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1. (2026·上海月考)下列$y$关于$x$的函数中，属于二次函数的是 (
A.$y=ax^2+bx+c$
B.$y=\sqrt{x^2+1}$
C.$y=\dfrac{1}{x^2+2}$
D.$y=x^2+3$
D
)A.$y=ax^2+bx+c$
B.$y=\sqrt{x^2+1}$
C.$y=\dfrac{1}{x^2+2}$
D.$y=x^2+3$
答案
1. D 解析:A. 当a=0时,函数$y=ax^2+bx+c$不是二次函数;B. $y= \sqrt{x^2+1}$,等号右边不是整式,不是二次函数;C. $y=\dfrac{1}{x^2+2}$,等号右边不是整式,不是二次函数;D. $y=x^2+3$是二次函数,故选D.
2. (2026·阜阳月考)把二次函数$y=(x-2)^2 - 3x(x+1)$化为一般形式，一次项系数为(
A.-2
B.-3
C.-5
D.-7
D
)A.-2
B.-3
C.-5
D.-7
答案
2. D 解析:$y=(x-2)^2-3x(x+1)=x^2-4x+4-3x^2-3x=-2x^2-7x+4$,其中二次项系数是-2、一次项系数是-7、常数项是4,故选D.
3. (2026·新乡期中)将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时,能卖出200个.已知该商品的售价每上涨1元,其销售量就减少6个.设这种商品的售价上涨x元时,获得的利润为y元,则下列关系式正确的是 (
A.$y=(x+10)(200-6x)$
B.$y=(x+40)(200-12x)$
C.$y=(x-30)(200-6x)$
D.$y=(x+10)(200-12x)$
A
)A.$y=(x+10)(200-6x)$
B.$y=(x+40)(200-12x)$
C.$y=(x-30)(200-6x)$
D.$y=(x+10)(200-12x)$
答案
3. A 解析:售价上涨x元后,每个利润为$(40+x)-30=(x+10)$元,销售量减少6x个,即为$(200-6x)$个,
∴利润$y=(x+10)(200-6x)$.故选A.
∴利润$y=(x+10)(200-6x)$.故选A.
4. (2026·天津月考)下列变量间具有二次函数关系的是 (
A.正方形的周长 $ y $ 与边长 $ x $
B.正方形的面积 $ S $ 与边长 $ x $
C.三角形的高一定时,面积 $ y $ 与底边长 $ x $
D.速度一定时,路程 $ s $ 与时间 $ t $
B
)A.正方形的周长 $ y $ 与边长 $ x $
B.正方形的面积 $ S $ 与边长 $ x $
C.三角形的高一定时,面积 $ y $ 与底边长 $ x $
D.速度一定时,路程 $ s $ 与时间 $ t $
答案
4. B 解析:A. 正方形的周长$y$与边长$x$的关系为$y=4x$,是一次函数;B. 正方形的面积$S$与边长$x$的关系为$S=x^2$,符合二次函数形式;C. 三角形的高一定时,面积$y$与底边长$x$的关系为$y=\frac{1}{2}hx$($h$为定值),是一次函数;D. 速度一定时,路程$s$与时间$t$的关系为$s=vt$($v$为定值),是一次函数.故选B.
5. 已知二次函数 $ y = x^2 + 2x - 7 $，若自变量 $ x $ 的值为3，则函数值 $ y = \_\_\_\_\_\_ $；若函数值是8，则对应的 $ x = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
5. 8 3或-5 解析:$x=3$,$y=3^2+2×3-7=8$;$x^2+2x-7=8$,解得$x=3$或-5.
6. 改编题 若$y=(a-3)x^{|a|-1}-(a-3)x+a^2$是二次函数，则a的值为
-3
，此时该函数的二次项是$-6x^2$
，常数项是9
。答案
6. -3 $-6x^2$ 9 解析:由题意得,$|a|-1=2$且$a-3≠0$,
∴$a=-3$,此时$y=-6x^2+6x+9$,该函数二次项是$-6x^2$,常数项是9.
∴$a=-3$,此时$y=-6x^2+6x+9$,该函数二次项是$-6x^2$,常数项是9.
7. 已知矩形的周长为36 m,矩形绕着它的一条边所在的直线旋转形成一个圆柱,设矩形的这条边长为x m,圆柱的侧面积为y m²,则y与x的函数解析式为
$y=2π(36÷2-x)·x(或y=-2πx^2+36πx)$
.答案
7. $y=2π(36÷2-x)·x(或y=-2πx^2+36πx)$ 解析:矩形的另一条边长为$(36÷2-x)$m,旋转形成的圆柱底面周长为$2π(36÷2-x)$m,
∴侧面积$y=[2π(36÷2-x)·x]m^2$.
∴侧面积$y=[2π(36÷2-x)·x]m^2$.
8. 原创题 下列函数($x,t$是自变量)是二次函数的有________.(填序号)
①$y=\dfrac{1}{x^2 + 2x}$；②$s=3-\sqrt{2}t^2$；③$y=π^2 + 2x$；
④$y=\sqrt{x^2 +1}$；⑤$y=\dfrac{x^4}{x^2}$；⑥$(x-1)^2=\dfrac{y}{3}$；
⑦$2s=-(t-1)(t+4)$；⑧$y=2x(x^2 -3x +1)$；
⑨$y=-m^2x^2 -x^2$；⑩$y=ax^2 -\dfrac{1}{a}x$。
①$y=\dfrac{1}{x^2 + 2x}$；②$s=3-\sqrt{2}t^2$；③$y=π^2 + 2x$；
④$y=\sqrt{x^2 +1}$；⑤$y=\dfrac{x^4}{x^2}$；⑥$(x-1)^2=\dfrac{y}{3}$；
⑦$2s=-(t-1)(t+4)$；⑧$y=2x(x^2 -3x +1)$；
⑨$y=-m^2x^2 -x^2$；⑩$y=ax^2 -\dfrac{1}{a}x$。
答案
8. ②⑥⑦⑨⑩ 解析:①不是二次函数;②是二次函数,二次项系数是$-\sqrt{2}$,一次项系数是0,常数项是3;③不是二次函数;④不是二次函数;⑤不是二次函数;⑥是二次函数,二次项系数是3,一次项系数是-6,常数项是3;⑦是二次函数,二次项系数是$-\frac{1}{2}$,一次项系数是$-\frac{3}{2}$,常数项是2;⑧不是二次函数;⑨是二次函数,二次项系数是$-m^2-1$,一次项系数是0,常数项是0;⑩是二次函数,二次项系数是$a$,一次项系数是$-\frac{1}{a}$,常数项是0.
9. 教材变式 如图,有长为28 m的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度a为16 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,并留有两个1 m的小门.设花圃的宽AB为x m,面积为S m².
(1)求S与x的函数解析式及自变量的取值范围；
(2)要围成面积为63 m²的花圃,求出AB的长是多少米.
(1)求S与x的函数解析式及自变量的取值范围；
(2)要围成面积为63 m²的花圃,求出AB的长是多少米.
答案
9. (1)根据题意得$S=x(28-3x+2)$,即所求的函数解析式为$S=-3x^2+30x$.又
∵$0＜28-3x+2≤16$,
∴$\frac{14}{3} ≤x＜10$.
(2)根据题意,$S=63$,
∴$-3x^2+30x=63$,解得$x_1=3$(舍去),$x_2=7$.答:AB的长是7 m.
∵$0＜28-3x+2≤16$,
∴$\frac{14}{3} ≤x＜10$.
(2)根据题意,$S=63$,
∴$-3x^2+30x=63$,解得$x_1=3$(舍去),$x_2=7$.答:AB的长是7 m.
