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问题1 举例说明什么叫作分式方程.
问题2 怎样解分式方程？解分式方程时需要注意什么？
问题1 举例说明什么叫作分式方程.
问题2 怎样解分式方程？解分式方程时需要注意什么？
答案
解：
问题1
分母中含有未知数的方程叫作分式方程。
例如方程$\frac{1}{x}=2$、$\frac{x}{x-2}=3$，这类方程的分母中含有未知数$x$，都属于分式方程。
问题2
解分式方程的步骤：
1. 去分母：方程两边同时乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；
2. 求解得到的整式方程；
3. 验根：把整式方程的解代入原方程的最简公分母检验。
解分式方程的注意事项：
1. 去分母时，方程的所有项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项；
2. 必须进行验根：若整式方程的解使最简公分母的值不为0，该解就是原分式方程的解；若整式方程的解使最简公分母的值为0，该解是原分式方程的增根，此时原分式方程无解。
问题1
分母中含有未知数的方程叫作分式方程。
例如方程$\frac{1}{x}=2$、$\frac{x}{x-2}=3$，这类方程的分母中含有未知数$x$，都属于分式方程。
问题2
解分式方程的步骤：
1. 去分母：方程两边同时乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；
2. 求解得到的整式方程；
3. 验根：把整式方程的解代入原方程的最简公分母检验。
解分式方程的注意事项：
1. 去分母时，方程的所有项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项；
2. 必须进行验根：若整式方程的解使最简公分母的值不为0，该解就是原分式方程的解；若整式方程的解使最简公分母的值为0，该解是原分式方程的增根，此时原分式方程无解。
解析
【分析】
本题是分式方程的基础认知类题目，两个问题分别对应分式方程的定义与解法两个核心基础点：
1. 解答问题1时，需抓住分式方程区别于整式方程的核心特征——分母含有未知数，先明确定义，再列举符合特征的方程作为例子即可。
2. 解答问题2时，需遵循“将未知转化为已知”的数学思路，先通过去分母把分式方程转化为已经掌握的整式方程求解，再考虑去分母过程中可能出现增根的问题，梳理对应的求解步骤与注意事项即可。
【解析】
问题1解析
整式方程的分母不含未知数，若方程的分母中含有未知数，该类方程就叫做分式方程。判断一个方程是不是分式方程，仅需看分母中是否出现未知数即可，比如$\frac{1}{x}=2$的分母位置有未知数$x$，$\frac{x}{x-2}=3$的分母$x-2$中含有未知数$x$，这两个方程都符合分式方程的定义。
问题2解析
解分式方程的本质是将分式方程转化为整式方程求解，具体逻辑如下：
1. 去分母环节：为了消去分母，需要给方程两边同乘所有分母的最简公分母，此时要注意所有项都要乘公分母，不能漏乘无分母的项，否则会改变方程的解；
2. 整式方程求解环节：转化得到的整式方程是已经学过的类型，按整式方程解法求解即可；
3. 验根环节：去分母时默认了最简公分母不为0，若整式方程的解刚好让最简公分母为0，该解会让原分式方程分母为0无意义，属于增根，因此必须验根判断解是否有效。
【答案】
问题1
分母中含有未知数的方程叫作分式方程。
例如方程$\frac{1}{x}=2$、$\frac{x}{x-2}=3$，这类方程的分母中含有未知数$x$，都属于分式方程。
问题2
解分式方程的步骤：
1. 去分母：方程两边同时乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；
2. 求解得到的整式方程；
3. 验根：把整式方程的解代入原方程的最简公分母检验。
解分式方程的注意事项：
1. 去分母时，方程的所有项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项；
2. 必须进行验根：若整式方程的解使最简公分母的值不为0，该解就是原分式方程的解；若整式方程的解使最简公分母的值为0，该解是原分式方程的增根，此时原分式方程无解。
【知识点】
分式方程的定义、分式方程的解法、增根与验根
【点评】
本题是分式方程的入门基础题，重点考查对分式方程核心概念和解法逻辑的理解，是后续解决分式方程计算、应用类问题的基础，需熟练掌握相关概念与步骤。
【难度系数】
0.9
本题是分式方程的基础认知类题目，两个问题分别对应分式方程的定义与解法两个核心基础点：
1. 解答问题1时，需抓住分式方程区别于整式方程的核心特征——分母含有未知数，先明确定义，再列举符合特征的方程作为例子即可。
2. 解答问题2时，需遵循“将未知转化为已知”的数学思路，先通过去分母把分式方程转化为已经掌握的整式方程求解，再考虑去分母过程中可能出现增根的问题，梳理对应的求解步骤与注意事项即可。
【解析】
问题1解析
整式方程的分母不含未知数，若方程的分母中含有未知数，该类方程就叫做分式方程。判断一个方程是不是分式方程，仅需看分母中是否出现未知数即可，比如$\frac{1}{x}=2$的分母位置有未知数$x$，$\frac{x}{x-2}=3$的分母$x-2$中含有未知数$x$，这两个方程都符合分式方程的定义。
问题2解析
解分式方程的本质是将分式方程转化为整式方程求解，具体逻辑如下：
1. 去分母环节：为了消去分母，需要给方程两边同乘所有分母的最简公分母，此时要注意所有项都要乘公分母，不能漏乘无分母的项，否则会改变方程的解；
2. 整式方程求解环节：转化得到的整式方程是已经学过的类型，按整式方程解法求解即可；
3. 验根环节：去分母时默认了最简公分母不为0，若整式方程的解刚好让最简公分母为0，该解会让原分式方程分母为0无意义，属于增根，因此必须验根判断解是否有效。
【答案】
问题1
分母中含有未知数的方程叫作分式方程。
例如方程$\frac{1}{x}=2$、$\frac{x}{x-2}=3$，这类方程的分母中含有未知数$x$，都属于分式方程。
问题2
解分式方程的步骤：
1. 去分母：方程两边同时乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；
2. 求解得到的整式方程；
3. 验根：把整式方程的解代入原方程的最简公分母检验。
解分式方程的注意事项：
1. 去分母时，方程的所有项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项；
2. 必须进行验根：若整式方程的解使最简公分母的值不为0，该解就是原分式方程的解；若整式方程的解使最简公分母的值为0，该解是原分式方程的增根，此时原分式方程无解。
【知识点】
分式方程的定义、分式方程的解法、增根与验根
【点评】
本题是分式方程的入门基础题，重点考查对分式方程核心概念和解法逻辑的理解，是后续解决分式方程计算、应用类问题的基础，需熟练掌握相关概念与步骤。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】下列关于$x$的式子：
①$\frac{x-1}{5}=5$；②$\frac{1}{x}=\frac{3}{x-1}$；③$x^2+\frac{1}{x}$；
④$\frac{x}{π}-2x=-1$；⑤$\frac{2}{x-3}=2$，其中是分式方程的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】①分母中不含未知数，是整式方程；②是分式方程；③不是方程，是一个代数式；④分母中不含未知数，是整式方程；⑤是分式方程。
【答案】B
①$\frac{x-1}{5}=5$；②$\frac{1}{x}=\frac{3}{x-1}$；③$x^2+\frac{1}{x}$；
④$\frac{x}{π}-2x=-1$；⑤$\frac{2}{x-3}=2$，其中是分式方程的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】①分母中不含未知数，是整式方程；②是分式方程；③不是方程，是一个代数式；④分母中不含未知数，是整式方程；⑤是分式方程。
【答案】B
答案
B
解析
【分析】
本题考查分式方程的识别，解题时先回忆分式方程的判定条件：一是必须为含有未知数的等式（即属于方程），二是分母中含有未知数。接下来逐个分析给出的式子：第一步先判断是否为方程，排除不是等式的式子；第二步对属于方程的式子，再看分母是否含有未知数，同时注意π是固定常数，不属于未知数，最终统计符合条件的分式方程数量即可。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，需同时满足“是方程”“分母含未知数”两个条件，逐个判断如下：
①$\frac{x-1}{5}=5$：是方程，但分母为常数5，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
②$\frac{1}{x}=\frac{3}{x-1}$：是方程，且分母$x$、$x-1$中均含有未知数$x$，属于分式方程；
③$x^2+\frac{1}{x}$：不含等号，不是等式，不属于方程，因此不是分式方程；
④$\frac{x}{π}-2x=-1$：是方程，但分母中的$π$是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
⑤$\frac{2}{x-3}=2$：是方程，且分母$x-3$中含有未知数$x$，属于分式方程。
综上，是分式方程的有②和⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的判定；方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的核心是准确把握分式方程的两个判定标准，需注意两个易错点：一是π是常数，不要误认为是未知数；二是要先判断式子是否为方程，不要把代数式错当成方程判断。
【难度系数】
0.8
本题考查分式方程的识别，解题时先回忆分式方程的判定条件：一是必须为含有未知数的等式（即属于方程），二是分母中含有未知数。接下来逐个分析给出的式子：第一步先判断是否为方程，排除不是等式的式子；第二步对属于方程的式子，再看分母是否含有未知数，同时注意π是固定常数，不属于未知数，最终统计符合条件的分式方程数量即可。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，需同时满足“是方程”“分母含未知数”两个条件，逐个判断如下：
①$\frac{x-1}{5}=5$：是方程，但分母为常数5，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
②$\frac{1}{x}=\frac{3}{x-1}$：是方程，且分母$x$、$x-1$中均含有未知数$x$，属于分式方程；
③$x^2+\frac{1}{x}$：不含等号，不是等式，不属于方程，因此不是分式方程；
④$\frac{x}{π}-2x=-1$：是方程，但分母中的$π$是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
⑤$\frac{2}{x-3}=2$：是方程，且分母$x-3$中含有未知数$x$，属于分式方程。
综上，是分式方程的有②和⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的判定；方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的核心是准确把握分式方程的两个判定标准，需注意两个易错点：一是π是常数，不要误认为是未知数；二是要先判断式子是否为方程，不要把代数式错当成方程判断。
【难度系数】
0.8
【即学即练】
1. 下列关于$x$的方程：
① $\frac{x-1}{2} + 3 = x$；② $4x + \frac{2}{x} + 8 = 0$；
③ $-\frac{6}{x+3} = 5$；④ $x^2 -9x =2$；⑤ $\frac{1}{x}=2$，其中是分式方程的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 下列关于$x$的方程：
① $\frac{x-1}{2} + 3 = x$；② $4x + \frac{2}{x} + 8 = 0$；
③ $-\frac{6}{x+3} = 5$；④ $x^2 -9x =2$；⑤ $\frac{1}{x}=2$，其中是分式方程的有 （
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C 【解析】①与④是整式方程;②③⑤是分式方程.
解析
【分析】
要判断哪些是分式方程，首先需明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时我们逐个分析每个方程的分母是否含有未知数x，排除分母不含未知数的整式方程，统计符合分式方程定义的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，我们逐个判断：
① $\frac{x-1}{2} + 3 = x$：分母为2，是常数，不含未知数，属于整式方程；
② $4x + \frac{2}{x} + 8 = 0$：分母为x，含有未知数x，属于分式方程；
③ $-\frac{6}{x+3} = 5$：分母为$x+3$，含有未知数x，属于分式方程；
④ $x^2 -9x =2$：无分母，是整式方程中的一元二次方程；
⑤ $\frac{1}{x}=2$：分母为x，含有未知数x，属于分式方程。
综上，②③⑤是分式方程，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1.分式方程的定义 2.分式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是准确掌握分式方程的定义，判断时重点关注方程的分母是否含有未知数，避免将分母仅含常数的整式方程错判为分式方程。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是分式方程，首先需明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时我们逐个分析每个方程的分母是否含有未知数x，排除分母不含未知数的整式方程，统计符合分式方程定义的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，我们逐个判断：
① $\frac{x-1}{2} + 3 = x$：分母为2，是常数，不含未知数，属于整式方程；
② $4x + \frac{2}{x} + 8 = 0$：分母为x，含有未知数x，属于分式方程；
③ $-\frac{6}{x+3} = 5$：分母为$x+3$，含有未知数x，属于分式方程；
④ $x^2 -9x =2$：无分母，是整式方程中的一元二次方程；
⑤ $\frac{1}{x}=2$：分母为x，含有未知数x，属于分式方程。
综上，②③⑤是分式方程，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1.分式方程的定义 2.分式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是准确掌握分式方程的定义，判断时重点关注方程的分母是否含有未知数，避免将分母仅含常数的整式方程错判为分式方程。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】解分式方程：
(1)$\frac{x}{x+2}=\frac{2}{x-1}+1$；
(2)$\frac{3-x}{x-4}=\frac{1}{4-x}-2$.
思路导引 将分式方程转化为整式方程,求整式方程的解并检验,从而得到分式方程的解.
【解】(1)方程两边乘$(x+2)(x-1)$,得$x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)$,
解得$x=-\frac{1}{2}$.
检验:当$x=-\frac{1}{2}$时,$(x+2)(x-1)≠0$,所以,原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$.
(2)方程两边乘$x-4$,得$3-x=-1-2(x-4)$,解得$x=4$.
检验:当$x=4$时,$x-4=0$,
因此$x=4$不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.
规律方法 1.解分式方程
(1)基本思路:将分式方程化为整式方程.
(2)具体做法:去分母,即将方程两边乘最简公分母.
(1)$\frac{x}{x+2}=\frac{2}{x-1}+1$；
(2)$\frac{3-x}{x-4}=\frac{1}{4-x}-2$.
思路导引 将分式方程转化为整式方程,求整式方程的解并检验,从而得到分式方程的解.
【解】(1)方程两边乘$(x+2)(x-1)$,得$x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)$,
解得$x=-\frac{1}{2}$.
检验:当$x=-\frac{1}{2}$时,$(x+2)(x-1)≠0$,所以,原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$.
(2)方程两边乘$x-4$,得$3-x=-1-2(x-4)$,解得$x=4$.
检验:当$x=4$时,$x-4=0$,
因此$x=4$不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.
规律方法 1.解分式方程
(1)基本思路:将分式方程化为整式方程.
(2)具体做法:去分母,即将方程两边乘最简公分母.
答案
解：
(1) 方程两边乘$(x+2)(x-1)$，得
$x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)$
解得$x=-\frac{1}{2}$。
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+2)(x-1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。
(2) 方程两边乘$x-4$，得
$3-x=-1-2(x-4)$
解得$x=4$。
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，
因此$x=4$不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解。
(1) 方程两边乘$(x+2)(x-1)$，得
$x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)$
解得$x=-\frac{1}{2}$。
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+2)(x-1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。
(2) 方程两边乘$x-4$，得
$3-x=-1-2(x-4)$
解得$x=4$。
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，
因此$x=4$不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：①先确定最简公分母：第(1)题分母为$x+2$和$x-1$，最简公分母为$(x+2)(x-1)$；第(2)题分母为$x-4$和$4-x$，二者互为相反数，最简公分母为$x-4$。②去分母：方程两边同时乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项，第(2)题中$\frac{1}{4-x}$乘$x-4$后要变号为$-1$。③解得到的整式方程。④验根：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为0，该解是原分式方程的解；若公分母为0，该解是增根，原分式方程无解。
【解析】
(1) 方程两边乘$(x+2)(x-1)$，得：
$x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)$
展开整理得：$x^2 - x = 2x + 4 + x^2 + x - 2$
移项合并同类项得：$-4x=2$
解得$x=-\frac{1}{2}$。
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+2)(x-1)≠0$，所以$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
(2) 方程两边乘$x-4$，得：
$3-x=-1-2(x-4)$
展开整理得：$3 - x = -1 - 2x + 8$
移项合并同类项得：$x=4$。
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，因此$x=4$不是原分式方程的解，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=-\frac{1}{2}$；(2) 原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
这是分式方程求解的基础题型，解题时需注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘常数项，遇到互为相反数的分母时要做好符号转换；二是验根是解分式方程的必备步骤，不可省略。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：①先确定最简公分母：第(1)题分母为$x+2$和$x-1$，最简公分母为$(x+2)(x-1)$；第(2)题分母为$x-4$和$4-x$，二者互为相反数，最简公分母为$x-4$。②去分母：方程两边同时乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项，第(2)题中$\frac{1}{4-x}$乘$x-4$后要变号为$-1$。③解得到的整式方程。④验根：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为0，该解是原分式方程的解；若公分母为0，该解是增根，原分式方程无解。
【解析】
(1) 方程两边乘$(x+2)(x-1)$，得：
$x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)$
展开整理得：$x^2 - x = 2x + 4 + x^2 + x - 2$
移项合并同类项得：$-4x=2$
解得$x=-\frac{1}{2}$。
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+2)(x-1)≠0$，所以$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
(2) 方程两边乘$x-4$，得：
$3-x=-1-2(x-4)$
展开整理得：$3 - x = -1 - 2x + 8$
移项合并同类项得：$x=4$。
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，因此$x=4$不是原分式方程的解，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=-\frac{1}{2}$；(2) 原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
这是分式方程求解的基础题型，解题时需注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘常数项，遇到互为相反数的分母时要做好符号转换；二是验根是解分式方程的必备步骤，不可省略。
【难度系数】
0.7
