为因式，为连续使用平方差公式简化运算创造条件，能够很好地考察对乘法公式的活用能力。
【难度系数】
0.7
13 教材 P117 习题 T1 变式 运用平方差公式计算：
(1) $(-\dfrac{1}{2}x - \dfrac{2}{3}y)(-\dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{2}x)$；
(2) $(-6y -7)(6y -7)$.
(1) $(-\dfrac{1}{2}x - \dfrac{2}{3}y)(-\dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{2}x)$；
(2) $(-6y -7)(6y -7)$.
答案
(1) $-\frac{1}{4}x^2+\frac{4}{9}y^2$ (2) $49-36y^2$
解析
【分析】
解这道题首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算。解题时先从两个相乘的二项式中找到相同的项作为公式中的$a$，互为相反数的项作为公式中的$b$，再代入公式，最后按照乘方运算法则化简得到结果即可。
【解析】
(1) 先整理式子，找到相同项为$-\dfrac{2}{3}y$，相反项为$-\dfrac{1}{2}x$和$\dfrac{1}{2}x$：
$\begin{aligned}&(-\dfrac{1}{2}x - \dfrac{2}{3}y)(-\dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{2}x)\\=&(-\dfrac{2}{3}y - \dfrac{1}{2}x)(-\dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{2}x)\\=&(-\dfrac{2}{3}y)^2 - (\dfrac{1}{2}x)^2\\=&\dfrac{4}{9}y^2 - \dfrac{1}{4}x^2\\=&-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{4}{9}y^2\end{aligned}$
(2) 先整理式子，找到相同项为$-7$，相反项为$-6y$和$6y$：
$\begin{aligned}&(-6y -7)(6y -7)\\=&(-7 -6y)(-7 +6y)\\=&(-7)^2 - (6y)^2\\=&49 - 36y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{4}x^2+\frac{4}{9}y^2$ (2) $49-36y^2$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题的核心是准确识别公式中对应的$a$和$b$，计算时要注意系数也要同时乘方，避免出现符号错误或系数漏乘方的问题。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算。解题时先从两个相乘的二项式中找到相同的项作为公式中的$a$，互为相反数的项作为公式中的$b$，再代入公式，最后按照乘方运算法则化简得到结果即可。
【解析】
(1) 先整理式子，找到相同项为$-\dfrac{2}{3}y$，相反项为$-\dfrac{1}{2}x$和$\dfrac{1}{2}x$：
$\begin{aligned}&(-\dfrac{1}{2}x - \dfrac{2}{3}y)(-\dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{2}x)\\=&(-\dfrac{2}{3}y - \dfrac{1}{2}x)(-\dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{2}x)\\=&(-\dfrac{2}{3}y)^2 - (\dfrac{1}{2}x)^2\\=&\dfrac{4}{9}y^2 - \dfrac{1}{4}x^2\\=&-\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{4}{9}y^2\end{aligned}$
(2) 先整理式子，找到相同项为$-7$，相反项为$-6y$和$6y$：
$\begin{aligned}&(-6y -7)(6y -7)\\=&(-7 -6y)(-7 +6y)\\=&(-7)^2 - (6y)^2\\=&49 - 36y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{4}x^2+\frac{4}{9}y^2$ (2) $49-36y^2$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题的核心是准确识别公式中对应的$a$和$b$，计算时要注意系数也要同时乘方，避免出现符号错误或系数漏乘方的问题。
【难度系数】
0.8
14 先化简，再求值：
(1) $(2x-1)(2x+1)-(x-6)(4x+3)$，其中 $x=-\dfrac{1}{3}$；
(2) $(x+3y)(x-3y)-(-2x+5y)·(-2x-5y)$，其中 $x=(3-π)^0$，$y=-\dfrac{1}{2}$。
(1) $(2x-1)(2x+1)-(x-6)(4x+3)$，其中 $x=-\dfrac{1}{3}$；
(2) $(x+3y)(x-3y)-(-2x+5y)·(-2x-5y)$，其中 $x=(3-π)^0$，$y=-\dfrac{1}{2}$。
答案
(1) 原式$=21x+17$. 当 $x=-\frac{1}{3}$ 时,原式$=10$
(2) 原式$=-3x^2+16y^2$. 当 $x=(3-π)^0=1,y=-\frac{1}{2}$ 时,原式$=1$
(2) 原式$=-3x^2+16y^2$. 当 $x=(3-π)^0=1,y=-\frac{1}{2}$ 时,原式$=1$
解析
【分析】
本题考查整式的化简求值，解题思路如下：1. 观察式子结构，符合平方差公式特征的部分优先用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开，剩余的多项式乘多项式按对应法则展开；2. 去括号时注意符号变化，合并同类项得到最简整式；3. 将给定的未知数的值代入最简整式计算，第二问需先根据零指数幂的性质求出$x$的值再代入计算。
【解析】
(1) 第一步：利用平方差公式和多项式乘多项式法则展开
原式$=(2x)^2 - 1^2 - [x·4x + x·3 - 6·4x - 6·3]$
$=4x^2 - 1 - (4x^2 + 3x - 24x - 18)$
第二步：去括号、合并同类项化简
$=4x^2 - 1 - 4x^2 + 21x + 18$
$=21x + 17$
第三步：代入$x=-\dfrac{1}{3}$求值
当$x=-\dfrac{1}{3}$时，原式$=21×(-\dfrac{1}{3}) + 17 = -7 + 17 = 10$
(2) 第一步：分别对两个乘积项用平方差公式展开
原式$=x^2 - (3y)^2 - [(-2x)^2 - (5y)^2]$
$=x^2 - 9y^2 - (4x^2 - 25y^2)$
第二步：去括号、合并同类项化简
$=x^2 - 9y^2 - 4x^2 + 25y^2$
$=-3x^2 + 16y^2$
第三步：先求$x$的值，再代入计算
由零指数幂性质，非零数的零次幂为1，得$x=(3-π)^0=1$，
当$x=1$，$y=-\dfrac{1}{2}$时，原式$=-3×1^2 + 16×(-\dfrac{1}{2})^2 = -3 + 16×\dfrac{1}{4} = -3 + 4 = 1$
【答案】
(1) 化简结果为$21x+17$，值为$10$；(2) 化简结果为$-3x^2+16y^2$，值为$1$
【知识点】
平方差公式，多项式乘多项式，零指数幂运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练运用平方差公式简化计算，计算过程中要重点注意去括号的符号变化，零指数幂计算需确认底数不为0，只要细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的化简求值，解题思路如下：1. 观察式子结构，符合平方差公式特征的部分优先用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开，剩余的多项式乘多项式按对应法则展开；2. 去括号时注意符号变化，合并同类项得到最简整式；3. 将给定的未知数的值代入最简整式计算，第二问需先根据零指数幂的性质求出$x$的值再代入计算。
【解析】
(1) 第一步：利用平方差公式和多项式乘多项式法则展开
原式$=(2x)^2 - 1^2 - [x·4x + x·3 - 6·4x - 6·3]$
$=4x^2 - 1 - (4x^2 + 3x - 24x - 18)$
第二步：去括号、合并同类项化简
$=4x^2 - 1 - 4x^2 + 21x + 18$
$=21x + 17$
第三步：代入$x=-\dfrac{1}{3}$求值
当$x=-\dfrac{1}{3}$时，原式$=21×(-\dfrac{1}{3}) + 17 = -7 + 17 = 10$
(2) 第一步：分别对两个乘积项用平方差公式展开
原式$=x^2 - (3y)^2 - [(-2x)^2 - (5y)^2]$
$=x^2 - 9y^2 - (4x^2 - 25y^2)$
第二步：去括号、合并同类项化简
$=x^2 - 9y^2 - 4x^2 + 25y^2$
$=-3x^2 + 16y^2$
第三步：先求$x$的值，再代入计算
由零指数幂性质，非零数的零次幂为1，得$x=(3-π)^0=1$，
当$x=1$，$y=-\dfrac{1}{2}$时，原式$=-3×1^2 + 16×(-\dfrac{1}{2})^2 = -3 + 16×\dfrac{1}{4} = -3 + 4 = 1$
【答案】
(1) 化简结果为$21x+17$，值为$10$；(2) 化简结果为$-3x^2+16y^2$，值为$1$
【知识点】
平方差公式，多项式乘多项式，零指数幂运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练运用平方差公式简化计算，计算过程中要重点注意去括号的符号变化，零指数幂计算需确认底数不为0，只要细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
15 数形结合思想 如图,从边长为a的大正方形中截去一个边长为b的小正方形.
(1) 请用含a,b的式子表示图中阴影部分的面积.
(2) 将阴影部分沿虚线剪开,再拼成一个长方形,则这个长方形的长、宽及面积分别是多少?
(3) 比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗?
(1) 请用含a,b的式子表示图中阴影部分的面积.
(2) 将阴影部分沿虚线剪开,再拼成一个长方形,则这个长方形的长、宽及面积分别是多少?
(3) 比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗?
答案
(1) $a^2-b^2$
(2) 长为 $a+b$,宽为 $a-b$,面积为 $a^2-b^2$
(3) 能 根据(1)(2),得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(2) 长为 $a+b$,宽为 $a-b$,面积为 $a^2-b^2$
(3) 能 根据(1)(2),得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
解析
【分析】
(1) 求阴影面积可采用“整体减空白”的思路：阴影是大正方形去掉小正方形得到的，先分别计算大、小正方形的面积，再作差即可得到阴影面积。
(2) 剪拼前后图形面积不变，观察原阴影的边长拼接规律：较长边为大、小正方形的边长和，较短边为大、小正方形的边长差，据此得到长方形的长和宽，再结合面积不变性或长方形面积公式得到面积即可。
(3) 两问的结果都是同一阴影的面积，因此两个表达式相等，即可对应平方差公式完成验证。
【解析】
(1) 边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，
阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积，因此$S_{\mathrm{阴影}}=a^2-b^2$。
(2) 将阴影沿虚线剪开拼成长方形：
长方形的长为大、小正方形的边长之和，即$a+b$；
长方形的宽为大、小正方形的边长之差，即$a-b$；
剪拼前后面积不变，因此长方形面积为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
(3) 可以验证平方差公式。
由于(1)(2)的结果都是同一个阴影部分的面积，因此两个表达式相等，可得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即验证了平方差公式。
【答案】
(1) $a^2-b^2$
(2) 长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$a^2-b^2$
(3) 能，根据(1)(2)，得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
【知识点】
平方差公式，割补法，图形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的剪拼直观呈现了平方差公式的几何意义，将代数公式与几何图形结合，考查了数形结合思想的应用，能够帮助理解平方差公式的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
(1) 求阴影面积可采用“整体减空白”的思路：阴影是大正方形去掉小正方形得到的，先分别计算大、小正方形的面积，再作差即可得到阴影面积。
(2) 剪拼前后图形面积不变，观察原阴影的边长拼接规律：较长边为大、小正方形的边长和，较短边为大、小正方形的边长差，据此得到长方形的长和宽，再结合面积不变性或长方形面积公式得到面积即可。
(3) 两问的结果都是同一阴影的面积，因此两个表达式相等，即可对应平方差公式完成验证。
【解析】
(1) 边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，
阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积，因此$S_{\mathrm{阴影}}=a^2-b^2$。
(2) 将阴影沿虚线剪开拼成长方形：
长方形的长为大、小正方形的边长之和，即$a+b$；
长方形的宽为大、小正方形的边长之差，即$a-b$；
剪拼前后面积不变，因此长方形面积为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
(3) 可以验证平方差公式。
由于(1)(2)的结果都是同一个阴影部分的面积，因此两个表达式相等，可得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即验证了平方差公式。
【答案】
(1) $a^2-b^2$
(2) 长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$a^2-b^2$
(3) 能，根据(1)(2)，得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
【知识点】
平方差公式，割补法，图形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的剪拼直观呈现了平方差公式的几何意义，将代数公式与几何图形结合，考查了数形结合思想的应用，能够帮助理解平方差公式的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
