7 (2024 镇江)如图,将$△ ABC$沿过点 A 的直线翻折并展开,点 C 的对应点$C'$落在边 AB 上,折痕为 AD,点 O 在边 AB 上,$\odot O$经过点 A,D.若$∠ ACB=90°$,判断 BC 与$\odot O$的位置关系,并说明理由.

解：​$BC$​与​\0d0t O​相切，理由如下：连接​$OD$​∵​$OA = OD，$​∴​$∠OAD=∠ODA$​ 由折叠的性质，得​$∠CAD=∠OAD$​∴​$∠CAD=∠ODA，$​∴​$AC// OD$​∴​$∠ODB=∠ACB = 90°，$​∴​$OD\perp BC$​∵​$OD$​是​$\odot O$​的半径∴​$BC$​与​$\odot O$​相切 ;

8 (2024 南京秦淮期中)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，过点$C$作射线$CD$，使$∠ ACD=∠ ABC$. 求证：$CD$与$\odot O$相切.

证明：如图，延长​$CO$​交​$\odot O$​于点​$M，$​连接​$BM$​​$ $​则​$∠MBC = 90°，$​∴​$∠M+∠BCM = 90°$​∵​$∠A=∠M，$​∴​$∠A+∠BCM = 90°$​∵​$∠A+∠ABC+∠ACB = 180°，$​​$∠ACD+∠ACB+∠BCN = 180°，$​​$∠ACD=∠ABC$​∴​$∠A=∠BCN$​∴​$∠BCN+∠BCM = 90°，$​即​$∠OCN = 90°$​∴​$OC\perp CD$​∵​$OC$​是​$\odot O$​的半径∴​$CD$​与​$\odot O$​相切 ;

9 如图，AB是$\odot O$的弦，C是$\odot O$外一点，$OC ⊥ OA$，$CO$交$\odot O$于点D，交AB于点P，且$CP=CB$．
（1）判断直线BC与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
（2）若$∠ A=30°$，$OP=4$，求CB的长．

解：​$(1)BC$​与​$\odot O$​相切， 理由如下：如图，连接​$OB$​∵​$OA = OB，$​∴​$∠OAB=∠OBA$​∵​$CP = CB，$​∴​$∠CP B=∠CBP$​∵​$∠CP B=∠APO，$​∴​$∠CBP=∠APO$​​$ $​在​$Rt\triangle AOP $​中，∵​$∠A+∠APO = 90°$​∴​$∠OBA+∠CBP = 90°，$​即​$∠OBC = 90°$​∴​$OB\perp CB$​ 又∵​$OB$​是半径，∴​$CB$​与​$\odot O$​相切​$ (2)$​∵​$∠A = 30°，$​​$∠AOP = 90°，$​∴​$∠APO = 60°$​∵​$OA = OB，$​∴​$∠OBA=∠A = 30°$​∴​$∠BOP=∠APO-∠OBA = 30°=∠OBP$​∴​$OP = P B = 4$​∵​$∠BP D=∠APO = 60°，$​​$P C = CB$​∴​$\triangle P BC$​是等边三角形，∴​$BC = P B = 4$​ ;

10 如图,AB是$\odot O$的直径,DB,DE是$\odot O$的两条切线,切点分别为B,C.若$∠ACE=25°$,则$∠D$的度数为 （ ）
A. $50°$
B. $55°$
C. $60°$
D. $65°$

A

11 如图,在平面直角坐标系中,点$A(1,0)$,$P(-1,0)$,$\odot P$过坐标原点$O$,且与$x$轴交于另一点$D$,$AB$为$\odot P$的切线,$B$为切点,$BC$是$\odot P$的直径,则$∠ BCD$的度数为______.

$60^{\circ}$