4. (2024·四川凉山州中考) 如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数为。

4. 100° 【解析】因为CD是边AB上的高，所以∠CDB=∠CDA=90°. 因为∠BCD=30°,∠ACB=80°,所以∠ACD=∠ACB−∠BCD=50°,∠CBD=90°−∠BCD=60°,所以∠CAB=90°−∠ACD=40°. 因为AE是∠CAB的平分线，所以$∠ EAB=\frac{1}{2}∠ CAB=20°$，所以∠AEB=180°−∠EAB−∠EBA=100°.

【分析】
解题时先从已知条件CD是AB边上的高入手，可得两个直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，先求出∠B和∠CAB的度数；再结合AE是角平分线的条件，算出∠EAB的度数；最后在△AEB中利用三角形内角和定理即可求出∠AEB的度数。
【解析】
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠CDB=∠CDA=90°。
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴ ∠CBD=90°−∠BCD=90°−30°=60°。
∵ ∠ACB=80°，
∴ ∠ACD=∠ACB−∠BCD=80°−30°=50°。
在Rt△ACD中，
∴ ∠CAB=90°−∠ACD=90°−50°=40°。
∵ AE是∠CAB的平分线，
∴ ∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
在△AEB中，根据三角形内角和为180°，
∴ ∠AEB=180°−∠EAB−∠EBA=180°−20°−60°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将直角三角形性质、角平分线定义和三角形内角和定理结合考查，解题时需要逐步推导各未知角的度数，理清角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,AE平分$∠ BAC$交$BC$于点$E$,过点$E$作$EF ⊥ AC$,垂足为$F$.若$∠ DAE=10°$,$∠ AEF=50°$,求$∠ B$,$∠ C$的度数.

5.【解】因为AD⊥BC,∠DAE=10°,所以∠AED=90°−∠DAE=80°. 因为∠AEF=50°,所以∠FEC=180°−∠AEF−∠AED=50°.
因为EF⊥AC,所以∠EAF=90°−∠AEF=40°,∠C=90°−∠FEC=40°.
因为AE平分∠BAC,所以∠BAC=2∠EAC=80°,所以∠B = 180°−∠BAC−∠C = 180°−80°−40°=60°.

【分析】
解题时首先结合AD⊥BC的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余求出∠AED的度数；再根据平角为180°的性质，结合已知∠AEF的度数算出∠FEC的度数；接下来利用EF⊥AC的垂直关系，分别在两个直角三角形中求出∠EAF和∠C的度数；然后根据AE是角平分线的条件，求出∠BAC的总度数；最后利用三角形内角和为180°即可算出∠B的度数，整个过程顺着已知条件逐步推导角的数量关系即可。
【解析】
因为AD⊥BC，∠DAE=10°，所以∠AED=90°−∠DAE=80°。
因为∠AEF=50°，所以∠FEC=180°−∠AEF−∠AED=180°−50°−80°=50°。
因为EF⊥AC，所以在Rt△AEF中，∠EAF=90°−∠AEF=90°−50°=40°；在Rt△EFC中，∠C=90°−∠FEC=90°−50°=40°。
因为AE平分∠BAC，所以∠BAC=2∠EAC=2×40°=80°。
根据三角形内角和定理，∠B = 180°−∠BAC−∠C = 180°−80°−40°=60°。
【答案】
∠B=60°，∠C=40°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题核心是梳理清楚各个角之间的和差、互余关系，要注意垂直、角平分线、平角这些条件隐含的角度信息，按逻辑顺序推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

6. 在$△ ABC$中，AD为边BC上的高，$∠ ABC = 30°$，$∠ CAD = 20°$，则$∠ BAC$的度数为________。

6. 80°或40° 【解析】当△ABC为锐角三角形时,如图①,,∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°;
当△ABC为钝角三角形时,如图②,,∠BAD=90°−∠ABC = 90° − 30° = 60°, ∠BAC = ∠BAD−∠CAD=60°−20°=40°.
综上所述,∠BAC=80°或40°.

【分析】
首先，AD是△ABC中BC边上的高，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用直角三角形两锐角互余可先求出∠BAD的度数。由于题目未明确△ABC的形状，高AD的位置有两种可能：①当△ABC为锐角三角形时，AD在三角形内部，此时∠BAC是∠BAD与∠CAD的和；②当△ABC为钝角三角形时，AD在三角形外部，此时∠BAC是∠BAD与∠CAD的差，分两种情况计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时，如图①：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
又
∵∠CAD=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°；
2. 当△ABC为钝角三角形时，如图②：
同理可得∠BAD=90°-∠ABC=60°，
此时∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°。
综上所述，∠BAC的度数为80°或40°。
【答案】
80°或40°
【知识点】
直角三角形两锐角互余，三角形高的定义，分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略三角形的高可能在三角形内部或外部两种情况，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时需注意结合图形分情况讨论。
【难度系数】
0.6

7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=∠ BCD,CD⊥ AB$于点$D,BE$平分$∠ ABC$分别交$CD$,$CA$于点$F,E$. 求证:
(1)$△ ABC$是直角三角形;
(2)$∠ CEF=∠ CFE$.

7.【证明】(1) 因为CD⊥AB,所以∠ADC=90°,所以∠A + ∠ACD = 90°. 因为∠A = ∠BCD,所以∠BCD + ∠ACD = 90°, 即∠ACB = 90°, 所以△ABC是直角三角形.
(2) 因为BE平分∠ABC,所以∠ABE = ∠CBE. 因为∠CFE = ∠BFD = 90°−∠DBF,∠CEB=90°−∠CBE,所以∠CEF=∠CFE.

【分析】
(1) 要证明△ABC是直角三角形，只需证明∠ACB=90°即可。已知CD⊥AB，可得△ADC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余得∠A+∠ACD=90°，结合已知∠A=∠BCD，将∠A替换为∠BCD，即可推出∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，完成第一问证明。
(2) 要证明∠CEF=∠CFE，可通过证明两个角与相等的角互余推导。首先根据角平分线定义得∠ABE=∠CBE；再结合直角三角形两锐角互余的性质，可得∠CEF与∠CBE互余，∠BFD与∠ABE互余，因此∠CEF=∠BFD；最后根据∠CFE和∠BFD是对顶角、二者相等，通过等量代换即可得到∠CEF=∠CFE。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°。
又
∵ ∠A = ∠BCD，
∴ ∠BCD + ∠ACD = 90°，即∠ACB = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
(2) 证明：
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ ∠CFE与∠BFD是对顶角，
∴ ∠CFE = ∠BFD。
在Rt△BDF中，∠BFD = 90°−∠ABE，
在Rt△BCE中，∠CEF=90°−∠CBE，
∴ ∠CEF=∠CFE。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形；
(2) ∠CEF=∠CFE。
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查直角三角形、角平分线、对顶角的相关性质，解题核心是理清角与角之间的数量关系，通过等量代换完成推导，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,∠B=40°,∠C=70°,F为射线AE上一点(不与点E重合),且FD⊥BC于点D.

(1)若点F与点A重合,如图1,求∠EFD的度数;
(2)若点F在线段AE上(不与点A重合),如图2,求∠EFD的度数;
(3)若点F在△ABC外部,如图3,求∠EFD的度数;
(4)直接写出∠EFD与∠B,∠C(∠C＞∠B)的数量关系.

8.【解】(1) 因为∠B=40°,∠C=70°,FD⊥BC,所以∠BAC=180°−40°−70°=70°,∠CAD=90°−70°=20°. 因为AE平分∠BAC,所以∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC=35°,所以∠EFD=∠CAE−∠CAD=35°−20°=15°.
(2) 因为∠EAC = 35°, ∠C = 70°, 所以∠AEC = 180°−70°−35° = 75°, 所以∠EFD = 90°−75°=15°.
(3) 因为∠DEF=∠AEC=75°,所以∠EFD=90°−75°=15°.
(4) $∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)$.

【分析】
解决这道题可按以下思路逐步推导：
1. 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再结合角平分线的定义得到∠CAE的度数，这是所有小问的计算基础。
2. 第(1)问：F与A重合时，FD⊥BC，先在Rt△ADC中求出∠CAD的度数，再用∠CAE减去∠CAD即可得到∠EFD的度数。
3. 第(2)问：F在线段AE上时，先在△AEC中求出∠AEC的度数，再在Rt△EFD中利用直角三角形两锐角互余，用90°减去∠AEC即可得到结果。
4. 第(3)问：F在△ABC外时，利用对顶角相等得到∠DEF=∠AEC，同样在Rt△EFD中用直角三角形两锐角互余计算即可。
5. 第(4)问：把前三问的具体角度替换为∠B、∠C，进行一般化推导就能得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 已知∠B=40°，∠C=70°，根据三角形内角和为180°，可得$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-70°=70°$。
因为AE平分∠BAC，所以$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
又因为FD⊥BC，所以∠ADC=90°，在Rt△ADC中，$∠ CAD=90°-∠ C=90°-70°=20°$。
因此$∠ EFD=∠ CAE-∠ CAD=35°-20°=15°$。
(2) 由(1)可知∠EAC=35°，在△AEC中，根据三角形内角和为180°，可得$∠ AEC=180°-∠ C-∠ EAC=180°-70°-35°=75°$。
因为FD⊥BC，所以∠EDF=90°，在Rt△EDF中，$∠ EFD=90°-∠ AEC=90°-75°=15°$。
(3) 由对顶角相等可得$∠ DEF=∠ AEC=75°$，因为FD⊥BC，所以∠EDF=90°，在Rt△EDF中，$∠ EFD=90°-∠ DEF=90°-75°=15°$。
(4) 推导一般关系：$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$，因为AE平分∠BAC，所以$∠ CAE=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)$。
在△AEC中，$∠ AEC=180°-∠ C-∠ CAE=180°-∠ C-\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°+\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$。
在Rt△EDF中，$∠ EFD=90°-∠ AEC=90°-(90°+\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C)=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
【答案】
(1) $15°$；(2) $15°$；(3) $15°$；(4) $\boldsymbol{∠EFD=\frac{1}{2}(∠C-∠B)}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题型，核心是通过角的转化推导所求角度，无论点F在射线AE上的哪个位置，推导逻辑本质一致，解题时要注意结合图形找角之间的和差、相等关系，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7