基础知识·预习
问题1 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？
问题2 目前你有哪些方法判定一个三角形是直角三角形？

解：
问题1：直角三角形的两个锐角互余。
得出这个结论的依据是三角形的内角和等于180°，直角三角形中有一个内角为90°，因此剩下两个锐角的和为$180°-90°=90°$，即两个锐角互余。
问题2：判定一个三角形是直角三角形的方法有：
① 根据定义判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；
② 根据角的数量关系判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。

【分析】
问题1可从三角形内角和的通用规律入手推导：所有三角形内角和均为180°，直角三角形存在一个90°的直角，用内角和减去直角度数即可得到剩余两个锐角的度数和，进而得出二者的关系。问题2可从两个角度思考判定方法：一是直接依据直角三角形的定义判断，二是利用问题1得出的性质反向推导，若两个角互余则第三个角必然为90°，即可判定为直角三角形。
【解析】
问题1解答：
根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°。
直角三角形中有一个内角是90°的直角，因此剩下两个锐角的和为$180°-90°=90°$，和为90°的两个角互为余角，因此直角三角形的两个锐角互余。
得出该结论的依据是三角形内角和等于180°。
问题2解答：
判定直角三角形的方法有两种：
① 定义判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；
② 角的数量关系判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
【答案】
问题1：直角三角形的两个锐角互余；依据是三角形内角和等于180°，直角三角形有一个内角为90°，因此两个锐角的和为$180°-90°=90°$，即两个锐角互余。
问题2：判定方法为①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形。
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念题，考查直角三角形性质与判定的核心基础内容，熟练掌握该知识点是后续学习直角三角形相关几何问题的重要前提。
【难度系数】
0.9

【典型例题 1】如图，有一个直角三角尺$DEF$放置在$△ ABC$上，三角尺$DEF$的两条直角边$DE$，$DF$恰好分别经过点$B$，$C$，在$△ ABC$中，$∠ DBA + ∠ DCA = 45°$，则$∠ A$的度数是

（）

A.$40°$
B.$44°$
C.$45°$
D.$50°$
【解析】在$\mathrm{Rt}△ DBC$中，$∠ DBC$与$∠ DCB$互余，即$∠ DBC + ∠ DCB = 90°$，故在$△ ABC$中，$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - (45° + 90°) = 45°$.
【答案】C
规律方法 应用直角三角形两个锐角互余的性质计算相关角的大小，要比应用三角形内角和定理简便。

C

【分析】
解题时首先利用直角三角尺的直角特性，得到△DBC中两个锐角的和为90°；再观察△ABC的内角∠ABC、∠ACB的构成，可将其拆分为已知的∠DBA、∠DCA与△DBC中两个锐角的和，最后结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
∵三角尺DEF是直角三角尺，∠D=90°
∴在Rt△DBC中，∠DBC+∠DCB=180°-∠D=90°
已知∠DBA+∠DCA=45°
在△ABC中，
$\begin{aligned}∠ABC+∠ACB &= (∠DBA+∠DBC)+(∠DCA+∠DCB) \\&= (∠DBA+∠DCA)+(∠DBC+∠DCB) \\&= 45°+90°=135°\end{aligned}$
根据三角形内角和为180°可得：
∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-135°=45°
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是将所求角所在三角形的内角和进行拆分，结合已知条件整体代入求解，能有效考查学生对三角形角度关系的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8

1.《周礼·考工记》中记载有“……半矩谓之宣，一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是“……直角的一半的角称为宣，一宣半的角称为欘……”，即1宣=$\frac{1}{2}$矩，1欘=$1\frac{1}{2}$宣(其中，1矩=$90°$)。

图1 图2
问题:图1为中国古代一种强弩图,图2为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C的度数为.

1. 22.5° 【解析】因为1宣=$\frac{1}{2}$矩，1欘=$1\frac{1}{2}$宣，1矩=90°,∠A=1矩,∠B=1欘，所以∠A=90°,∠B=$1\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×90°=67.5°$，所以∠C=90°−∠B=90°−67.5°=22.5°.

【分析】
解题时首先梳理题目给出的古代角度单位的换算规则，先将∠A、∠B换算为常用的角度度数：第一步根据1矩=90°，先算出1宣对应的度数，再算出1欘对应的度数，得到∠A和∠B的具体数值；再结合图形可知△ABC是直角三角形，∠A为直角，根据直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去∠B的度数即可求出∠C的度数。
【解析】
解：由题意可知1矩=90°，
∵1宣=$\frac{1}{2}$矩，1欘=$1\frac{1}{2}$宣，
∴∠A=1矩=90°，
$∠ B=1欘=1\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×90°=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×90°=67.5°$，
又
∵△ABC中∠A=90°，直角三角形两锐角互余，
∴$∠ C=90°-∠ B=90°-67.5°=22.5°$。
【答案】
22.5°
【知识点】
1.直角三角形的性质 2.角度换算
【点评】
本题以中国古代数学文献记载为背景考查角度计算，既考查了对新定义单位的换算能力，又考查了直角三角形性质的应用，注重数学文化的渗透，解题时只要细心换算单位、牢记相关性质即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8