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6. 甲、乙两车分别从相距 210 km 的 A,B 两地相向而行。
(1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的 2 倍,若甲车比乙车提前 2 h 出发,则甲车出发 3 h 后两车相遇。求甲、乙两车的速度分别是多少。
(2)如果甲、乙两车保持(1)中的速度,两车同时出发相向而行,求经过多少小时两车相距 30 km。
(1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的 2 倍,若甲车比乙车提前 2 h 出发,则甲车出发 3 h 后两车相遇。求甲、乙两车的速度分别是多少。
(2)如果甲、乙两车保持(1)中的速度,两车同时出发相向而行,求经过多少小时两车相距 30 km。
答案
6. 解:(1)设甲车的速度是 x km/h,乙车的速度是 y km/h。
根据题意得 $\begin{cases} x=2y, \\ 3x+(3-2)y=210, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=60, \\ y=30, \end{cases}$
所以甲车的速度是 60 km/h,乙车的速度是 30 km/h。
(2)设经过 t h 两车相距 30 km。
根据题意得,当两车未相遇时,60t + 30t = 210 - 30,解得 t=2,
当两车相遇后,$60t+30t=210+30$,解得 $t=\dfrac{8}{3}$,
所以经过 2 h 或 $\dfrac{8}{3}$ h 两车相距 30 km。
根据题意得 $\begin{cases} x=2y, \\ 3x+(3-2)y=210, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=60, \\ y=30, \end{cases}$
所以甲车的速度是 60 km/h,乙车的速度是 30 km/h。
(2)设经过 t h 两车相距 30 km。
根据题意得,当两车未相遇时,60t + 30t = 210 - 30,解得 t=2,
当两车相遇后,$60t+30t=210+30$,解得 $t=\dfrac{8}{3}$,
所以经过 2 h 或 $\dfrac{8}{3}$ h 两车相距 30 km。
解析
【分析】
本题属于行程中的相遇问题，解题思路如下：
(1) 第一问有两个未知量（甲、乙两车的速度），首先梳理两个等量关系：①甲车速度是乙车速度的2倍；②甲车提前2h出发，甲车出发3h后相遇，此时甲车行驶时间为3h，乙车行驶时间为$3-2=1$h，两车行驶的路程之和等于A、B两地总距离210km，因此可列二元一次方程组求解两个速度。
(2) 第二问两车同时出发相向而行，相距30km需要分两种情况讨论：①两车还未相遇，此时两车行驶的路程之和=总路程-30km；②两车相遇后继续行驶错开，此时两车行驶的路程之和=总路程+30km，分别列一元一次方程求解即可，注意两个解都符合实际意义，不要漏解。
【解析】
(1) 设甲车的速度是$x$ km/h，乙车的速度是$y$ km/h。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x=2y \\ 3x+(3-2)y=210 \end{cases}$
将$x=2y$代入第二个方程得：$3×2y + y=210$，即$7y=210$，解得$y=30$，
则$x=2y=60$。
(2) 设经过$t$ h两车相距30 km。
分两种情况讨论：
① 两车未相遇时，两车行驶路程和为$210-30$ km，列方程：
$60t + 30t = 210 - 30$
$90t=180$，解得$t=2$。
② 两车相遇后错开相距30km时，两车行驶路程和为$210+30$ km，列方程：
$60t + 30t = 210 + 30$
$90t=240$，解得$t=\dfrac{8}{3}$。
【答案】
(1) 甲车速度为60 km/h，乙车速度为30 km/h；
(2) 经过2 h或$\dfrac{8}{3}$ h两车相距30 km。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；行程相遇问题
【点评】
本题是行程相遇问题的典型习题，重点考查用方程解决实际问题的能力，第二问需要结合实际场景分类讨论两种相距30km的情况，避免漏解，能有效锻炼学生的分类讨论思维。
【难度系数】
0.7
本题属于行程中的相遇问题，解题思路如下：
(1) 第一问有两个未知量（甲、乙两车的速度），首先梳理两个等量关系：①甲车速度是乙车速度的2倍；②甲车提前2h出发，甲车出发3h后相遇，此时甲车行驶时间为3h，乙车行驶时间为$3-2=1$h，两车行驶的路程之和等于A、B两地总距离210km，因此可列二元一次方程组求解两个速度。
(2) 第二问两车同时出发相向而行，相距30km需要分两种情况讨论：①两车还未相遇，此时两车行驶的路程之和=总路程-30km；②两车相遇后继续行驶错开，此时两车行驶的路程之和=总路程+30km，分别列一元一次方程求解即可，注意两个解都符合实际意义，不要漏解。
【解析】
(1) 设甲车的速度是$x$ km/h，乙车的速度是$y$ km/h。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x=2y \\ 3x+(3-2)y=210 \end{cases}$
将$x=2y$代入第二个方程得：$3×2y + y=210$，即$7y=210$，解得$y=30$，
则$x=2y=60$。
(2) 设经过$t$ h两车相距30 km。
分两种情况讨论：
① 两车未相遇时，两车行驶路程和为$210-30$ km，列方程：
$60t + 30t = 210 - 30$
$90t=180$，解得$t=2$。
② 两车相遇后错开相距30km时，两车行驶路程和为$210+30$ km，列方程：
$60t + 30t = 210 + 30$
$90t=240$，解得$t=\dfrac{8}{3}$。
【答案】
(1) 甲车速度为60 km/h，乙车速度为30 km/h；
(2) 经过2 h或$\dfrac{8}{3}$ h两车相距30 km。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；行程相遇问题
【点评】
本题是行程相遇问题的典型习题，重点考查用方程解决实际问题的能力，第二问需要结合实际场景分类讨论两种相距30km的情况，避免漏解，能有效锻炼学生的分类讨论思维。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
7. 北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A，B两种航天飞船模型进行销售。据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元。
(1)A，B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你设计出所有购买方案。
7. 北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A，B两种航天飞船模型进行销售。据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元。
(1)A，B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你设计出所有购买方案。
答案
7. 解:(1)设 A 种航天飞船模型每件进价为 x 元,B 种航天飞船模型每件进价为 y 元。根据题意,
得 $\begin{cases} 2x+3y=130, \\ 3x+2y=120, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=20, \\ y=30, \end{cases}$ 即 A 种航天飞船模型每件进价为 20 元,B 种航天飞船模型每件进价为 30 元。
(2)设购进 a 件 A 种航天飞船模型和 b 件 B 种航天飞船模型。根据题意,得 20a+30b=220,
则 $a=\dfrac{22-3b}{2}$。因为 a,b 均为正整数,所以当 b=2 时,a=8;当 b=4 时,a=5;当 b=6 时,a=2。故所有购买方案如下:
①购进 8 件 A 种航天飞船模型和 2 件 B 种航天飞船模型;
②购进 5 件 A 种航天飞船模型和 4 件 B 种航天飞船模型;
③购进 2 件 A 种航天飞船模型和 6 件 B 种航天飞船模型。
得 $\begin{cases} 2x+3y=130, \\ 3x+2y=120, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=20, \\ y=30, \end{cases}$ 即 A 种航天飞船模型每件进价为 20 元,B 种航天飞船模型每件进价为 30 元。
(2)设购进 a 件 A 种航天飞船模型和 b 件 B 种航天飞船模型。根据题意,得 20a+30b=220,
则 $a=\dfrac{22-3b}{2}$。因为 a,b 均为正整数,所以当 b=2 时,a=8;当 b=4 时,a=5;当 b=6 时,a=2。故所有购买方案如下:
①购进 8 件 A 种航天飞船模型和 2 件 B 种航天飞船模型;
②购进 5 件 A 种航天飞船模型和 4 件 B 种航天飞船模型;
③购进 2 件 A 种航天飞船模型和 6 件 B 种航天飞船模型。
解析
【分析】
（1）题目给出两个关于A、B两种模型进价的等量关系：①2件A的进价+3件B的进价=130元；②3件A的进价+2件B的进价=120元。我们可分别设A、B的进价为x元、y元，将等量关系转化为二元一次方程组，求解即可得到两种模型的进价。
（2）第二问已知总进价为220元，设购进A种a件、B种b件，根据进价列二元一次方程，由于两种模型均需购买，因此a、b都为正整数，用含b的式子表示a后，按正整数要求枚举所有符合条件的解，即可得到全部购买方案。
【解析】
(1) 设A种航天飞船模型每件进价为x元，B种航天飞船模型每件进价为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 2x+3y=130 \\ 3x+2y=120 \end{cases}$
用加减消元法求解：第一个方程乘3得$6x+9y=390$，第二个方程乘2得$6x+4y=240$，两式相减得$5y=150$，解得$y=30$，将$y=30$代入$2x+3y=130$，得$2x+90=130$，解得$x=20$。
即A种航天飞船模型每件进价为20元，B种航天飞船模型每件进价为30元。
(2) 设购进a件A种航天飞船模型和b件B种航天飞船模型。
根据总进价为220元列方程：$20a+30b=220$，
整理得$a=\frac{22-3b}{2}$。
由于a、b均为正整数，因此$22-3b$需为大于0的偶数，枚举得：
当$b=2$时，$a=8$，符合要求；
当$b=4$时，$a=5$，符合要求；
当$b=6$时，$a=2$，符合要求；
当$b≥8$时，$3b＞22$，不符合要求。
故所有购买方案如下：
①购进8件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型；
②购进5件A种航天飞船模型和4件B种航天飞船模型；
③购进2件A种航天飞船模型和6件B种航天飞船模型。
【答案】
(1) A种航天飞船模型每件进价20元，B种航天飞船模型每件进价30元；
(2) 共有3种购买方案：①购进8件A模型、2件B模型；②购进5件A模型、4件B模型；③购进2件A模型、6件B模型。
【知识点】
二元一次方程组应用；二元一次方程正整数解；方案设计
【点评】
本题结合航天热点背景考查方程的实际应用，解题核心是找准等量关系正确列方程，求解第二问时要注意未知数需满足正整数的限制条件，枚举解时要按顺序排查，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
（1）题目给出两个关于A、B两种模型进价的等量关系：①2件A的进价+3件B的进价=130元；②3件A的进价+2件B的进价=120元。我们可分别设A、B的进价为x元、y元，将等量关系转化为二元一次方程组，求解即可得到两种模型的进价。
（2）第二问已知总进价为220元，设购进A种a件、B种b件，根据进价列二元一次方程，由于两种模型均需购买，因此a、b都为正整数，用含b的式子表示a后，按正整数要求枚举所有符合条件的解，即可得到全部购买方案。
【解析】
(1) 设A种航天飞船模型每件进价为x元，B种航天飞船模型每件进价为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 2x+3y=130 \\ 3x+2y=120 \end{cases}$
用加减消元法求解：第一个方程乘3得$6x+9y=390$，第二个方程乘2得$6x+4y=240$，两式相减得$5y=150$，解得$y=30$，将$y=30$代入$2x+3y=130$，得$2x+90=130$，解得$x=20$。
即A种航天飞船模型每件进价为20元，B种航天飞船模型每件进价为30元。
(2) 设购进a件A种航天飞船模型和b件B种航天飞船模型。
根据总进价为220元列方程：$20a+30b=220$，
整理得$a=\frac{22-3b}{2}$。
由于a、b均为正整数，因此$22-3b$需为大于0的偶数，枚举得：
当$b=2$时，$a=8$，符合要求；
当$b=4$时，$a=5$，符合要求；
当$b=6$时，$a=2$，符合要求；
当$b≥8$时，$3b＞22$，不符合要求。
故所有购买方案如下：
①购进8件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型；
②购进5件A种航天飞船模型和4件B种航天飞船模型；
③购进2件A种航天飞船模型和6件B种航天飞船模型。
【答案】
(1) A种航天飞船模型每件进价20元，B种航天飞船模型每件进价30元；
(2) 共有3种购买方案：①购进8件A模型、2件B模型；②购进5件A模型、4件B模型；③购进2件A模型、6件B模型。
【知识点】
二元一次方程组应用；二元一次方程正整数解；方案设计
【点评】
本题结合航天热点背景考查方程的实际应用，解题核心是找准等量关系正确列方程，求解第二问时要注意未知数需满足正整数的限制条件，枚举解时要按顺序排查，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
8. 某家电力公司为了提高电力输送效率，在十月对输电线路A和B进行了两次升级，来应对冬天的用电高峰。公司记录了两次升级工程的长度和费用，如表5-3-3所示:(注:十月两次升级中每条线路每千米升级费用均不变)
表5-3-3
|升级情况|线路A/km|线路B/km|总费用/万元|
|----|----|----|----|
|第一次升级|50|
|380|
|第二次升级|60|40|520|
(1)线路A和线路B每千米的升级费用各是多少万元?
(2)该电力公司计划在十一月对这两条线路进行第三次升级。由于采用了新的材料,预计线路A每千米的升级费用比之前减少2a%,线路B每千米的升级费用不变。线路A升级的长度与第二次升级的长度相同,线路B升级的长度比第二次升级的长度多3a km,若第三次升级的总费用比第二次升级的总费用多48万元,求a的值。
表5-3-3
|升级情况|线路A/km|线路B/km|总费用/万元|
|----|----|----|----|
|第一次升级|50|
|380||第二次升级|60|40|520|
(1)线路A和线路B每千米的升级费用各是多少万元?
(2)该电力公司计划在十一月对这两条线路进行第三次升级。由于采用了新的材料,预计线路A每千米的升级费用比之前减少2a%,线路B每千米的升级费用不变。线路A升级的长度与第二次升级的长度相同,线路B升级的长度比第二次升级的长度多3a km,若第三次升级的总费用比第二次升级的总费用多48万元,求a的值。
答案
8. 解:(1)设线路 A 每千米的升级费用是 x 万元,线路 B 每千米的升级费用是 y 万元。
根据题意,得 $\begin{cases} 50x+20y=380, \\ 60x+40y=520, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=6, \\ y=4, \end{cases}$
所以线路 A 每千米的升级费用是 6 万元,线路 B 每千米的升级费用是 4 万元。
(2)根据题意,得 $6(1-2a\%)×60+4(40+3a)=520+48$,解得 a=10。
根据题意,得 $\begin{cases} 50x+20y=380, \\ 60x+40y=520, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=6, \\ y=4, \end{cases}$
所以线路 A 每千米的升级费用是 6 万元,线路 B 每千米的升级费用是 4 万元。
(2)根据题意,得 $6(1-2a\%)×60+4(40+3a)=520+48$,解得 a=10。
解析
【分析】
本题属于方程实际应用类问题，解题思路如下：
(1) 要求线路A、B每千米的升级费用，有两个未知量，可设两个未知数，根据表格中两次升级的总费用找到两个等量关系，列出二元一次方程组，求解即可得到两个单价。
(2) 先梳理第三次升级的各个量：线路A的单价变为原单价的(1-2a%)，升级长度与第二次相同为60km；线路B单价不变，升级长度比第二次多3a km即(40+3a)km，总费用比第二次多48万元，根据“总费用=线路A总费用+线路B总费用”列出一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 设线路A每千米的升级费用是x万元，线路B每千米的升级费用是y万元。
根据两次升级的总费用，可列方程组：
$\begin{cases} 50x+20y=380 \\ 60x+40y=520 \end{cases}$
将第一个方程两边同时乘2，得$100x+40y=760$，用该式减去第二个方程，得$40x=240$，解得$x=6$。
把$x=6$代入$50x+20y=380$，得$300+20y=380$，解得$y=4$。
(2) 根据题意，第三次升级总费用为$520+48=568$万元，可列方程：
$6(1-2a\%)×60+4(40+3a)=568$
化简得：$360(1-2a\%)+160+12a=568$
$360-7.2a+160+12a=568$
$520+4.8a=568$
解得$a=10$。
【答案】
(1) 线路A每千米升级费用是6万元，线路B每千米升级费用是4万元；
(2) $a=10$
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，列方程解应用题
【点评】
本题结合生活实际背景考查方程的应用，解题关键是从题干和表格中准确提取等量关系，正确列出方程求解，计算过程简单，需要注意百分数的转化不要出现错误。
【难度系数】
0.7
本题属于方程实际应用类问题，解题思路如下：
(1) 要求线路A、B每千米的升级费用，有两个未知量，可设两个未知数，根据表格中两次升级的总费用找到两个等量关系，列出二元一次方程组，求解即可得到两个单价。
(2) 先梳理第三次升级的各个量：线路A的单价变为原单价的(1-2a%)，升级长度与第二次相同为60km；线路B单价不变，升级长度比第二次多3a km即(40+3a)km，总费用比第二次多48万元，根据“总费用=线路A总费用+线路B总费用”列出一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 设线路A每千米的升级费用是x万元，线路B每千米的升级费用是y万元。
根据两次升级的总费用，可列方程组：
$\begin{cases} 50x+20y=380 \\ 60x+40y=520 \end{cases}$
将第一个方程两边同时乘2，得$100x+40y=760$，用该式减去第二个方程，得$40x=240$，解得$x=6$。
把$x=6$代入$50x+20y=380$，得$300+20y=380$，解得$y=4$。
(2) 根据题意，第三次升级总费用为$520+48=568$万元，可列方程：
$6(1-2a\%)×60+4(40+3a)=568$
化简得：$360(1-2a\%)+160+12a=568$
$360-7.2a+160+12a=568$
$520+4.8a=568$
解得$a=10$。
【答案】
(1) 线路A每千米升级费用是6万元，线路B每千米升级费用是4万元；
(2) $a=10$
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，列方程解应用题
【点评】
本题结合生活实际背景考查方程的应用，解题关键是从题干和表格中准确提取等量关系，正确列出方程求解，计算过程简单，需要注意百分数的转化不要出现错误。
【难度系数】
0.7
