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【典型例题 2】在$△ ABC$中,有下列条件:①$∠ A:∠ B:∠ C = 1:2:3$;②$∠ A=∠ B=2∠ C$;③$∠ A+∠ B=∠ C$;④$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$.其中,能确定$△ ABC$为直角三角形的条件个数是（）
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】①根据这个三角形的三个内角的度数之比可知较小两角之和为$90°$,可判断$△ ABC$是直角三角形;②由题意可得$∠ A=∠ B=72°,∠ C=36°,△ ABC$不是直角三角形;③$∠ A$与$∠ B$互余,$∠ C$为$90°,△ ABC$是直角三角形;④由条件得$∠ C=3∠ A,∠ B=2∠ A$,从而$6∠ A=180°$,则$∠ C=3∠ A=90°,△ ABC$是一个直角三角形.
【答案】B
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】①根据这个三角形的三个内角的度数之比可知较小两角之和为$90°$,可判断$△ ABC$是直角三角形;②由题意可得$∠ A=∠ B=72°,∠ C=36°,△ ABC$不是直角三角形;③$∠ A$与$∠ B$互余,$∠ C$为$90°,△ ABC$是直角三角形;④由条件得$∠ C=3∠ A,∠ B=2∠ A$,从而$6∠ A=180°$,则$∠ C=3∠ A=90°,△ ABC$是一个直角三角形.
【答案】B
答案
B
解析
【分析】
要判断给出的条件能否确定△ABC为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，只需验证每个条件下三个内角中是否存在90°的角即可。解题时可对四个条件逐个分析，根据角的数量关系设未知数，结合内角和定理列方程求解各角的度数，进而判断是否为直角三角形。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐个分析条件：
①设∠A=x，由∠A:∠B:∠C=1:2:3得∠B=2x，∠C=3x，列方程：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠C=3×30°=90°$，可确定△ABC是直角三角形；
②设∠C=x，由∠A=∠B=2∠C得∠A=∠B=2x，列方程：$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$，则$∠A=∠B=72°$，$∠C=36°$，无90°角，不能确定△ABC是直角三角形；
③将$∠A+∠B=∠C$代入内角和公式$∠A+∠B+∠C=180°$，得$2∠C=180°$，解得$∠C=90°$，可确定△ABC是直角三角形；
④设∠A=x，由$∠A=\frac{1}{2}∠B=\frac{1}{3}∠C$得$∠B=2x$，$∠C=3x$，列方程：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠C=3×30°=90°$，可确定△ABC是直角三角形。
综上，能确定△ABC为直角三角形的条件有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形内角和定理的运用和直角三角形的判定能力，解题时通过设未知数将角的关系转化为方程求解的方法，是处理三角形角度计算问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要判断给出的条件能否确定△ABC为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，只需验证每个条件下三个内角中是否存在90°的角即可。解题时可对四个条件逐个分析，根据角的数量关系设未知数，结合内角和定理列方程求解各角的度数，进而判断是否为直角三角形。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐个分析条件：
①设∠A=x，由∠A:∠B:∠C=1:2:3得∠B=2x，∠C=3x，列方程：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠C=3×30°=90°$，可确定△ABC是直角三角形；
②设∠C=x，由∠A=∠B=2∠C得∠A=∠B=2x，列方程：$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$，则$∠A=∠B=72°$，$∠C=36°$，无90°角，不能确定△ABC是直角三角形；
③将$∠A+∠B=∠C$代入内角和公式$∠A+∠B+∠C=180°$，得$2∠C=180°$，解得$∠C=90°$，可确定△ABC是直角三角形；
④设∠A=x，由$∠A=\frac{1}{2}∠B=\frac{1}{3}∠C$得$∠B=2x$，$∠C=3x$，列方程：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠C=3×30°=90°$，可确定△ABC是直角三角形。
综上，能确定△ABC为直角三角形的条件有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形内角和定理的运用和直角三角形的判定能力，解题时通过设未知数将角的关系转化为方程求解的方法，是处理三角形角度计算问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
2.如图，$CD// AB$，$∠ A=35°$，$∠ DCB=55°$，则$△ ABC$的形状为（
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
C
）A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
答案
2. C 【解析】因为CD//AB，所以∠B=∠DCB=55°，所以∠A+∠B=35°+55°=90°，所以△ABC的形状为直角三角形.
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：CD平行AB，∠A=35°，∠DCB=55°，目标是判断△ABC的形状。第一步，根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，可得到∠B与∠DCB相等，从而求出∠B的度数；第二步，结合已知的∠A的度数，利用三角形内角和为180°，计算出△ABC中第三个内角的度数，或直接判断两个锐角的和是否为90°，即可确定三角形的形状。
【解析】
解：
∵CD//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠B=∠DCB=55°，
在△ABC中，∠A=35°，
∴∠A+∠B=35°+55°=90°，
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90°，
∴△ABC是直角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何应用题，综合考查平行线性质和三角形内角和相关知识，解题关键是通过平行线的性质得到三角形内角度数，进而判断三角形形状，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：CD平行AB，∠A=35°，∠DCB=55°，目标是判断△ABC的形状。第一步，根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，可得到∠B与∠DCB相等，从而求出∠B的度数；第二步，结合已知的∠A的度数，利用三角形内角和为180°，计算出△ABC中第三个内角的度数，或直接判断两个锐角的和是否为90°，即可确定三角形的形状。
【解析】
解：
∵CD//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠B=∠DCB=55°，
在△ABC中，∠A=35°，
∴∠A+∠B=35°+55°=90°，
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90°，
∴△ABC是直角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何应用题，综合考查平行线性质和三角形内角和相关知识，解题关键是通过平行线的性质得到三角形内角度数，进而判断三角形形状，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
1.设直角三角形中一个锐角度数为$x°(0＜x＜90)$，另一个锐角度数为$y°(0＜y＜90)$，则$y$与$x$的关系式为（
A.$y=180+x$
B.$y=180-x$
C.$y=90+x$
D.$y=90-x$
D
）A.$y=180+x$
B.$y=180-x$
C.$y=90+x$
D.$y=90-x$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形的内角特征：三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角是90°，因此剩余两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。结合题目给出的两个锐角度数x°、y°，可先列出两个锐角的和的等式，再整理为y关于x的关系式，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵ 直角三角形中有一个内角为90°，且三角形内角和为180°，
∴ 直角三角形的两个锐角度数之和为$180° - 90° = 90°$，
已知两个锐角分别为$x°$和$y°$，因此可得等式：
$x + y = 90$，
移项整理得$y = 90 - x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 列变量间的关系式
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形的基本性质，只要熟练掌握直角三角形两锐角互余的特点，就能快速推导得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直角三角形的内角特征：三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角是90°，因此剩余两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。结合题目给出的两个锐角度数x°、y°，可先列出两个锐角的和的等式，再整理为y关于x的关系式，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵ 直角三角形中有一个内角为90°，且三角形内角和为180°，
∴ 直角三角形的两个锐角度数之和为$180° - 90° = 90°$，
已知两个锐角分别为$x°$和$y°$，因此可得等式：
$x + y = 90$，
移项整理得$y = 90 - x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 列变量间的关系式
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形的基本性质，只要熟练掌握直角三角形两锐角互余的特点，就能快速推导得出结果。
【难度系数】
0.9
2. Cobb角是一个测量脊柱弯曲角度的方法，其测量结果常用来评估脊柱侧弯的严重程度.某人体检时脊柱的检测示意图如图所示，为方便测出Cobb角(∠O)的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是 （
A.∠BEA
B.∠DEB
C.∠ECA
D.∠ADO
B
）A.∠BEA
B.∠DEB
C.∠ECA
D.∠ADO
答案
2. B 【解析】由题图可知，△DOA和△DBE都是直角三角形，所以∠O + ∠ADO = 90°, ∠DEB + ∠ADO=90°,故∠DEB=∠O.
解析
【分析】
要找出与∠O相等的角，可利用直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等推导。首先观察∠O所在的直角三角形△DOA，可得∠O与∠ADO互余；再找其余直角三角形中，哪个角也与∠ADO互余，这个角就和∠O相等。
【解析】
由题图可知，△DOA和△DBE都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质：
在Rt△DOA中，∠O + ∠ADO = 90°；
在Rt△DBE中，∠DEB + ∠ADO = 90°；
根据同角的余角相等，可得∠DEB = ∠O，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何基础性质的应用，解题的核心是找到两个角共有的余角，熟练掌握余角的相关性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要找出与∠O相等的角，可利用直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等推导。首先观察∠O所在的直角三角形△DOA，可得∠O与∠ADO互余；再找其余直角三角形中，哪个角也与∠ADO互余，这个角就和∠O相等。
【解析】
由题图可知，△DOA和△DBE都是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质：
在Rt△DOA中，∠O + ∠ADO = 90°；
在Rt△DBE中，∠DEB + ∠ADO = 90°；
根据同角的余角相等，可得∠DEB = ∠O，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何基础性质的应用，解题的核心是找到两个角共有的余角，熟练掌握余角的相关性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
3. 如图,已知$∠ AOD=30°$,点C是射线OD上的一个动点,点C在运动过程中,当$∠ A=$
60°或90°
时,$△ AOC$是直角三角形.答案
3. 60°或90° 【解析】当∠A为90°时△AOC是直角三角形;当∠ACO为90°时,△AOC也是直角三角形，此时∠A=90°−30°=60°.
解析
【分析】
要判定△AOC为直角三角形，核心是三角形内有一个内角为90°，已知∠AOD=30°，该角不可能为直角，因此只需分两种情况讨论：①直角为∠A；②直角为∠ACO，再结合三角形内角和定理分别计算对应∠A的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若∠A为直角，则∠A=90°，此时△AOC是直角三角形，符合题意；
2. 若∠ACO为直角，即∠ACO=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A=180°-∠ AOD-∠ ACO=180°-30°-90°=60°$，此时△AOC是直角三角形，符合题意。
因此∠A的度数为60°或90°。
【答案】
$60°$或$90°$
【知识点】
直角三角形的判定；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查直角三角形的判定，解题时要注意分情况讨论直角的位置，避免因漏看某一种直角情况导致答案不全。
【难度系数】
0.7
要判定△AOC为直角三角形，核心是三角形内有一个内角为90°，已知∠AOD=30°，该角不可能为直角，因此只需分两种情况讨论：①直角为∠A；②直角为∠ACO，再结合三角形内角和定理分别计算对应∠A的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若∠A为直角，则∠A=90°，此时△AOC是直角三角形，符合题意；
2. 若∠ACO为直角，即∠ACO=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A=180°-∠ AOD-∠ ACO=180°-30°-90°=60°$，此时△AOC是直角三角形，符合题意。
因此∠A的度数为60°或90°。
【答案】
$60°$或$90°$
【知识点】
直角三角形的判定；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查直角三角形的判定，解题时要注意分情况讨论直角的位置，避免因漏看某一种直角情况导致答案不全。
【难度系数】
0.7
