1 下列关于三角形内心的说法中,正确的是 （ ）
A. 三角形的内心到三个顶点距离相等
B. 直角三角形的内心在斜边的高上
C. 三角形的内心与外心不可能重合
D. 三角形的内心一定在三角形内部

D

2（2024常熟月考）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB=125°，则∠AOB的度数为 （ ）
A. $120°$
B. $125°$
C. $135°$
D. $140°$

D

3（2024 盐城盐都月考）若直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，则该直角三角形内切圆的半径等于$\underline{\hspace{5em}}$．

1

4（2024常州天宁期中）如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，若$∠ A=80°$，则$∠ BOC$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$．

130°

5 如图，$△ ABC$的周长是18 cm，点O是$△ ABC$的内心，过点O作$EF// AB$，与AC，BC分别交于点E，F，已知$AB=6$ cm，则$△ CEF$的周长为________ cm.

12

6 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=40°$.
(1) 在图中,用尺规作出$△ ABC$的内切圆$O$,并标出$\odot O$与边$AB$,$BC$,$AC$的切点$D$,$E$,$F$(保留痕迹,不必写作法);
(2) 连接$EF$,$DF$,求$∠ EFD$的度数.

解：​$(1) $​如图，​$⊙O $​即为所作​$ (2) $​如图，连接​$ OD$​∵边​$ AB，$​​$BC $​与​$⊙O $​相切∴​$OD⊥AB，$​​$OE⊥BC，$​∴​$∠ODB = ∠OEB = 90°$​∴​$∠DOE = 180° - ∠ABC = 180° - 40° = 140°$​∴​$∠EF D = \frac 12∠DOE = 70°$​ ;

7 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,它与$AB$,$BC$,$CA$分别相切于点$D$,$E$,$F$.
(1) 求证:$BE=CE$;
(2) 若$∠ A=90°$,$AB=AC=2$,求$\odot O$的半径$r$.

​$ (1) $​证明：连接​$ OB，$​​$OC，$​​$OE$​∵​$⊙O $​是​$∆ABC $​的内切圆∴​$OB，$​​$OC $​分别平分​$∠ABC，$​​$∠ACB$​∴​$∠OBC = \frac 12∠ABC，$​​$∠OCB = \frac 12∠ACB$​∵​$AB = AC，$​∴​$∠ABC = ∠ACB$​∴​$∠OBC = ∠OCB，$​∴​$OB = OC$​ 又∵​$⊙O $​是​$∆ABC $​的内切圆，切点为​$ E$​∴​$OE⊥BC，$​∴​$BE = CE$​​$ (2) $​解：连接​$ OD，$​​$OF$​∵​$⊙O $​是​$∆ABC $​的内切圆，切点为​$ D，$​​$E，$​​$F$​∴​$∠ODA = ∠OF A = ∠A = 90°$​ 又∵​$OD = OF，$​∴四边形​$ ODAF $​是正方形∵​$OD = AD = AF = r$​∴​$BE = BD = CF = CE = 2 - r$​​$ $​在​$∆ABC $​中，​$∠A = 90°，$​∴​$BC = \sqrt {AB^2+AC^2} = 2\sqrt 2$​ 又∵​$BC = BE + CE，$​∴​$(2 - r)+(2 - r)=2\sqrt 2$​​$ $​解得​$ r = 2 - \sqrt 2$​∴​$⊙O $​的半径​$ r $​为​$ 2 - \sqrt 2$​ ;