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问题1 三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角有怎样的关系？这个结论能由三角形的内角和定理得出吗？
问题2 说一说推论的意义及你对它的理解。
问题1 三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角有怎样的关系？这个结论能由三角形的内角和定理得出吗？
问题2 说一说推论的意义及你对它的理解。
答案
解：
问题1
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且这个外角大于任意一个与它不相邻的内角。
这个结论可以由三角形内角和定理得出，推导过程如下：
在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角，和它相邻的内角为∠ACB，不相邻的两个内角为∠A、∠B。
根据邻补角的定义可得：$∠ ACD + ∠ ACB = 180°$，
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
对比两个等式可推出$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$，由此进一步可得$∠ ACD ＞ ∠ A$，$∠ ACD ＞ ∠ B$。
问题2
该推论是三角形内角和定理的直接延伸，它的意义是直接建立了三角形外角和不相邻内角的数量关系，为角度计算、角的相等关系/大小比较的证明提供了更直接的推理依据，简化了相关几何问题的推导步骤。
对该推论的理解：
1. 推论的适用要求是两个内角必须和指定外角不相邻，外角和它本身相邻的内角是互补关系，不满足该推论的等量关系；
2. 推论包含两层作用：一是利用“外角等于两个不相邻内角的和”进行角度的等量代换、求和计算；二是利用“外角大于任意一个不相邻的内角”推导角的不等关系，是初中几何比较角大小的常用依据。
问题1
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且这个外角大于任意一个与它不相邻的内角。
这个结论可以由三角形内角和定理得出，推导过程如下：
在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角，和它相邻的内角为∠ACB，不相邻的两个内角为∠A、∠B。
根据邻补角的定义可得：$∠ ACD + ∠ ACB = 180°$，
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
对比两个等式可推出$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$，由此进一步可得$∠ ACD ＞ ∠ A$，$∠ ACD ＞ ∠ B$。
问题2
该推论是三角形内角和定理的直接延伸，它的意义是直接建立了三角形外角和不相邻内角的数量关系，为角度计算、角的相等关系/大小比较的证明提供了更直接的推理依据，简化了相关几何问题的推导步骤。
对该推论的理解：
1. 推论的适用要求是两个内角必须和指定外角不相邻，外角和它本身相邻的内角是互补关系，不满足该推论的等量关系；
2. 推论包含两层作用：一是利用“外角等于两个不相邻内角的和”进行角度的等量代换、求和计算；二是利用“外角大于任意一个不相邻的内角”推导角的不等关系，是初中几何比较角大小的常用依据。
解析
【分析】
针对问题1，可先结合邻补角的性质得到三角形外角与其相邻内角的和为180°，再结合三角形内角和为180°的定理，消去公共的相邻内角，即可推导得到外角和两个不相邻内角的关系；针对问题2，需先明确推论是由已证定理直接推导得到的结论，再从适用条件、实际应用两个角度梳理对推论的意义与内涵的理解即可。
【解析】
问题1解答
三角形的一个外角与不相邻两个内角的关系为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且该外角大于任意一个与它不相邻的内角。
这个结论可由三角形内角和定理推导得出，推导过程：
设在$△ ABC$中，$∠ ACD$是$△ ABC$的一个外角，与$∠ ACD$相邻的内角为$∠ ACB$，和它不相邻的两个内角为$∠ A$、$∠ B$。
1. 由邻补角定义得：$∠ ACD + ∠ ACB = 180°$；
2. 由三角形内角和定理得：$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$；
3. 联立两式消去$∠ ACB$，得$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$；
4. 由$∠ A$、$∠ B$均为正角度，可进一步推得$∠ ACD ＞ ∠ A$，$∠ ACD ＞ ∠ B$。
问题2解答
推论的意义
该推论是三角形内角和定理的直接延伸，直接建立了三角形外角和不相邻内角的数量关系，为角度计算、角的相等关系/大小比较的证明提供了更直接的推理依据，简化了相关几何问题的推导步骤。
对推论的理解
1. 适用要求：推论中的两个内角必须和指定外角不相邻，外角和它本身相邻的内角是互补关系，不满足该推论的等量关系；
2. 作用分为两层：一是利用“外角等于两个不相邻内角的和”进行角度的等量代换、求和计算；二是利用“外角大于任意一个不相邻的内角”推导角的不等关系，是几何中比较角大小的常用依据。
【答案】
问题1
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且这个外角大于任意一个与它不相邻的内角。
这个结论可以由三角形内角和定理得出，推导过程如下：
在$△ ABC$中，$∠ ACD$是$△ ABC$的一个外角，和它相邻的内角为$∠ ACB$，不相邻的两个内角为$∠ A$、$∠ B$。
根据邻补角的定义可得：$∠ ACD + ∠ ACB = 180°$，
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
对比两个等式可推出$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$，由此进一步可得$∠ ACD ＞ ∠ A$，$∠ ACD ＞ ∠ B$。
问题2
该推论是三角形内角和定理的直接延伸，它的意义是直接建立了三角形外角和不相邻内角的数量关系，为角度计算、角的相等关系/大小比较的证明提供了更直接的推理依据，简化了相关几何问题的推导步骤。
对该推论的理解：
1. 推论的适用要求是两个内角必须和指定外角不相邻，外角和它本身相邻的内角是互补关系，不满足该推论的等量关系；
2. 推论包含两层作用：一是利用“外角等于两个不相邻内角的和”进行角度的等量代换、求和计算；二是利用“外角大于任意一个不相邻的内角”推导角的不等关系，是初中几何比较角大小的常用依据。
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；几何推论应用
【点评】
本题属于三角形外角相关的基础概念题，重点考查对性质推导过程的理解以及推论适用场景、使用条件的掌握，是后续解决角度计算、角的大小比较类几何问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
针对问题1，可先结合邻补角的性质得到三角形外角与其相邻内角的和为180°，再结合三角形内角和为180°的定理，消去公共的相邻内角，即可推导得到外角和两个不相邻内角的关系；针对问题2，需先明确推论是由已证定理直接推导得到的结论，再从适用条件、实际应用两个角度梳理对推论的意义与内涵的理解即可。
【解析】
问题1解答
三角形的一个外角与不相邻两个内角的关系为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且该外角大于任意一个与它不相邻的内角。
这个结论可由三角形内角和定理推导得出，推导过程：
设在$△ ABC$中，$∠ ACD$是$△ ABC$的一个外角，与$∠ ACD$相邻的内角为$∠ ACB$，和它不相邻的两个内角为$∠ A$、$∠ B$。
1. 由邻补角定义得：$∠ ACD + ∠ ACB = 180°$；
2. 由三角形内角和定理得：$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$；
3. 联立两式消去$∠ ACB$，得$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$；
4. 由$∠ A$、$∠ B$均为正角度，可进一步推得$∠ ACD ＞ ∠ A$，$∠ ACD ＞ ∠ B$。
问题2解答
推论的意义
该推论是三角形内角和定理的直接延伸，直接建立了三角形外角和不相邻内角的数量关系，为角度计算、角的相等关系/大小比较的证明提供了更直接的推理依据，简化了相关几何问题的推导步骤。
对推论的理解
1. 适用要求：推论中的两个内角必须和指定外角不相邻，外角和它本身相邻的内角是互补关系，不满足该推论的等量关系；
2. 作用分为两层：一是利用“外角等于两个不相邻内角的和”进行角度的等量代换、求和计算；二是利用“外角大于任意一个不相邻的内角”推导角的不等关系，是几何中比较角大小的常用依据。
【答案】
问题1
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且这个外角大于任意一个与它不相邻的内角。
这个结论可以由三角形内角和定理得出，推导过程如下：
在$△ ABC$中，$∠ ACD$是$△ ABC$的一个外角，和它相邻的内角为$∠ ACB$，不相邻的两个内角为$∠ A$、$∠ B$。
根据邻补角的定义可得：$∠ ACD + ∠ ACB = 180°$，
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，
对比两个等式可推出$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$，由此进一步可得$∠ ACD ＞ ∠ A$，$∠ ACD ＞ ∠ B$。
问题2
该推论是三角形内角和定理的直接延伸，它的意义是直接建立了三角形外角和不相邻内角的数量关系，为角度计算、角的相等关系/大小比较的证明提供了更直接的推理依据，简化了相关几何问题的推导步骤。
对该推论的理解：
1. 推论的适用要求是两个内角必须和指定外角不相邻，外角和它本身相邻的内角是互补关系，不满足该推论的等量关系；
2. 推论包含两层作用：一是利用“外角等于两个不相邻内角的和”进行角度的等量代换、求和计算；二是利用“外角大于任意一个不相邻的内角”推导角的不等关系，是初中几何比较角大小的常用依据。
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；几何推论应用
【点评】
本题属于三角形外角相关的基础概念题，重点考查对性质推导过程的理解以及推论适用场景、使用条件的掌握，是后续解决角度计算、角的大小比较类几何问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题 1】如图，$△ ABC$ 的外角是（）
A. $∠ 1$
B. $∠ 2$
C. $∠ 3$
D. $∠ 4$
【答案】C
规律方法 三角形外角的识别：
(1)三角形的外角是由三角形的一边与另一边的延长线组成的；(2)三角形的一个内角的对顶角不是这个三角形的外角；(3)三角形的一个外角和与其相邻的内角互为邻补角。
A. $∠ 1$
B. $∠ 2$
C. $∠ 3$
D. $∠ 4$
【答案】C
规律方法 三角形外角的识别：
(1)三角形的外角是由三角形的一边与另一边的延长线组成的；(2)三角形的一个内角的对顶角不是这个三角形的外角；(3)三角形的一个外角和与其相邻的内角互为邻补角。
答案
解：根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
∠1是△ABC顶点A处内角的对顶角，不是△ABC的外角；
∠2的两边均不属于△ABC的边或边的延长线，不是△ABC的外角；
∠3由△ABC的边AB和边CB的延长线组成，符合三角形外角的定义，是△ABC的外角；
∠4的两边中不存在△ABC以点C为顶点的另一边，不是△ABC的外角。
综上，答案选C。
∠1是△ABC顶点A处内角的对顶角，不是△ABC的外角；
∠2的两边均不属于△ABC的边或边的延长线，不是△ABC的外角；
∠3由△ABC的边AB和边CB的延长线组成，符合三角形外角的定义，是△ABC的外角；
∠4的两边中不存在△ABC以点C为顶点的另一边，不是△ABC的外角。
综上，答案选C。
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，判定需满足三个特征：顶点是三角形的一个顶点，一条边是三角形的边，另一条边是三角形某条边的延长线。接下来按照这个判定标准，逐个判断四个选项中的角是否符合要求，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
∠1是△ABC顶点A处内角的对顶角，不满足外角的定义，不是△ABC的外角；
∠2的两边均不属于△ABC的边或边的延长线，不满足外角的定义，不是△ABC的外角；
∠3由△ABC的边AB和边CB的延长线组成，符合三角形外角的定义，是△ABC的外角；
∠4的两边中不存在△ABC以点C为顶点的另一边的延长线，不满足外角的定义，不是△ABC的外角。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确掌握三角形外角的定义，做题时逐一比对定义特征即可快速排除错误选项，要注意区分对顶角、普通邻角和三角形外角的差异。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，判定需满足三个特征：顶点是三角形的一个顶点，一条边是三角形的边，另一条边是三角形某条边的延长线。接下来按照这个判定标准，逐个判断四个选项中的角是否符合要求，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
∠1是△ABC顶点A处内角的对顶角，不满足外角的定义，不是△ABC的外角；
∠2的两边均不属于△ABC的边或边的延长线，不满足外角的定义，不是△ABC的外角；
∠3由△ABC的边AB和边CB的延长线组成，符合三角形外角的定义，是△ABC的外角；
∠4的两边中不存在△ABC以点C为顶点的另一边的延长线，不满足外角的定义，不是△ABC的外角。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确掌握三角形外角的定义，做题时逐一比对定义特征即可快速排除错误选项，要注意区分对顶角、普通邻角和三角形外角的差异。
【难度系数】
0.8
【即学即练】
1. 如图，请写出△ABC的两个外角：
1. 如图，请写出△ABC的两个外角：
∠FAB
，∠ACD
。答案
1. ∠FAB ∠ACD ∠BCE(写出任意两个即可)
解析
【分析】
要找出△ABC的外角，首先要明确三角形外角的判定特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的边；③另一条边是三角形某条边的延长线。我们对照特征逐个分析图中的角：顶点A处的∠FAB，顶点是△ABC的顶点A，一边是△ABC的边AB，另一边AF是△ABC边CA的延长线，符合外角特征；顶点C处的∠ACD，顶点是△ABC的顶点C，一边是△ABC的边AC，另一边CD是△ABC边BC的延长线，符合外角特征；顶点C处的∠BCE，顶点是△ABC的顶点C，一边是△ABC的边BC，另一边CE是△ABC边AC的延长线，也符合外角特征，任选两个即可。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
观察图形可知：
1. ∠FAB是△ABC的边AB和边CA的延长线AF组成的角，是△ABC的外角；
2. ∠ACD是△ABC的边AC和边BC的延长线CD组成的角，是△ABC的外角；
3. ∠BCE是△ABC的边BC和边AC的延长线CE组成的角，是△ABC的外角。
任选其中两个填写即可。
【答案】
∠FAB；∠ACD（答案不唯一，∠BCE也可）
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查三角形外角的识别，只要牢记三角形外角的三个特征，就能快速准确作答，注意不要和内角、邻补角等概念混淆。
【难度系数】
0.9
要找出△ABC的外角，首先要明确三角形外角的判定特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的边；③另一条边是三角形某条边的延长线。我们对照特征逐个分析图中的角：顶点A处的∠FAB，顶点是△ABC的顶点A，一边是△ABC的边AB，另一边AF是△ABC边CA的延长线，符合外角特征；顶点C处的∠ACD，顶点是△ABC的顶点C，一边是△ABC的边AC，另一边CD是△ABC边BC的延长线，符合外角特征；顶点C处的∠BCE，顶点是△ABC的顶点C，一边是△ABC的边BC，另一边CE是△ABC边AC的延长线，也符合外角特征，任选两个即可。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
观察图形可知：
1. ∠FAB是△ABC的边AB和边CA的延长线AF组成的角，是△ABC的外角；
2. ∠ACD是△ABC的边AC和边BC的延长线CD组成的角，是△ABC的外角；
3. ∠BCE是△ABC的边BC和边AC的延长线CE组成的角，是△ABC的外角。
任选其中两个填写即可。
【答案】
∠FAB；∠ACD（答案不唯一，∠BCE也可）
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查三角形外角的识别，只要牢记三角形外角的三个特征，就能快速准确作答，注意不要和内角、邻补角等概念混淆。
【难度系数】
0.9
【典型例题2】如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,CD是△ABC的外角∠ACE的平分线.若∠A=80°,求∠D的度数.
【解】因为BD是∠ABC的平分线,
所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
因为CD是∠ACE的平分线,
所以∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE.
因为∠DCE是△BDC的外角,∠ACE是△ABC的外角,
所以∠D=∠DCE−∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ACE−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠ACE−∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
【解】因为BD是∠ABC的平分线,
所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
因为CD是∠ACE的平分线,
所以∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE.
因为∠DCE是△BDC的外角,∠ACE是△ABC的外角,
所以∠D=∠DCE−∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ACE−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠ACE−∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
答案
解：
因为BD是∠ABC的平分线，
所以$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
因为CD是$△ ABC$的外角$∠ ACE$的平分线，
所以$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE$。
因为$∠ DCE$是$△ BDC$的外角，$∠ ACE$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ DCE = ∠ D + ∠ DBC$，$∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$，
所以$∠ D = ∠ DCE - ∠ DBC$
$=\frac{1}{2}∠ ACE - \frac{1}{2}∠ ABC$
$=\frac{1}{2}(∠ ACE - ∠ ABC)$
$=\frac{1}{2}∠ A$
$=\frac{1}{2}×80°=40°$。
因为BD是∠ABC的平分线，
所以$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
因为CD是$△ ABC$的外角$∠ ACE$的平分线，
所以$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE$。
因为$∠ DCE$是$△ BDC$的外角，$∠ ACE$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ DCE = ∠ D + ∠ DBC$，$∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$，
所以$∠ D = ∠ DCE - ∠ DBC$
$=\frac{1}{2}∠ ACE - \frac{1}{2}∠ ABC$
$=\frac{1}{2}(∠ ACE - ∠ ABC)$
$=\frac{1}{2}∠ A$
$=\frac{1}{2}×80°=40°$。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：BD是∠ABC的平分线，CD是△ABC外角∠ACE的平分线，已知∠A=80°求∠D的度数。第一步根据角平分线的定义，将∠DBC、∠DCE分别用∠ABC、∠ACE表示；第二步结合三角形外角的性质，分别写出△BDC的外角∠DCE、△ABC的外角∠ACE与对应内角的等量关系；第三步将两个外角的关系式作差，代入角平分线的表达式，即可推导出∠D和∠A的数量关系，最后代入∠A的度数计算即可得到结果。
【解析】
因为BD是∠ABC的平分线，
所以$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
因为CD是$△ ABC$的外角$∠ ACE$的平分线，
所以$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE$。
因为$∠ DCE$是$△ BDC$的外角，$∠ ACE$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ DCE = ∠ D + ∠ DBC$，$∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$，
所以$∠ D = ∠ DCE - ∠ DBC$
$=\frac{1}{2}∠ ACE - \frac{1}{2}∠ ABC$
$=\frac{1}{2}(∠ ACE - ∠ ABC)$
$=\frac{1}{2}∠ A$
$=\frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角平分线与外角性质的典型综合题，解题核心是利用外角性质建立待求角和已知角的关联，推导得出的“三角形一个内角平分线与一个外角平分线的夹角等于第三个内角度数的一半”这一结论，可作为同类题型的快速解题依据。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：BD是∠ABC的平分线，CD是△ABC外角∠ACE的平分线，已知∠A=80°求∠D的度数。第一步根据角平分线的定义，将∠DBC、∠DCE分别用∠ABC、∠ACE表示；第二步结合三角形外角的性质，分别写出△BDC的外角∠DCE、△ABC的外角∠ACE与对应内角的等量关系；第三步将两个外角的关系式作差，代入角平分线的表达式，即可推导出∠D和∠A的数量关系，最后代入∠A的度数计算即可得到结果。
【解析】
因为BD是∠ABC的平分线，
所以$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
因为CD是$△ ABC$的外角$∠ ACE$的平分线，
所以$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE$。
因为$∠ DCE$是$△ BDC$的外角，$∠ ACE$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ DCE = ∠ D + ∠ DBC$，$∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$，
所以$∠ D = ∠ DCE - ∠ DBC$
$=\frac{1}{2}∠ ACE - \frac{1}{2}∠ ABC$
$=\frac{1}{2}(∠ ACE - ∠ ABC)$
$=\frac{1}{2}∠ A$
$=\frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角平分线与外角性质的典型综合题，解题核心是利用外角性质建立待求角和已知角的关联，推导得出的“三角形一个内角平分线与一个外角平分线的夹角等于第三个内角度数的一半”这一结论，可作为同类题型的快速解题依据。
【难度系数】
0.7
