12（2024 常州期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是DC的中点，F是边BC上的动点，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径作$\odot F$.当$\odot F$与正方形ABCD的边相切时，BF的长为______.

$\frac{15}{4}$或$6 - 3\sqrt{3}$

13（2024淮安二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-3,4)，$\odot A$的半径为2，P为x轴上一动点，PB切$\odot A$于点B，则PB的最小值是________．

$2\sqrt{3}$

14 (2024 甘孜州)如图，AB为$\odot O$的弦，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，过点C作$CD// AB$，交OB的延长线于点D. 连接OA，OC.
（1）求证：CD是$\odot O$的切线；
（2）若$OA=3$，$BD=2$，求$△ OCD$的面积.

​$ (1)$​证明：设​$OC$​交​$AB$​于点​$E$​∵​$OC$​是​$\odot O$​的半径，​$C$​为​$\widehat {AB}$​的中点∴​$OC$​垂直平分​$AB$​∵​$CD//AB，$​∴​$∠OCD=∠OEB = 90°$​∵​$OC$​是​$\odot O$​的半径，且​$CD\perp OC$​∴​$CD$​是​$\odot O$​的切线​$ (2)$​解：∵​$OA = OC = OB = 3，$​​$BD = 2$​∴​$OD = OB + BD = 3 + 2 = 5$​∵​$∠OCD = 90°$​∴​$CD=\sqrt {OD^2-OC^2}=\sqrt {5^2-3^2} = 4$​∴​$S_{\triangle OCD}=\frac 12CD·OC=\frac 12×4×3 = 6$​∴​$\triangle OCD$​的面积是​$6$​

15 (1) 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,求作$\odot O$,使它经过边$AB$的中点,且与边$AC$,$AB$相切(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2) 若$\odot M$过点$B$,且与$AB$,$AC$两条边所在的直线相切,当$AC=6$,$BC=8$时,求$\odot M$的半径长.

; 解：​$(1)$​如图所示​$ (2)$​作​$∠BAC$​的平分线​$AP，$​过点​$B$​作​$MB\perp AB$​交​$AP $​于点​$M$​​$ $​以点​$M$​为圆心，​$MB$​为半径作​$\odot M，$​则​$\odot M$​即为所求​$ $​过点​$M$​作​$ME\perp AC$​交​$AC$​的延长线于点​$E，$​作​$MF\perp BC$​于点​$F$​∵​$MB$​为​$\odot M$​的半径，​$MB\perp AB，$​∴​$AB$​是​$\odot M$​的切线∵点​$M$​在​$∠BAC$​的平分线​$AP $​上，​$MB\perp AB，$​​$ME\perp AC$​∴​$ME = MB$​∴​$ME$​是​$\odot M$​的半径∴直线​$AC$​是​$\odot M$​的切线∴​$\odot M$​经过点​$B$​且与​$AB，$​​$AC$​两条边所在的直线相切​$ $​故​$\odot M$​即为所求​$ $​设​$\odot M$​的半径为​$R，$​则​$ME = MB = R$​​$ $​在​$Rt\triangle ABC$​中，​$AC = 6，$​​$BC = 8$​由勾股定理，得​$AB=\sqrt {AC^2+BC^2} = 10$​​$ $​在​$Rt\triangle ABM$​和​$Rt\triangle AEM$​中​$\begin {cases}ME = MB\\AM = AM\end {cases}$​∴​$Rt\triangle ABM≌ Rt\triangle AEM(\mathrm {HL})$​∴​$AE = AB = 10$​∴​$CE = AE - AC = 10 - 6 = 4$​∵​$ME\perp AC，$​​$MF\perp BC，$​​$∠ACB = 90°$​∴​$∠MEC=∠ECF=∠MF C = 90°$​∴四边形​$MECF $​是矩形∴​$MF = CE = 4，$​​$CF = ME = R$​∴​$BF = BC - CF = 8 - R$​​$ $​在​$Rt\triangle MBF $​中，由勾股定理，得​$BM^2=MF^2+BF^2$​∴​$R^2=4^2+(8 - R)^2$​​$ $​解得​$R = 5$​∴​$\odot M$​的半径为​$5$​ ;

16（2024 南京栖霞月考）如图，AB为$\odot O$的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），$OC=3$，点D在$\odot O$上且满足$AC=AD$，连接DC并延长到点E，使$BE=BD$．
（1）求证：BE是$\odot O$的切线；
（2）当$BE=6$时，求$\odot O$半径的长．

​$ (1)$​证明：∵​$AB$​为​$\odot O$​的直径，∴​$∠ADB = 90°$​∴​$∠BDE+∠ADC = 90°$​∵​$AC = AD，$​∴​$∠ACD=∠ADC$​∵​$∠ACD=∠ECB，$​∴​$∠ECB=∠ADC$​∵​$EB = DB，$​∴​$∠E=∠BDE，$​∴​$∠E+∠ECB = 90°$​∴​$∠EBC = 180°-(∠E+∠ECB)=90°$​∵​$OB$​是​$\odot O$​的半径，∴​$BE$​是​$\odot O$​的切线​$ (2)$​解：设​$\odot O$​的半径为​$r$​∵​$OC = 3，$​∴​$AC = AD = AO + OC = 3 + r$​∵​$BE = 6，$​∴​$BD = BE = 6$​​$ $​在​$Rt\triangle ABD$​中，​$BD^2+AD^2=AB^2$​​$ $​即​$36+(r + 3)^2=(2r)^2$​​$ $​解得​$r_{1}=5，$​​$r_{2}=-3($​负值舍去​$)$​∴​$\odot O$​半径的长为​$5$​