14. (2026·漳州期末)定义：$cx^2+bx+a=0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的倒方程.则下列四个结论：
①如果$x=2$是$x^2+2x+c=0$的倒方程的解，则$c=-\dfrac{5}{4}$；
②如果$ac＜0$，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程$ax^2-2x+c=0$无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.
其中正确的有(填序号).

①②③ 解析:结论①,原方程$x^2+2x+c=0$的倒方程为$cx^2+2x+1=0$,将x=2代入得4c+4+1=0,解得$c=-\frac{5}{4}$.故①正确;结论②,当ac＜0时,判别式$Δ=b^2-4ac＞0$,
∴ 两个方程均有两个不相等的实数根,故②正确;结论③,
∵ 原方程无解,
∴ 4-4ac＜0,即ac＞1,
∴ 倒方程判别式4-4ac＜0,
∴ 倒方程无解,故③正确;结论④,举反例说明,当c=0时,原方程为$ax^2+bx=0$,若其有两个不相等的实数根,则其判别式$Δ=b^2＞0$,即b≠0,
∵ 原方程$ax^2+bx+c=0$的倒方程为$cx^2+bx+a=0$,c=0,b≠0,
∴ 倒方程为bx+a=0,是一元一次方程,
∴ 只有一个根,故④错误.故答案为①②③.

三、解答题(共52分)
15. (12分)按要求解下列方程.
(1)$2(x-3)=3x(x-3)$(因式分解法)；
(2)$x^2 - x = 3x - 1$(配方法)；
(3)$2(x-1)^2 - 3x + 1 = 0$(公式法).

(1)原方程可化为$(3x-2)(x-3)=0$,解得$x_1=3$,$x_2=\frac{2}{3}$.
(2)$x^2-4x=-1$,$x^2-4x+4=-1+4$,$(x-2)^2=3$,解得$x_1=2+\sqrt{3}$,$x_2=2-\sqrt{3}$.
(3)原方程可化为$2x^2-7x+3=0$,$Δ=b^2-4ac=49-24=25$,解得$x_1=3$,$x_2=\frac{1}{2}$.

16. (8分)(衡阳中考)关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$有实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程$(m - 1)x^2 + x + m - 3 = 0$与方程$x^2 - 3x + k = 0$有一个相同的根,求此时m的值.

(1)根据题意得$Δ=(-3)^2-4k≥0$,解得$k≤\frac{9}{4}$.
(2)由(1)可得k的最大整数值为2,代入方程$x^2-3x+k=0$得$x^2-3x+2=0$,解得$x_1=1$,$x_2=2$.
∵ 一元二次方程$(m-1)x^2+x+m-3=0$与方程$x^2-3x+k=0$有一个相同的根,
∴ 当x=1时,$m-1+1+m-3=0$,解得$m=\frac{3}{2}$;当x=2时,$4(m-1)+2+m-3=0$,解得m=1.而m-1≠0,
∴ m的值为$\frac{3}{2}$.

17. (8分)阅读理解题.
定义:如果一个数i的平方等于-1,记为$i^2 = -1$,那么这个数i叫作虚数单位.我们把形如$a+bi$($a,b$为实数)的数叫作复数,$a$叫作这个复数的实部,$b$叫作这个复数的虚部,它的加法、减法、乘法运算与整式类似.
读完这段文字,请你解答以下问题:
(1)填空:$i^3 =$ ,$i^4 =$ ,$i^2 + i^3 + i^4 + ··· + i^{1001} =$ .
(2)已知$(a+i)(b+i)=1-3i$,写出一个以$a,b$的值为解的一元二次方程.
(3)在复数范围内解方程:$x^2 -4x +8=0$.

(1)-i 1 0 解析:$i^3=i×i^2=-i$,$i^4=i^2×i^2=1$.
∵ $i^2+i^3+i^4+i^5=-1-i+1+i=0$,$i^2+i^3+i^4+…+i^{1001}$有1 000个加数,1 000÷4=250,
∴ $i^2+i^3+i^4+…+i^{1001}=0$.
(2)
∵ $(a+i)(b+i)=1-3i$,
∴ $ab+ai+bi+i^2=1-3i$,$ab-1+(a+b)i=1-3i$,
∴ $ab-1=1$,$a+b=-3$,
∴ ab=2,
∴ 以a,b的值为解的一元二次方程可以是$x^2+3x+2=0$(答案不唯一).
(3)
∵ $x^2-4x+8=0$,
∴ $x^2-4x=-8$,
∴ $(x-2)^2=4i^2$,
∴ x-2=±2i,解得$x_1=2+2i$,$x_2=2-2i$.