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1. 一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是(
A.16
B.25
C.52
D.61
A
)。A.16
B.25
C.52
D.61
答案
1. A
解析
【分析】
这是一道数字类应用题，解题可按以下思路思考：首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；再从题干提取两个等量关系：①十位数字+个位数字=7；②原两位数+45=个位与十位数字对调后得到的新两位数。我们可以通过设两个未知数列二元一次方程组求解，也可以直接将选项代入两个条件验证，快速得到答案。
【解析】
方法一（方程法）：
设这个两位数的个位数字为$x$，十位数字为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 7 \\10y + x + 45 = 10x + y\end{cases}$
整理第二个方程：
$10y + x + 45 = 10x + y$
移项合并同类项得：$9x - 9y = 45$，化简为$x - y = 5$
将$x + y = 7$与$x - y = 5$两式相加，得$2x = 12$，解得$x = 6$
把$x=6$代入$x + y =7$，得$y = 1$
因此这个两位数为$10×1 + 6 = 16$。
方法二（代入验证法）：
逐一验证选项是否满足两个条件：
A选项：16，十位数字+个位数字=1+6=7，满足第一个条件；$16+45=61$，恰好是16个位与十位对调后的数，满足第二个条件，符合要求。
B选项：25，$25+45=70$，不是对调后的52，不符合；
C选项：52，$52+45=97$，不是对调后的25，不符合；
D选项：61，$61+45=106$，不是对调后的16，不符合。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；两位数的表示方法
【点评】
本题是数字类应用的基础题型，解题关键是掌握多位数的代数表示规则，准确提取题干中的等量关系列方程求解，作答选择题时用代入排除法可更快得到答案。
【难度系数】
0.8
这是一道数字类应用题，解题可按以下思路思考：首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；再从题干提取两个等量关系：①十位数字+个位数字=7；②原两位数+45=个位与十位数字对调后得到的新两位数。我们可以通过设两个未知数列二元一次方程组求解，也可以直接将选项代入两个条件验证，快速得到答案。
【解析】
方法一（方程法）：
设这个两位数的个位数字为$x$，十位数字为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 7 \\10y + x + 45 = 10x + y\end{cases}$
整理第二个方程：
$10y + x + 45 = 10x + y$
移项合并同类项得：$9x - 9y = 45$，化简为$x - y = 5$
将$x + y = 7$与$x - y = 5$两式相加，得$2x = 12$，解得$x = 6$
把$x=6$代入$x + y =7$，得$y = 1$
因此这个两位数为$10×1 + 6 = 16$。
方法二（代入验证法）：
逐一验证选项是否满足两个条件：
A选项：16，十位数字+个位数字=1+6=7，满足第一个条件；$16+45=61$，恰好是16个位与十位对调后的数，满足第二个条件，符合要求。
B选项：25，$25+45=70$，不是对调后的52，不符合；
C选项：52，$52+45=97$，不是对调后的25，不符合；
D选项：61，$61+45=106$，不是对调后的16，不符合。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；两位数的表示方法
【点评】
本题是数字类应用的基础题型，解题关键是掌握多位数的代数表示规则，准确提取题干中的等量关系列方程求解，作答选择题时用代入排除法可更快得到答案。
【难度系数】
0.8
2. 从甲城到乙城，若乘坐高速铁路列车，所用时间为0.9 h；若乘坐普通列车，所用时间为3 h。已知普通列车的平均时速比高速铁路列车慢200 km/h，普通铁路比高速铁路全长多30 km，设普通铁路全长x km，高速铁路全长y km，根据题意，可列方程组为。
答案
2. $\begin{cases} x-y=30, \\ \dfrac{y}{0.9}-\dfrac{x}{3}=200 \end{cases}$
解析
【分析】
要列二元一次方程组，需先找到题目中的两个独立等量关系：①普通铁路的全长比高速铁路的全长多30km；②普通列车的平均时速比高速铁路列车慢200km/h。再结合“速度=路程÷时间”的公式，分别用含x、y的式子表示两种列车的速度，对应两个等量关系列出方程即可。
【解析】
第一步：根据“普通铁路比高速铁路全长多30 km”，可得第一个方程：
$x - y = 30$
第二步：根据速度公式$速度=路程÷时间$，高速铁路列车的平均速度为$\frac{y}{0.9}$ km/h，普通列车的平均速度为$\frac{x}{3}$ km/h，结合“普通列车的平均时速比高速铁路列车慢200 km/h”，可得第二个方程：
$\frac{y}{0.9} - \frac{x}{3} = 200$
第三步：联立两个方程，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x-y=30, \\ \dfrac{y}{0.9}-\dfrac{x}{3}=200 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，行程问题基本公式
【点评】
本题是典型的行程类二元一次方程组应用题，解题关键是准确提取题目中的等量关系，注意区分两种交通方式对应的路程和行驶时间，避免张冠李戴导致列错方程。
【难度系数】
0.8
要列二元一次方程组，需先找到题目中的两个独立等量关系：①普通铁路的全长比高速铁路的全长多30km；②普通列车的平均时速比高速铁路列车慢200km/h。再结合“速度=路程÷时间”的公式，分别用含x、y的式子表示两种列车的速度，对应两个等量关系列出方程即可。
【解析】
第一步：根据“普通铁路比高速铁路全长多30 km”，可得第一个方程：
$x - y = 30$
第二步：根据速度公式$速度=路程÷时间$，高速铁路列车的平均速度为$\frac{y}{0.9}$ km/h，普通列车的平均速度为$\frac{x}{3}$ km/h，结合“普通列车的平均时速比高速铁路列车慢200 km/h”，可得第二个方程：
$\frac{y}{0.9} - \frac{x}{3} = 200$
第三步：联立两个方程，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x-y=30, \\ \dfrac{y}{0.9}-\dfrac{x}{3}=200 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，行程问题基本公式
【点评】
本题是典型的行程类二元一次方程组应用题，解题关键是准确提取题目中的等量关系，注意区分两种交通方式对应的路程和行驶时间，避免张冠李戴导致列错方程。
【难度系数】
0.8
3. 课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，投中飞镖盘上A区域所得分值和投中B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图5-3-3所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，小丽的5次飞镖总分为
37
分。答案
3. 37
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：第一步先观察飞镖落点，数出小杰、小明分别投中A、B两个区域的次数；第二步设A区域得分为x分，B区域得分为y分，结合两人的总分列出二元一次方程组；第三步解方程组得到两个区域的分值；最后数出小丽投中两个区域的次数，代入分值计算出小丽的总分即可。
【解析】
设投中A区域得x分，投中B区域得y分。
观察落点可知：
小杰投中A区域3次、B区域2次，总分为39分，列方程：$3x+2y=39$ ①
小明投中A区域1次、B区域4次，总分为43分，列方程：$x+4y=43$ ②
用消元法解方程组：
将②式两边同乘3得：$3x+12y=129$ ③
用③-①消去x：$10y=90$，解得$y=9$
把$y=9$代入②式：$x+4×9=43$，解得$x=7$
再观察小丽的落点：投中A区域4次、B区域1次，因此总分为：
$4x+y=4×7+9=37$
【答案】
37
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题结合投飞镖的生活场景出题，解题的关键是准确数出每人投中两个区域的次数，再根据等量关系列方程求解，既考查了读图能力，也考查了用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：第一步先观察飞镖落点，数出小杰、小明分别投中A、B两个区域的次数；第二步设A区域得分为x分，B区域得分为y分，结合两人的总分列出二元一次方程组；第三步解方程组得到两个区域的分值；最后数出小丽投中两个区域的次数，代入分值计算出小丽的总分即可。
【解析】
设投中A区域得x分，投中B区域得y分。
观察落点可知：
小杰投中A区域3次、B区域2次，总分为39分，列方程：$3x+2y=39$ ①
小明投中A区域1次、B区域4次，总分为43分，列方程：$x+4y=43$ ②
用消元法解方程组：
将②式两边同乘3得：$3x+12y=129$ ③
用③-①消去x：$10y=90$，解得$y=9$
把$y=9$代入②式：$x+4×9=43$，解得$x=7$
再观察小丽的落点：投中A区域4次、B区域1次，因此总分为：
$4x+y=4×7+9=37$
【答案】
37
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题结合投飞镖的生活场景出题，解题的关键是准确数出每人投中两个区域的次数，再根据等量关系列方程求解，既考查了读图能力，也考查了用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 为提高学生的阅读能力，某中学决定购买一批图书。已知购买1本A图书和1本B图书共用27元；购买3本A图书和2本B图书共用69元。求这两种书的单价。
答案
4. 解:设 A 图书的单价是 x 元/本,B 图书的单价是 y 元/本。根据题意得 $\begin{cases} x+y=27, \\ 3x+2y=69, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=15, \\ y=12, \end{cases}$ 所以 A 图书的单价是 15 元/本,B 图书的单价是 12 元/本。
解析
【分析】
这是利用二元一次方程组解决实际问题的基础题型，解题思路如下：首先明确题中有两个未知量，即A、B两种图书的单价，再从题干提取两个等量关系：①1本A图书价格+1本B图书价格=27元；②3本A图书价格+2本B图书价格=69元。接下来设两个未知数，根据等量关系列二元一次方程组，用代入消元法或加减消元法解方程组，验证结果符合实际后即可得到答案。
【解析】
解：设A图书的单价是x元/本，B图书的单价是y元/本。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y=27 \quad \mathrm{①} \\ 3x+2y=69 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由①得：$y=27-x$ ③
将③代入②得：$3x+2(27-x)=69$
展开计算得：$3x+54-2x=69$
解得：$x=15$
把$x=15$代入③得：$y=27-15=12$
经检验，所得结果符合题意。
【答案】
A图书的单价是15元/本，B图书的单价是12元/本。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程组解法
【点评】
本题是方程类应用题的基础题型，核心考查从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
这是利用二元一次方程组解决实际问题的基础题型，解题思路如下：首先明确题中有两个未知量，即A、B两种图书的单价，再从题干提取两个等量关系：①1本A图书价格+1本B图书价格=27元；②3本A图书价格+2本B图书价格=69元。接下来设两个未知数，根据等量关系列二元一次方程组，用代入消元法或加减消元法解方程组，验证结果符合实际后即可得到答案。
【解析】
解：设A图书的单价是x元/本，B图书的单价是y元/本。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y=27 \quad \mathrm{①} \\ 3x+2y=69 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由①得：$y=27-x$ ③
将③代入②得：$3x+2(27-x)=69$
展开计算得：$3x+54-2x=69$
解得：$x=15$
把$x=15$代入③得：$y=27-15=12$
经检验，所得结果符合题意。
【答案】
A图书的单价是15元/本，B图书的单价是12元/本。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程组解法
【点评】
本题是方程类应用题的基础题型，核心考查从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
5. 某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含A,B两款不同型号的垃圾分拣机器人。已知1台A型机器人和1台B型机器人同时工作10小时,可处理垃圾5吨;若1台B型机器人先工作5小时后,再加入1台A型机器人同时工作,则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾。问1台A型机器人和1台B型机器人每小时各处理垃圾多少吨?
可以用线段图(如图5-3-4)来分析本题中的数量关系。
由图可得如下的数量关系:
①1台A型机器人10小时的垃圾处理量+1台B型机器人10小时的垃圾处理量=5吨;
②
请你通过列方程(组)解答问题。
可以用线段图(如图5-3-4)来分析本题中的数量关系。
由图可得如下的数量关系:
①1台A型机器人10小时的垃圾处理量+1台B型机器人10小时的垃圾处理量=5吨;
②
1台A型机器人8小时的垃圾处理量
+ 1台B型机器人13小时的垃圾处理量
=5吨。请你通过列方程(组)解答问题。
答案
5. 解:1台 A 型机器人 8 小时的垃圾处理量 1 台 B 型机器人 13 小时的垃圾处理量
设 1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时分别处理垃圾 x 吨和 y 吨,
则 $\begin{cases} 10x+10y=5, \\ 8x+13y=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=0.3, \\ y=0.2 \end{cases}$。
答:1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时分别处理垃圾 0.3 吨和 0.2 吨。
设 1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时分别处理垃圾 x 吨和 y 吨,
则 $\begin{cases} 10x+10y=5, \\ 8x+13y=5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=0.3, \\ y=0.2 \end{cases}$。
答:1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时分别处理垃圾 0.3 吨和 0.2 吨。
解析
【分析】
解题时首先梳理题干中的等量关系：第一个等量关系已明确给出，即1台A型和1台B型机器人同时工作10小时的总垃圾处理量为5吨；第二个场景中，B型机器人先工作5小时，再和A型机器人共同工作8小时，因此B型机器人总工作时长为$5+8=13$小时，A型机器人工作时长为8小时，总处理量仍为5吨，可得到第二个等量关系。接下来设两种机器人每小时处理量分别为未知数，将等量关系转化为二元一次方程组，通过消元法求解即可得到结果。
【解析】
首先补全数量关系②：$\boxed{1台A型机器人8小时的垃圾处理量} + \boxed{1台B型机器人13小时的垃圾处理量} =5$吨。
设1台A型机器人每小时处理垃圾$x$吨，1台B型机器人每小时处理垃圾$y$吨，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 10x+10y=5 \\ 8x+13y=5 \end{cases}$
化简第一个方程，两边同时除以10得：$x+y=0.5$，即$x=0.5-y$。
将$x=0.5-y$代入第二个方程：
$8(0.5-y)+13y=5$
$4-8y+13y=5$
$5y=1$
解得$y=0.2$
将$y=0.2$代入$x=0.5-y$，得$x=0.5-0.2=0.3$
经检验，$x=0.3$、$y=0.2$符合方程组和题意。
【答案】
②处依次填：1台A型机器人8小时的垃圾处理量、1台B型机器人13小时的垃圾处理量；1台A型机器人每小时处理垃圾0.3吨，1台B型机器人每小时处理垃圾0.2吨。
【知识点】
二元一次方程组的应用、工程问题计算
【点评】
本题结合垃圾处理的生活实际场景命题，考查学生从题干和示意图中提取有效信息、建立方程模型解决实际问题的能力，解题的关键是准确计算两种机器人在不同工作场景下的总工作时长，是方程实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题干中的等量关系：第一个等量关系已明确给出，即1台A型和1台B型机器人同时工作10小时的总垃圾处理量为5吨；第二个场景中，B型机器人先工作5小时，再和A型机器人共同工作8小时，因此B型机器人总工作时长为$5+8=13$小时，A型机器人工作时长为8小时，总处理量仍为5吨，可得到第二个等量关系。接下来设两种机器人每小时处理量分别为未知数，将等量关系转化为二元一次方程组，通过消元法求解即可得到结果。
【解析】
首先补全数量关系②：$\boxed{1台A型机器人8小时的垃圾处理量} + \boxed{1台B型机器人13小时的垃圾处理量} =5$吨。
设1台A型机器人每小时处理垃圾$x$吨，1台B型机器人每小时处理垃圾$y$吨，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 10x+10y=5 \\ 8x+13y=5 \end{cases}$
化简第一个方程，两边同时除以10得：$x+y=0.5$，即$x=0.5-y$。
将$x=0.5-y$代入第二个方程：
$8(0.5-y)+13y=5$
$4-8y+13y=5$
$5y=1$
解得$y=0.2$
将$y=0.2$代入$x=0.5-y$，得$x=0.5-0.2=0.3$
经检验，$x=0.3$、$y=0.2$符合方程组和题意。
【答案】
②处依次填：1台A型机器人8小时的垃圾处理量、1台B型机器人13小时的垃圾处理量；1台A型机器人每小时处理垃圾0.3吨，1台B型机器人每小时处理垃圾0.2吨。
【知识点】
二元一次方程组的应用、工程问题计算
【点评】
本题结合垃圾处理的生活实际场景命题，考查学生从题干和示意图中提取有效信息、建立方程模型解决实际问题的能力，解题的关键是准确计算两种机器人在不同工作场景下的总工作时长，是方程实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
