8（2024镇江句容期中）如图，在一个边长为$ m $的正六边形纸板中截去一个边长为$ m $的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为 （ ）
A. $ 3:1 $
B. $ 4:1 $
C. $ 5:1 $
D. $ 6:1 $

C

9 (2024南京玄武一模)如图,在正六边形ABCDEF中,经过点E,F的$\odot O$与边AB,CD分别相切于点G,H,与边DE交于点M,连接GM,FH交于点N,则$∠ GNF$的度数为________.

$60^{\circ}$

10 如图，AB，AC分别为$\odot O$的内接正方形、内接正三角形的边，BC是圆内接正$n$边形的一边，则$n$的值为______．

12

11（易错题）如图，六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为$S_1$，$△ ACE$的面积为$S_2$，则$\dfrac{S_1}{S_2}=$______．

2

12 如图,正方形ABCD内接于$\odot O$,线段MN在对角线BD上运动,若$\odot O$的面积为$2π$,$MN=1$,求$△ AMN$周长的最小值.

; 解：连接​$AC$​∵​$\odot O$​的面积为​$2\pi ，$​∴​$\odot O$​的半径为​$\sqrt 2$​​$ $​则​$BD = 2\sqrt 2=AC$​ 由正方形的性质知，​$C$​是点​$A$​关于​$BD$​的对称点​$ $​过点​$C$​作​$CA'// BD，$​且使​$CA' = 1$​​$ $​连接​$AA'$​交​$BD$​于点​$N，$​取​$NM = 1$​​$ $​连接​$AM，$​​$CM，$​则​$M，$​​$N$​即为所求点∵​$A'C// MN，$​且​$A'C = MN$​∴四边形​$MCA'N$​为平行四边形∴​$A'N = CM = AM$​∴​$\triangle AMN$​的周长​$=AM + AN + MN=AA'+1$​最小∵​$A'A=\sqrt {(2\sqrt 2)^2+1^2} = 3$​∴​$\triangle AMN$​周长的最小值为​$3 + 1 = 4$​

13 如图,中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t s.
(1) 求证:四边形PBQE为平行四边形;
(2) 当四边形PBQE为矩形时,求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.

​$(1)$​证明：∵六边形​$ABCDEF $​是正六边形∴​$AB = BC = CD = DE = EF = F A，$​​$∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F$​∵点​$P，$​​$Q $​同时分别从​$A，$​​$D$​两点出发，以​$1\ \mathrm {cm}/s $​的速度沿​$AF，$​​$DC$​向终点​$F，$​​$C$​运动∴​$AP = DQ = t，$​​$PF = Q C = 6 - t$​在​$\triangle ABP $​和​$\triangle DEQ $​中​$\begin {cases}AB = DE\\∠A=∠D\\AP = DQ\end {cases}$​∴​$\triangle ABP≌\triangle DEQ(S AS)$​∴​$BP = EQ，$​同理可证​$PE = Q B$​∴四边形​$P BQE$​为平行四边形​$(2)$​解：连接​$BE，$​​$OA$​∵​$∠AOB=\frac {360°}6=60°，$​​$OA = OB$​∴​$\triangle AOB$​是等边三角形∴​$AB = OA = 6\ \mathrm {cm}，$​​$BE = 2OB = 12\ \mathrm {cm}$​当​$t = 0$​时，点​$P $​与点​$A$​重合，点​$Q $​与点​$D$​重合，四边形​$P BQE$​即为四边形​$ABDE，$​如图​$1，$​则​$∠EAF=∠AEF = 30°$​∴​$∠BAE=120°-30°=90°$​∴四边形​$ABDE$​是矩形，即四边形​$P BQE$​是矩形又​$AE=\sqrt {12^2-6^2} = 6\sqrt 3(\mathrm {cm})$​∴​$S_{矩形P BQE}=S_{矩形ABDE}=AB·AE=6×6\sqrt 3=36\sqrt 3(\mathrm {cm}^2)$​当​$t = 6$​时，点​$P $​与点​$F $​重合，点​$Q $​与点​$C$​重合，四边形​$P BQE$​即为四边形​$F BCE，$​如图​$2$​
同理可知​$∠BFE = 90°，$​此时四边形​$P BQE$​是矩形综上，当​$t = 0$​或​$t = 6$​时，四边形​$P BQE$​是矩形，且矩形​$P BQE$​的面积为​$36\sqrt 3\ \mathrm {cm}^2$​∵正六边形​$ABCDEF $​的面积​$=6S_{\triangle AOB}=6×\frac 14S_{矩形ABDE}=6×\frac 14×36\sqrt 3=54\sqrt 3(\mathrm {cm}^2)$​∴当四边形​$P BQE$​为矩形时，矩形​$P BQE$​的面积与正六边形​$ABCDEF $​的面积之比为​$2∶3$​