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18. (12分)(南宁中考)如图①,为美化校园环境,某校计划在一块长为100米,宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.
(1)用含a的式子表示花圃的面积:
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的$\frac{1}{4}$,求出此时通道的宽;
(3)已知某园林公司修建通道的单价是每平方米50元,修建花圃的造价y(元)与花圃的修建面积S(平方米)之间的函数关系如图②所示,并且通道宽a(米)的值能使关于x的方程$\frac{1}{4}x^2 -ax +25a -150=0$有两个相等的实数根,并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米,如果学校决定由该公司承建此项目,请求出修建的通道与花圃的造价和为多少元.
(1)用含a的式子表示花圃的面积:
$4a^2-320a+6000$
;(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的$\frac{1}{4}$,求出此时通道的宽;
(3)已知某园林公司修建通道的单价是每平方米50元,修建花圃的造价y(元)与花圃的修建面积S(平方米)之间的函数关系如图②所示,并且通道宽a(米)的值能使关于x的方程$\frac{1}{4}x^2 -ax +25a -150=0$有两个相等的实数根,并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米,如果学校决定由该公司承建此项目,请求出修建的通道与花圃的造价和为多少元.
答案
(1)$4a^2-320a+6000$ 解析:由题图可知,花圃的面积为$(100-2a)·(60-2a)=(4a^2-320a+6000)$平方米.
(2)由已知可列式为$100×60-(100-2a)·(60-2a)=\frac{1}{4}×100×60$,解得$a_1=5$,$a_2=75$(舍去),
∴ 通道的宽为5米.
(3)
∵ 方程$\frac{1}{4}x^2-ax+25a-150=0$有两个相等的实数根,
∴ $Δ=a^2-25a+150=0$,解得$a_1=10$,$a_2=15$.
∵ 5≤a≤12,
∴ a=10.
设修建花圃的造价为y元,由题图②知y=55.625S.当a=10时,$S_{花圃}=(100-2×10)×(60-2×10)=3200$(平方米),$y_{花圃}=3200×55.625=178000$(元),$S_{通道}=100×60-3200=2800$(平方米),$y_{通道}=2800×50=140000$(元),造价和为178000+140000=318000(元).
(2)由已知可列式为$100×60-(100-2a)·(60-2a)=\frac{1}{4}×100×60$,解得$a_1=5$,$a_2=75$(舍去),
∴ 通道的宽为5米.
(3)
∵ 方程$\frac{1}{4}x^2-ax+25a-150=0$有两个相等的实数根,
∴ $Δ=a^2-25a+150=0$,解得$a_1=10$,$a_2=15$.
∵ 5≤a≤12,
∴ a=10.
设修建花圃的造价为y元,由题图②知y=55.625S.当a=10时,$S_{花圃}=(100-2×10)×(60-2×10)=3200$(平方米),$y_{花圃}=3200×55.625=178000$(元),$S_{通道}=100×60-3200=2800$(平方米),$y_{通道}=2800×50=140000$(元),造价和为178000+140000=318000(元).
19. (12分)【引入命题】设A(x)是关于字母x的一个整式,若$x_1$是方程$A(x)=0$的一个根,则整式$A(x)$必有一个因式$(x-x_1)$,即$A(x)=(x-x_1)A_1(x)$.其中$A_1(x)$仍然是关于字母x的一个整式.
(1)若$A(x)=(x-2)A_1(x)$,则$A(x)=0$的一个根是
【回归课本】设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个根$x_1,x_2$,则方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$,即$ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2 = 0$,与原方程比较系数,可得到一元二次方程根与系数的关系:$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}$.
(2)利用上式结论解题:已知关于x的一元二次方程$x^2+2mx+m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根,且$x_1+x_2+x_1x_2=2$,则实数m的值为
【探究引申】设一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$有三个根$x_1,x_2,x_3$,则原方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,试着展开上式,然后比较系数,可以得到根与系数的关系:$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}$,$x_1· x_2· x_3=-\frac{d}{a}$.
(3)利用上式结论解题:已知方程$x^3 -4x^2 +3x +d=0$有三个根$α,β,\gamma$,求$α^2+β^2+\gamma^2$的值.
【拓展提高】
(4)利用以上规律探究:若方程$a_0x^n +a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n=0(a_0≠0)$有n个根$x_1,x_2,\dots,x_n$,则$x_1+x_2+\dots+x_n=$
(1)若$A(x)=(x-2)A_1(x)$,则$A(x)=0$的一个根是
x=2
.【回归课本】设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个根$x_1,x_2$,则方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$,即$ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2 = 0$,与原方程比较系数,可得到一元二次方程根与系数的关系:$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}$.
(2)利用上式结论解题:已知关于x的一元二次方程$x^2+2mx+m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根,且$x_1+x_2+x_1x_2=2$,则实数m的值为
3
.【探究引申】设一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$有三个根$x_1,x_2,x_3$,则原方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,试着展开上式,然后比较系数,可以得到根与系数的关系:$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}$,$x_1· x_2· x_3=-\frac{d}{a}$.
(3)利用上式结论解题:已知方程$x^3 -4x^2 +3x +d=0$有三个根$α,β,\gamma$,求$α^2+β^2+\gamma^2$的值.
【拓展提高】
(4)利用以上规律探究:若方程$a_0x^n +a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n=0(a_0≠0)$有n个根$x_1,x_2,\dots,x_n$,则$x_1+x_2+\dots+x_n=$
$-\frac{a_1}{a_0}$
,$x_1· x_2· \dots · x_n=$$(-1)^n\frac{a_n}{a_0}$
.答案
(1)x=2 解析:$A(x)=(x-2)A_1(x)$,
∴ A(x)=0的一个根是x=2.
(2)3 解析:根据题意得关于x的一元二次方程$x^2+2mx+m^2-m+2=0$有两个不相等的实数根,
∴ $Δ=(2m)^2-4(m^2-m+2)＞0$,解得m＞2,由根与系数的关系得$x_1+x_2=-2m$,$x_1x_2=m^2-m+2$.
∵ $x_1+x_2+x_1x_2=2$,
∴ $-2m+m^2-m+2=2$,解得$m_1=0$(不合题意,舍去),$m_2=3$,
∴ m的值为3.
(3)已知方程$x^3-4x^2+3x+d=0$有三个根α,β,γ,
∴ a=1,b=-4,c=3,
∴ $α^2+β^2+γ^2=(α+β+γ)^2-2(αβ+αγ+βγ)=(-\frac{b}{a})^2-2·\frac{c}{a}=\frac{b^2-2ac}{a^2}=10$,即$α^2+β^2+γ^2=10$.
(4)$-\frac{a_1}{a_0}$ $(-1)^n\frac{a_n}{a_0}$ 解析:由题意得方程$a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_n=0(a_0≠0)$有n个根$x_1,x_2,…,x_n$,因式分解:$a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_n=a_0(x-x_1)(x-x_2)·…·(x-x_n)=a_0[x^n-(x_1+x_2+x_3+…+x_n)x^{n-1}+(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+…+x_{n-1}x_n)x^{n-2}+…+(-1)^n(x_1x_2·…·x_n)]$,
∴ $x_1+x_2+…+x_n=-\frac{a_1}{a_0}$,$x_1·x_2·…·x_n=(-1)^n\frac{a_n}{a_0}$.
∴ A(x)=0的一个根是x=2.
(2)3 解析:根据题意得关于x的一元二次方程$x^2+2mx+m^2-m+2=0$有两个不相等的实数根,
∴ $Δ=(2m)^2-4(m^2-m+2)＞0$,解得m＞2,由根与系数的关系得$x_1+x_2=-2m$,$x_1x_2=m^2-m+2$.
∵ $x_1+x_2+x_1x_2=2$,
∴ $-2m+m^2-m+2=2$,解得$m_1=0$(不合题意,舍去),$m_2=3$,
∴ m的值为3.
(3)已知方程$x^3-4x^2+3x+d=0$有三个根α,β,γ,
∴ a=1,b=-4,c=3,
∴ $α^2+β^2+γ^2=(α+β+γ)^2-2(αβ+αγ+βγ)=(-\frac{b}{a})^2-2·\frac{c}{a}=\frac{b^2-2ac}{a^2}=10$,即$α^2+β^2+γ^2=10$.
(4)$-\frac{a_1}{a_0}$ $(-1)^n\frac{a_n}{a_0}$ 解析:由题意得方程$a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_n=0(a_0≠0)$有n个根$x_1,x_2,…,x_n$,因式分解:$a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_n=a_0(x-x_1)(x-x_2)·…·(x-x_n)=a_0[x^n-(x_1+x_2+x_3+…+x_n)x^{n-1}+(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+…+x_{n-1}x_n)x^{n-2}+…+(-1)^n(x_1x_2·…·x_n)]$,
∴ $x_1+x_2+…+x_n=-\frac{a_1}{a_0}$,$x_1·x_2·…·x_n=(-1)^n\frac{a_n}{a_0}$.
