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6.如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数为 （
A.$180°$
B.$210°$
C.$270°$
D.$360°$
（第6题图）
（第7题图）
A
）A.$180°$
B.$210°$
C.$270°$
D.$360°$
（第6题图）
（第7题图）
答案
6.A 【解析】如图,连接 CE,则$∠ A + ∠ B = ∠ BCE + ∠ AEC$, 故所求角的和为$△ DCE$的内角和, 为$180°$, 故选 A.
解析
【分析】
本题属于不规则图形的多角求和问题，解题的核心思路是将分散的角转化到同一个规则图形中计算。我们可以通过作辅助线连接CE，利用三角形内角和与对顶角相等的性质，把∠A和∠B的和转化为CE上方两个角的和，此时原来的5个角就刚好组成△DCE的三个内角，再代入三角形内角和定理即可算出总度数。
【解析】
解：如图，连接CE。
设AB、CE交于点F：
1. 在△ABF中，根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ AFB = 180°$；
2. 在△CEF中，同理可得：$∠ ECF + ∠ CEF + ∠ CFE = 180°$；
3. 因为$∠ AFB$和$∠ CFE$是对顶角，所以$∠ AFB = ∠ CFE$，由此可推出$∠ A + ∠ B = ∠ ECF + ∠ CEF$；
4. 对所求角度和进行转化：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E$
$= (∠ ECF + ∠ CEF) + ∠ C + ∠ D + ∠ E$
$= ∠ D + (∠ C + ∠ ECF) + (∠ E + ∠ CEF)$
$= ∠ D + ∠ DCE + ∠ DEC$
以上三个角恰好是△DCE的三个内角，根据三角形内角和定理，三者之和为$180°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角度转化
【点评】
本题是角度求和的典型题型，解题关键是学会通过作辅助线将分散的未知角转化为已知内角和的规则图形的内角，熟练掌握这类转化思想能快速解决同类型的拐角角度计算问题。
【难度系数】
0.7
本题属于不规则图形的多角求和问题，解题的核心思路是将分散的角转化到同一个规则图形中计算。我们可以通过作辅助线连接CE，利用三角形内角和与对顶角相等的性质，把∠A和∠B的和转化为CE上方两个角的和，此时原来的5个角就刚好组成△DCE的三个内角，再代入三角形内角和定理即可算出总度数。
【解析】
解：如图，连接CE
。设AB、CE交于点F：
1. 在△ABF中，根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ AFB = 180°$；
2. 在△CEF中，同理可得：$∠ ECF + ∠ CEF + ∠ CFE = 180°$；
3. 因为$∠ AFB$和$∠ CFE$是对顶角，所以$∠ AFB = ∠ CFE$，由此可推出$∠ A + ∠ B = ∠ ECF + ∠ CEF$；
4. 对所求角度和进行转化：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E$
$= (∠ ECF + ∠ CEF) + ∠ C + ∠ D + ∠ E$
$= ∠ D + (∠ C + ∠ ECF) + (∠ E + ∠ CEF)$
$= ∠ D + ∠ DCE + ∠ DEC$
以上三个角恰好是△DCE的三个内角，根据三角形内角和定理，三者之和为$180°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角度转化
【点评】
本题是角度求和的典型题型，解题关键是学会通过作辅助线将分散的未知角转化为已知内角和的规则图形的内角，熟练掌握这类转化思想能快速解决同类型的拐角角度计算问题。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$△ ABC$中，$BE$，$CF$是角平分线，$BE$，$CF$相交于点$D$，连接$AD$，$∠ ABC=50°$，$∠ ACB=70°$，则$∠ ADE$的度数为
55°
。答案
7. $55°$ 【解析】由题意, 得$∠ EBC = 25°$, 因为$∠ ACB = 70°$, 所以$∠ BEC = 85°$, 所以$∠ AED = 95°$. 由三角形内角和定理, 得$∠ BAC = 60°$. 由于三角形的三条角平分线交于一点, 故 AD 平分$∠ BAC$, 所以$∠ DAE = 30°$, 所以$∠ ADE = 180° - 30° - 95° = 55°$.
解析
【分析】
解题时首先根据三角形内角和定理先求出△ABC中∠BAC的度数；再结合角平分线的定义算出∠EBC的度数，进而在△BEC中求出∠BEC，利用邻补角的性质得到∠AED的度数；然后根据三角形三条角平分线交于一点的性质，可知AD平分∠BAC，求出∠DAE的度数；最后在△ADE中利用内角和定理即可求出∠ADE的度数。
【解析】
1. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-50°-70°=60°$
2. 计算∠AED的度数：
∵BE是∠ABC的角平分线，$∠ ABC=50°$
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC=25°$
在△BEC中，$∠ BEC=180°-∠ EBC-∠ ACB=180°-25°-70°=85°$
∵∠BEC与∠AED互为邻补角
∴$∠ AED=180°-∠ BEC=180°-85°=95°$
3. 计算∠DAE的度数：
∵BE、CF是△ABC的角平分线，交点为D
∴D是△ABC的内心，AD平分∠BAC
∴$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
4. 计算∠ADE的度数：
在△ADE中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ADE=180°-∠ DAE-∠ AED=180°-30°-95°=55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形内心的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用三角形三条角平分线交于一点的性质确定AD是角平分线，再结合内角和定理逐步推导角度，解题时注意理清各个角之间的位置关系即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三角形内角和定理先求出△ABC中∠BAC的度数；再结合角平分线的定义算出∠EBC的度数，进而在△BEC中求出∠BEC，利用邻补角的性质得到∠AED的度数；然后根据三角形三条角平分线交于一点的性质，可知AD平分∠BAC，求出∠DAE的度数；最后在△ADE中利用内角和定理即可求出∠ADE的度数。
【解析】
1. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-50°-70°=60°$
2. 计算∠AED的度数：
∵BE是∠ABC的角平分线，$∠ ABC=50°$
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC=25°$
在△BEC中，$∠ BEC=180°-∠ EBC-∠ ACB=180°-25°-70°=85°$
∵∠BEC与∠AED互为邻补角
∴$∠ AED=180°-∠ BEC=180°-85°=95°$
3. 计算∠DAE的度数：
∵BE、CF是△ABC的角平分线，交点为D
∴D是△ABC的内心，AD平分∠BAC
∴$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
4. 计算∠ADE的度数：
在△ADE中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ADE=180°-∠ DAE-∠ AED=180°-30°-95°=55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形内心的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用三角形三条角平分线交于一点的性质确定AD是角平分线，再结合内角和定理逐步推导角度，解题时注意理清各个角之间的位置关系即可。
【难度系数】
0.7
8. 在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的3倍,这样的三角形我们定义为“三倍角三角形”.例如,三个内角分别为$120°,40°,20°$的三角形是“三倍角三角形”.
(1)在$△ ABC$中,$∠ A=35°,∠ B=40°$,$△ ABC$是“三倍角三角形”吗？为什么？
(2)若$△ ABC$是“三倍角三角形”,且$∠ B=30°$,求$△ ABC$中最小内角的度数.
(1)在$△ ABC$中,$∠ A=35°,∠ B=40°$,$△ ABC$是“三倍角三角形”吗？为什么？
(2)若$△ ABC$是“三倍角三角形”,且$∠ B=30°$,求$△ ABC$中最小内角的度数.
答案
8.【解】(1)$△ ABC$是“三倍角三角形”. 理由如下：
因为$∠ A = 35°, ∠ B = 40°$,
所以$∠ C = 180° - 35° - 40° = 105°$,
所以$∠ C = 3∠ A$, 即$△ ABC$是“三倍角三角形”.
(2)因为$∠ B = 30°$, 所以$∠ A + ∠ C = 150°$.
设最小的角为$x$, 当$3x = 30°$时, $x = 10°$; 当$x + 3x = 150°$时, $x = 37.5°, 37.5° ＞ 30°$, 不合题意; 当$x = 30°$时, $30° × 3 = 90°, 180° - 30° - 90° = 60°$.
故$△ ABC$中最小内角的度数为$10°$或$30°$.
因为$∠ A = 35°, ∠ B = 40°$,
所以$∠ C = 180° - 35° - 40° = 105°$,
所以$∠ C = 3∠ A$, 即$△ ABC$是“三倍角三角形”.
(2)因为$∠ B = 30°$, 所以$∠ A + ∠ C = 150°$.
设最小的角为$x$, 当$3x = 30°$时, $x = 10°$; 当$x + 3x = 150°$时, $x = 37.5°, 37.5° ＞ 30°$, 不合题意; 当$x = 30°$时, $30° × 3 = 90°, 180° - 30° - 90° = 60°$.
故$△ ABC$中最小内角的度数为$10°$或$30°$.
解析
【分析】
(1)要判断△ABC是否为“三倍角三角形”，首先需利用三角形内角和为180°求出第三个内角的度数，再检查三个内角中是否存在一个角是另一个角的3倍，若存在则符合定义。
(2)已知∠B=30°，先求出另外两个内角的和为150°，再分情况讨论三倍角的对应关系：一是30°为某个角的3倍，二是另外两个角存在3倍关系，三是30°为最小角、它的3倍是另一个内角，过程中需筛选出符合“最小内角”要求的结果，排除不符合题意的情况。
【解析】
(1)△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A=35°，∠B=40°，三角形内角和为180°
∴∠C=180°-35°-40°=105°
∵105°=3×35°，即∠C=3∠A，符合“三倍角三角形”定义
∴△ABC是“三倍角三角形”。
(2)
∵∠B=30°，
∴∠A+∠C=180°-30°=150°，设最小内角度数为x，分情况讨论：
①若3x=30°，解得x=10°，此时三个角为10°、30°、140°，符合要求；
②若∠A、∠C为3倍关系，即x+3x=150°，解得x=37.5°，此时37.5°＞30°，最小角应为30°，该情况不符合，舍去；
③若x=30°，则它的3倍为90°，第三个角为180°-30°-90°=60°，三个角为30°、60°、90°，符合要求。
【答案】
(1)△ABC是“三倍角三角形”，理由见解析；
(2)10°或30°
【知识点】
三角形内角和定理，新定义应用，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和的灵活应用，解题核心是准确理解“三倍角三角形”的定义，求解第二问时要全面梳理所有可能的三倍角对应关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
(1)要判断△ABC是否为“三倍角三角形”，首先需利用三角形内角和为180°求出第三个内角的度数，再检查三个内角中是否存在一个角是另一个角的3倍，若存在则符合定义。
(2)已知∠B=30°，先求出另外两个内角的和为150°，再分情况讨论三倍角的对应关系：一是30°为某个角的3倍，二是另外两个角存在3倍关系，三是30°为最小角、它的3倍是另一个内角，过程中需筛选出符合“最小内角”要求的结果，排除不符合题意的情况。
【解析】
(1)△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A=35°，∠B=40°，三角形内角和为180°
∴∠C=180°-35°-40°=105°
∵105°=3×35°，即∠C=3∠A，符合“三倍角三角形”定义
∴△ABC是“三倍角三角形”。
(2)
∵∠B=30°，
∴∠A+∠C=180°-30°=150°，设最小内角度数为x，分情况讨论：
①若3x=30°，解得x=10°，此时三个角为10°、30°、140°，符合要求；
②若∠A、∠C为3倍关系，即x+3x=150°，解得x=37.5°，此时37.5°＞30°，最小角应为30°，该情况不符合，舍去；
③若x=30°，则它的3倍为90°，第三个角为180°-30°-90°=60°，三个角为30°、60°、90°，符合要求。
【答案】
(1)△ABC是“三倍角三角形”，理由见解析；
(2)10°或30°
【知识点】
三角形内角和定理，新定义应用，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和的灵活应用，解题核心是准确理解“三倍角三角形”的定义，求解第二问时要全面梳理所有可能的三倍角对应关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
9.(1)如图
,AB和CD交于点O,求证:
∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)如图
,AE,CE分别平分∠BAD,
∠BCD,运用(1)的结论求证:∠B+
∠D=2∠E.
,AB和CD交于点O,求证:∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)如图
,AE,CE分别平分∠BAD,∠BCD,运用(1)的结论求证:∠B+
∠D=2∠E.
答案
9.【证明】(1)在$△ AOC$中, $∠ A + ∠ C + ∠ AOC = 180°$, 在$△ BOD$中, $∠ B + ∠ D + ∠ BOD = 180°$, 因为$∠ AOC = ∠ BOD$, 所以$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$.
(2)由(1)可得, $∠ B + ∠ BAF = ∠ E + ∠ ECF$, $∠ D + ∠ DCE = ∠ E + ∠ EAD$, 则$∠ B + ∠ BAF + ∠ D + ∠ DCE = 2∠ E + ∠ ECF + ∠ EAD$. 因为 AE,CE 分别平分$∠ BAD, ∠ BCD$, 所以$∠ DCE = ∠ ECF, ∠ BAF = ∠ EAD$, 所以$∠ B + ∠ D = 2∠ E$.
(2)由(1)可得, $∠ B + ∠ BAF = ∠ E + ∠ ECF$, $∠ D + ∠ DCE = ∠ E + ∠ EAD$, 则$∠ B + ∠ BAF + ∠ D + ∠ DCE = 2∠ E + ∠ ECF + ∠ EAD$. 因为 AE,CE 分别平分$∠ BAD, ∠ BCD$, 所以$∠ DCE = ∠ ECF, ∠ BAF = ∠ EAD$, 所以$∠ B + ∠ D = 2∠ E$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠A+∠C=∠B+∠D，首先观察到△AOC和△BOD存在一组相等的对顶角∠AOC与∠BOD，结合三角形内角和为180°的性质，两个三角形内角和相等，减去相等的对顶角后，剩余两角的和必然相等。
(2) 第二问需直接运用(1)推导的“八字形”角的等量关系，分别找到包含∠B、∠E和包含∠D、∠E的两组八字形结构，列出对应角的等量等式后将两式相加，再结合角平分线的定义消去等式两侧相等的角，即可推导出目标结论。
【解析】
(1) 证明：在$△ AOC$中，根据三角形内角和定理得 $∠ A + ∠ C + ∠ AOC = 180°$，
在$△ BOD$中，同理得 $∠ B + ∠ D + ∠ BOD = 180°$，
∵$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，
∴$∠ AOC = ∠ BOD$，
∴$∠ A + ∠ C = 180°-∠ AOC$，$∠ B + ∠ D = 180°-∠ BOD$，即$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$。
(2) 证明：由(1)的结论可得：
$∠ B + ∠ BAE = ∠ E + ∠ BCE$，$∠ D + ∠ DCE = ∠ E + ∠ DAE$，
将两式左右两边分别相加得：$∠ B + ∠ BAE + ∠ D + ∠ DCE = 2∠ E + ∠ BCE + ∠ DAE$，
∵AE平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAE = ∠ DAE$，
∵CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ BCE = ∠ DCE$，
将相等的角代入等式，两边同时消去$∠ BAE$和$∠ DCE$，可得$∠ B + ∠ D = 2∠ E$。
【答案】
(1) $∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$，证明成立；
(2) $∠ B + ∠ D = 2∠ E$，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义
【点评】
本题重点考查三角形内角和的应用以及几何基本图形的结论推导与运用，第二问需要灵活迁移第一问的结论，结合角平分线性质化简等式，掌握常见基本几何图形的等量关系可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠A+∠C=∠B+∠D，首先观察到△AOC和△BOD存在一组相等的对顶角∠AOC与∠BOD，结合三角形内角和为180°的性质，两个三角形内角和相等，减去相等的对顶角后，剩余两角的和必然相等。
(2) 第二问需直接运用(1)推导的“八字形”角的等量关系，分别找到包含∠B、∠E和包含∠D、∠E的两组八字形结构，列出对应角的等量等式后将两式相加，再结合角平分线的定义消去等式两侧相等的角，即可推导出目标结论。
【解析】
(1) 证明：在$△ AOC$中，根据三角形内角和定理得 $∠ A + ∠ C + ∠ AOC = 180°$，
在$△ BOD$中，同理得 $∠ B + ∠ D + ∠ BOD = 180°$，
∵$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，
∴$∠ AOC = ∠ BOD$，
∴$∠ A + ∠ C = 180°-∠ AOC$，$∠ B + ∠ D = 180°-∠ BOD$，即$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$。
(2) 证明：由(1)的结论可得：
$∠ B + ∠ BAE = ∠ E + ∠ BCE$，$∠ D + ∠ DCE = ∠ E + ∠ DAE$，
将两式左右两边分别相加得：$∠ B + ∠ BAE + ∠ D + ∠ DCE = 2∠ E + ∠ BCE + ∠ DAE$，
∵AE平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAE = ∠ DAE$，
∵CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ BCE = ∠ DCE$，
将相等的角代入等式，两边同时消去$∠ BAE$和$∠ DCE$，可得$∠ B + ∠ D = 2∠ E$。
【答案】
(1) $∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$，证明成立；
(2) $∠ B + ∠ D = 2∠ E$，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义
【点评】
本题重点考查三角形内角和的应用以及几何基本图形的结论推导与运用，第二问需要灵活迁移第一问的结论，结合角平分线性质化简等式，掌握常见基本几何图形的等量关系可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
