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1. 对于二次函数$y=-2(x+3)^2$的图象，下列说法正确的是 （
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=3$
C.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小
D.顶点坐标为$(-2,-3)$
C
）A.开口向上
B.对称轴是直线$x=3$
C.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小
D.顶点坐标为$(-2,-3)$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图像与性质，解题时首先将给定的二次函数与顶点式对照，确定参数$a$、$h$的取值，再根据参数的意义依次判断每个选项的正误即可。
【解析】
先将二次函数$y=-2(x+3)^2$变形为顶点式标准形式：$y=-2[x-(-3)]^2$，可得$a=-2$，$h=-3$。
对各选项逐一判断：
A选项：$a=-2＜0$，二次函数开口向下，故A错误；
B选项：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，即对称轴是直线$x=-3$，故B错误；
C选项：因为函数开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-3$时），$y$随$x$的增大而减小，故C正确；
D选项：二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，即本函数顶点坐标为$(-3,0)$，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图像特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握顶点式中各参数对应的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图像与性质，解题时首先将给定的二次函数与顶点式对照，确定参数$a$、$h$的取值，再根据参数的意义依次判断每个选项的正误即可。
【解析】
先将二次函数$y=-2(x+3)^2$变形为顶点式标准形式：$y=-2[x-(-3)]^2$，可得$a=-2$，$h=-3$。
对各选项逐一判断：
A选项：$a=-2＜0$，二次函数开口向下，故A错误；
B选项：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，即对称轴是直线$x=-3$，故B错误；
C选项：因为函数开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-3$时），$y$随$x$的增大而减小，故C正确；
D选项：二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，即本函数顶点坐标为$(-3,0)$，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图像特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握顶点式中各参数对应的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】将抛物线$y=2x^2$向左平移4个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（）
A.$y=2x^2+4$
B.$y=2(x-4)^2$
C.$y=2(x+4)^2$
D.$y=2x^2-4$
【答案】C
规律方法 抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$与$y=ax^2$的形状相同.把抛物线$y=ax^2$向左$(h＜0)$或向右$(h＞0)$平移$|h|$个单位长度，就可以得到抛物线$y=a(x-h)^2$.
A.$y=2x^2+4$
B.$y=2(x-4)^2$
C.$y=2(x+4)^2$
D.$y=2x^2-4$
【答案】C
规律方法 抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$与$y=ax^2$的形状相同.把抛物线$y=ax^2$向左$(h＜0)$或向右$(h＞0)$平移$|h|$个单位长度，就可以得到抛物线$y=a(x-h)^2$.
答案
C
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆二次函数图象平移的规律：左右平移是对自变量x本身进行操作，遵循“左加右减”的原则，即向左平移n个单位，就在x的基础上加n，向右平移n个单位就在x的基础上减n；上下平移是对整体函数值操作，遵循“上加下减”的原则。本题是向左平移4个单位，属于水平方向平移，只需对x做“加4”的变换，代入原解析式就能得到新的函数解析式，再匹配选项即可。
【解析】
解：二次函数图象左右平移遵循“左加右减”的规律，该规律仅针对自变量x进行变换。
原抛物线的解析式为$y=2x^2$，将其向左平移4个单位长度，需将解析式中的$x$替换为$x+4$，
因此平移后所得抛物线对应的函数解析式为$y=2(x+4)^2$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移类的基础常考题，易错点是混淆左右平移的加减方向，或错误地对常数项进行加减，牢记平移规律的适用对象即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆二次函数图象平移的规律：左右平移是对自变量x本身进行操作，遵循“左加右减”的原则，即向左平移n个单位，就在x的基础上加n，向右平移n个单位就在x的基础上减n；上下平移是对整体函数值操作，遵循“上加下减”的原则。本题是向左平移4个单位，属于水平方向平移，只需对x做“加4”的变换，代入原解析式就能得到新的函数解析式，再匹配选项即可。
【解析】
解：二次函数图象左右平移遵循“左加右减”的规律，该规律仅针对自变量x进行变换。
原抛物线的解析式为$y=2x^2$，将其向左平移4个单位长度，需将解析式中的$x$替换为$x+4$，
因此平移后所得抛物线对应的函数解析式为$y=2(x+4)^2$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移类的基础常考题，易错点是混淆左右平移的加减方向，或错误地对常数项进行加减，牢记平移规律的适用对象即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如果抛物线$y=(x-2)^2$向左平移1个单位长度后经过点$A(1,m)$，那么$m$的值是________。
答案
2.0
解析
【分析】
解题首先需要依据二次函数图象的平移规律求出平移后的抛物线解析式，平移规律为“左加右减（针对x的变化），上加下减（针对常数项的变化）”。得到平移后的解析式后，由于点A在平移后的抛物线上，将点A的横坐标代入解析式即可求出对应的纵坐标m的值。
【解析】
第一步：求平移后的抛物线解析式
根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，抛物线$y=(x-2)^2$向左平移1个单位长度，对x进行加1的操作，可得平移后解析式为：
$y=(x-2+1)^2=(x-1)^2$
第二步：代入点A的坐标求m
因为平移后的抛物线经过点$A(1,m)$，将$x=1$，$y=m$代入$y=(x-1)^2$得：
$m=(1-1)^2=0$
【答案】
0
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二次函数平移规律的掌握，以及对二次函数图象上点的坐标与解析式关系的理解，熟练记忆平移规律就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题首先需要依据二次函数图象的平移规律求出平移后的抛物线解析式，平移规律为“左加右减（针对x的变化），上加下减（针对常数项的变化）”。得到平移后的解析式后，由于点A在平移后的抛物线上，将点A的横坐标代入解析式即可求出对应的纵坐标m的值。
【解析】
第一步：求平移后的抛物线解析式
根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，抛物线$y=(x-2)^2$向左平移1个单位长度，对x进行加1的操作，可得平移后解析式为：
$y=(x-2+1)^2=(x-1)^2$
第二步：代入点A的坐标求m
因为平移后的抛物线经过点$A(1,m)$，将$x=1$，$y=m$代入$y=(x-1)^2$得：
$m=(1-1)^2=0$
【答案】
0
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二次函数平移规律的掌握，以及对二次函数图象上点的坐标与解析式关系的理解，熟练记忆平移规律就能快速解题。
【难度系数】
0.9
1. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ 的图象大致是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
解题时可根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质逐步排除错误选项：第一步先由$a$的正负判断抛物线开口方向，排除开口不符合的选项；第二步根据顶点式确定顶点坐标，排除顶点位置不符的选项；必要时可代入特殊点（如与y轴交点）验证，最终确定正确图象。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，选项B开口向下，排除B；
2. 确定顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，本题中$h=2$，因此顶点坐标为$(2,0)$，即顶点在x轴正半轴上：
选项A顶点在x轴下方且过原点，不符合，排除A；
选项C顶点在原点$(0,0)$，不符合，排除C；
3. 验证特殊点：当$x=0$时，代入函数得$y=\frac{1}{2}×(0-2)^2=2＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴，符合选项D的图象特征。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象判断；抛物线顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，核心考查顶点式二次函数的性质，解题时通过“开口方向→顶点坐标→特殊点验证”的顺序逐步排除错误选项，即可快速得到答案，熟练掌握顶点式的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时可根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质逐步排除错误选项：第一步先由$a$的正负判断抛物线开口方向，排除开口不符合的选项；第二步根据顶点式确定顶点坐标，排除顶点位置不符的选项；必要时可代入特殊点（如与y轴交点）验证，最终确定正确图象。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，选项B开口向下，排除B；
2. 确定顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，本题中$h=2$，因此顶点坐标为$(2,0)$，即顶点在x轴正半轴上：
选项A顶点在x轴下方且过原点，不符合，排除A；
选项C顶点在原点$(0,0)$，不符合，排除C；
3. 验证特殊点：当$x=0$时，代入函数得$y=\frac{1}{2}×(0-2)^2=2＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴，符合选项D的图象特征。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象判断；抛物线顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，核心考查顶点式二次函数的性质，解题时通过“开口方向→顶点坐标→特殊点验证”的顺序逐步排除错误选项，即可快速得到答案，熟练掌握顶点式的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.若二次函数$y=(a-5)(x-1)^2$的图象如图所示，则a的值可能是（
A.7
B.6
C.5
D.4
D
）A.7
B.6
C.5
D.4
答案
2.D
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数$y=A(x-h)^2$的图象性质：二次项系数$A$的符号决定抛物线的开口方向，$A＞0$时开口向上，$A＜0$时开口向下。观察题干给出的图象可知抛物线开口向下，因此可列出关于$a$的不等式，求解得到$a$的取值范围后，对比选项即可选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=A(x-h)^2$，其开口方向由二次项系数$A$的符号决定：
1. 若$A＞0$，抛物线开口向上；若$A＜0$，抛物线开口向下。
本题中二次函数为$y=(a-5)(x-1)^2$，对应二次项系数$A=a-5$。
2. 观察图象可知抛物线开口向下，因此$A＜0$，即：
$a-5＜0$
解得$a＜5$。
同时二次函数的二次项系数不能为0，因此$a≠5$，符合上述取值范围。
3. 对比选项：
A.$7＞5$，不符合；B.$6＞5$，不符合；C.$5=5$，此时不是二次函数，不符合；D.$4＜5$，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系、一元一次不等式的解法、二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，核心考点是二次项系数对抛物线开口方向的影响，解题时需注意二次项系数不能为0，避免错选，掌握二次函数的基本图象性质就能快速解答此类题目。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆二次函数$y=A(x-h)^2$的图象性质：二次项系数$A$的符号决定抛物线的开口方向，$A＞0$时开口向上，$A＜0$时开口向下。观察题干给出的图象可知抛物线开口向下，因此可列出关于$a$的不等式，求解得到$a$的取值范围后，对比选项即可选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=A(x-h)^2$，其开口方向由二次项系数$A$的符号决定：
1. 若$A＞0$，抛物线开口向上；若$A＜0$，抛物线开口向下。
本题中二次函数为$y=(a-5)(x-1)^2$，对应二次项系数$A=a-5$。
2. 观察图象可知抛物线开口向下，因此$A＜0$，即：
$a-5＜0$
解得$a＜5$。
同时二次函数的二次项系数不能为0，因此$a≠5$，符合上述取值范围。
3. 对比选项：
A.$7＞5$，不符合；B.$6＞5$，不符合；C.$5=5$，此时不是二次函数，不符合；D.$4＜5$，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系、一元一次不等式的解法、二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，核心考点是二次项系数对抛物线开口方向的影响，解题时需注意二次项系数不能为0，避免错选，掌握二次函数的基本图象性质就能快速解答此类题目。
【难度系数】
0.8
3.已知点$(-4,y_1),(-2,y_2)$和$(-1,y_3)$都在二次函数$y=a(x+2)^2(a＜0)$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
C
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
3.C
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，可从二次函数性质入手：首先该二次函数为顶点式，可直接确定其开口方向与对称轴；已知a＜0，抛物线开口向下，此时抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大。因此我们只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，就能快速判断$y_1、y_2、y_3$的大小；也可直接将各点横坐标代入解析式，求出y值后直接比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
∵二次函数解析式为$y=a(x+2)^2$，且$a＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$。
分别计算三个点到对称轴的距离：
点$(-4,y_1)$到直线$x=-2$的距离：$\vert -4 - (-2) \vert = 2$；
点$(-2,y_2)$到直线$x=-2$的距离：$\vert -2 - (-2) \vert = 0$；
点$(-1,y_3)$到直线$x=-2$的距离：$\vert -1 - (-2) \vert = 1$。
∵开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越小，对应函数值越大，且$0＜1＜2$，
∴$y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$，即$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$。
方法二：代入求值比较
将三个点的横坐标分别代入解析式：
当$x=-4$时，$y_1=a(-4+2)^2=4a$；
当$x=-2$时，$y_2=a(-2+2)^2=0$；
当$x=-1$时，$y_3=a(-1+2)^2=a$。
∵$a＜0$，
∴$4a ＜ a ＜ 0$，即$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数值比较、代入求值法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，两种解题方法都较为常规，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴等核心性质，能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，可从二次函数性质入手：首先该二次函数为顶点式，可直接确定其开口方向与对称轴；已知a＜0，抛物线开口向下，此时抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大。因此我们只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，就能快速判断$y_1、y_2、y_3$的大小；也可直接将各点横坐标代入解析式，求出y值后直接比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
∵二次函数解析式为$y=a(x+2)^2$，且$a＜0$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$。
分别计算三个点到对称轴的距离：
点$(-4,y_1)$到直线$x=-2$的距离：$\vert -4 - (-2) \vert = 2$；
点$(-2,y_2)$到直线$x=-2$的距离：$\vert -2 - (-2) \vert = 0$；
点$(-1,y_3)$到直线$x=-2$的距离：$\vert -1 - (-2) \vert = 1$。
∵开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越小，对应函数值越大，且$0＜1＜2$，
∴$y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$，即$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$。
方法二：代入求值比较
将三个点的横坐标分别代入解析式：
当$x=-4$时，$y_1=a(-4+2)^2=4a$；
当$x=-2$时，$y_2=a(-2+2)^2=0$；
当$x=-1$时，$y_3=a(-1+2)^2=a$。
∵$a＜0$，
∴$4a ＜ a ＜ 0$，即$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数值比较、代入求值法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，两种解题方法都较为常规，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴等核心性质，能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
4.已知二次函数$y=-(x+h)^2$，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。当$x=3$时，$y$的值为
（
A.$-16$
B.$-1$
C.$-9$
D.$0$
（
A
）A.$-16$
B.$-1$
C.$-9$
D.$0$
答案
4.A
解析
【分析】
本题可根据二次函数顶点式的增减性特征确定对称轴，再求出参数$h$得到完整解析式，最后代入$x=3$计算即可。首先回忆顶点式$y=a(x-m)^2$的性质：$a＜0$时开口向下，对称轴为直线$x=m$，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小，结合题中给出的增减性就能找到对称轴，进而求出$h$的值。
【解析】
1. 确定对称轴：已知二次函数$y=-(x+h)^2$中$a=-1＜0$，开口向下，题中给出$x＜-1$时$y$随$x$增大而增大，$x＞-1$时$y$随$x$增大而减小，符合开口向下的二次函数在对称轴左右的增减性规律，因此该函数的对称轴为直线$x=-1$。
2. 求参数$h$：二次函数$y=-(x+h)^2$可改写为$y=-(x-(-h))^2$，其对称轴为直线$x=-h$，因此有$-h=-1$，解得$h=1$，则函数解析式为$y=-(x+1)^2$。
3. 代入计算：当$x=3$时，$y=-(3+1)^2=-16$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数求值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是通过函数的增减性准确对应对称轴位置，熟练掌握顶点式的结构和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可根据二次函数顶点式的增减性特征确定对称轴，再求出参数$h$得到完整解析式，最后代入$x=3$计算即可。首先回忆顶点式$y=a(x-m)^2$的性质：$a＜0$时开口向下，对称轴为直线$x=m$，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小，结合题中给出的增减性就能找到对称轴，进而求出$h$的值。
【解析】
1. 确定对称轴：已知二次函数$y=-(x+h)^2$中$a=-1＜0$，开口向下，题中给出$x＜-1$时$y$随$x$增大而增大，$x＞-1$时$y$随$x$增大而减小，符合开口向下的二次函数在对称轴左右的增减性规律，因此该函数的对称轴为直线$x=-1$。
2. 求参数$h$：二次函数$y=-(x+h)^2$可改写为$y=-(x-(-h))^2$，其对称轴为直线$x=-h$，因此有$-h=-1$，解得$h=1$，则函数解析式为$y=-(x+1)^2$。
3. 代入计算：当$x=3$时，$y=-(3+1)^2=-16$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数求值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是通过函数的增减性准确对应对称轴位置，熟练掌握顶点式的结构和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5.已知抛物线$y=-3x^2$.若抛物线不动,把y轴向右平移3个单位长度,则在新平面直角坐标系中抛物线对应的函数解析式为
$y=-3(x+3)^2$
.答案
5.$y=-3(x+3)^2$
解析
【分析】
解题时首先要明确坐标系平移和图像平移的相对关系：y轴向右平移3个单位，等价于抛物线相对于新的平面直角坐标系向左平移了3个单位。接下来回忆二次函数图像平移的“左加右减”规律（平移针对自变量x本身进行操作），即可求出新坐标系下的函数解析式。
【解析】
步骤1：判断抛物线相对新坐标系的平移方向
y轴向右平移3个单位，相当于在新坐标系中，原抛物线向左平移了3个单位长度。
步骤2：应用二次函数平移规律计算解析式
二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，其中左右平移针对自变量x进行调整：向左平移m（m＞0）个单位时，将解析式中的x替换为x+m。
原抛物线解析式为$y=-3x^2$，向左平移3个单位后，将x替换为$x+3$，代入得新解析式为：
$y=-3(x+3)^2$
【答案】
$y=-3(x+3)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 坐标系平移的相对性
【点评】
本题的易错点是混淆平移方向，很多同学容易误将y轴向右平移等价为抛物线向右平移，错写成$y=-3(x-3)^2$。解题时可先将坐标轴的平移转化为图像相对于坐标系的平移，再套用平移规律计算即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确坐标系平移和图像平移的相对关系：y轴向右平移3个单位，等价于抛物线相对于新的平面直角坐标系向左平移了3个单位。接下来回忆二次函数图像平移的“左加右减”规律（平移针对自变量x本身进行操作），即可求出新坐标系下的函数解析式。
【解析】
步骤1：判断抛物线相对新坐标系的平移方向
y轴向右平移3个单位，相当于在新坐标系中，原抛物线向左平移了3个单位长度。
步骤2：应用二次函数平移规律计算解析式
二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，其中左右平移针对自变量x进行调整：向左平移m（m＞0）个单位时，将解析式中的x替换为x+m。
原抛物线解析式为$y=-3x^2$，向左平移3个单位后，将x替换为$x+3$，代入得新解析式为：
$y=-3(x+3)^2$
【答案】
$y=-3(x+3)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 坐标系平移的相对性
【点评】
本题的易错点是混淆平移方向，很多同学容易误将y轴向右平移等价为抛物线向右平移，错写成$y=-3(x-3)^2$。解题时可先将坐标轴的平移转化为图像相对于坐标系的平移，再套用平移规律计算即可。
【难度系数】
0.6
