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6.已知抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的顶点为点A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C.
(1)求A，B，C三点的坐标.
(2)连接AB，AC，求$△ ABC$的面积.
(3)试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
(1)求A，B，C三点的坐标.
(2)连接AB，AC，求$△ ABC$的面积.
(3)试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
答案
6.【解】(1)
∵抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的顶点为点A，
∴点 A 的坐标为(5,0).
把 $x=0$ 代入 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$,得 $y=5$.
∴点 B 的坐标为(0,5).
易知抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的对称轴为直线 $x=5$.
∴点 C 的坐标为(10,5).
(2)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$.
(3)$△ABC$ 是等腰直角三角形.
理由:由(1)知 $A(5,0),B(0,5),C(10,5)$.
∴$AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2},AC=\sqrt{(10-5)^2+5^2}=5\sqrt{2},BC=10$.
∴$AB^2+AC^2=BC^2$.
又 $AB=AC$,
∴$△ABC$ 是等腰直角三角形.
∵抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的顶点为点A，
∴点 A 的坐标为(5,0).
把 $x=0$ 代入 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$,得 $y=5$.
∴点 B 的坐标为(0,5).
易知抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的对称轴为直线 $x=5$.
∴点 C 的坐标为(10,5).
(2)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$.
(3)$△ABC$ 是等腰直角三角形.
理由:由(1)知 $A(5,0),B(0,5),C(10,5)$.
∴$AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2},AC=\sqrt{(10-5)^2+5^2}=5\sqrt{2},BC=10$.
∴$AB^2+AC^2=BC^2$.
又 $AB=AC$,
∴$△ABC$ 是等腰直角三角形.
解析
【分析】
(1) 求解三点坐标：首先根据二次函数顶点式的特征直接得到顶点A的坐标；求抛物线与y轴交点B，只需令x=0代入解析式计算y值即可；由于BC平行于x轴，B、C两点纵坐标相等，再结合抛物线对称轴的对称性，即可求出C点坐标。
(2) 计算三角形面积：BC为水平线段，可直接得出BC的长度，BC边上的高为B、C两点纵坐标与A点纵坐标的差值，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 判断三角形形状：先利用勾股定理计算出AB、AC、BC三边的长度，先通过边相等判断是否为等腰三角形，再通过勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，综合得出三角形形状。
【解析】
(1)
∵抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 为顶点式，顶点为点A，
∴点A的坐标为$(5,0)$。
求抛物线与y轴交点B，把 $x=0$ 代入 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$，得 $y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，
∴点B的坐标为$(0,5)$。
抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的对称轴为直线 $x=5$，
∵BC平行于x轴，
∴B、C关于对称轴$x=5$对称，
∴点C的横坐标为$5×2-0=10$，纵坐标为5，即C$(10,5)$。
(2) 由B$(0,5)$、C$(10,5)$得$BC=10-0=10$，BC边上的高为$5-0=5$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC×高=\frac{1}{2}×10×5=25$。
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形，理由如下：
由两点间距离公式可得：
$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$BC=10$，
∴$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，
又
∵$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=50+50=100=10^2=BC^2$，
∴$∠ BAC=90°$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $A(5,0)$，$B(0,5)$，$C(10,5)$
(2) $25$
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形
【知识点】
二次函数顶点式性质，三角形面积计算，等腰直角三角形判定
【点评】
本题是二次函数与几何的基础综合题，考查核心知识点的基础应用，解题时要熟练掌握二次函数顶点式的特征，灵活运用对称性和勾股定理逆定理解决问题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解三点坐标：首先根据二次函数顶点式的特征直接得到顶点A的坐标；求抛物线与y轴交点B，只需令x=0代入解析式计算y值即可；由于BC平行于x轴，B、C两点纵坐标相等，再结合抛物线对称轴的对称性，即可求出C点坐标。
(2) 计算三角形面积：BC为水平线段，可直接得出BC的长度，BC边上的高为B、C两点纵坐标与A点纵坐标的差值，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 判断三角形形状：先利用勾股定理计算出AB、AC、BC三边的长度，先通过边相等判断是否为等腰三角形，再通过勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，综合得出三角形形状。
【解析】
(1)
∵抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 为顶点式，顶点为点A，
∴点A的坐标为$(5,0)$。
求抛物线与y轴交点B，把 $x=0$ 代入 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$，得 $y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，
∴点B的坐标为$(0,5)$。
抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的对称轴为直线 $x=5$，
∵BC平行于x轴，
∴B、C关于对称轴$x=5$对称，
∴点C的横坐标为$5×2-0=10$，纵坐标为5，即C$(10,5)$。
(2) 由B$(0,5)$、C$(10,5)$得$BC=10-0=10$，BC边上的高为$5-0=5$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC×高=\frac{1}{2}×10×5=25$。
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形，理由如下：
由两点间距离公式可得：
$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$BC=10$，
∴$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，
又
∵$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=50+50=100=10^2=BC^2$，
∴$∠ BAC=90°$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $A(5,0)$，$B(0,5)$，$C(10,5)$
(2) $25$
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形
【知识点】
二次函数顶点式性质，三角形面积计算，等腰直角三角形判定
【点评】
本题是二次函数与几何的基础综合题，考查核心知识点的基础应用，解题时要熟练掌握二次函数顶点式的特征，灵活运用对称性和勾股定理逆定理解决问题。
【难度系数】
0.8
7.设函数$y_1=-(x-m)^2$，$y_2=-(x-n)^2$，直线$x=1$与函数$y_1,y_2$的图象分别交于点$A(1,a_1),B(1,a_2)$，下列结论正确的是（
A.若$m＜1＜n$，则$a_1＞a_2$
B.若$m＜1＜n$，则$a_1＜a_2$
C.若$m＜n＜1$，则$a_1＜a_2$
D.若$m＜n＜1$，则$a_2＜a_1$
C
）A.若$m＜1＜n$，则$a_1＞a_2$
B.若$m＜1＜n$，则$a_1＜a_2$
C.若$m＜n＜1$，则$a_1＜a_2$
D.若$m＜n＜1$，则$a_2＜a_1$
答案
7.C
解析
【分析】要判断各选项的正误，首先需计算出x=1时两个二次函数的函数值$a_1$、$a_2$，再结合$m$、$n$的取值范围比较两者大小。具体思路：①将x=1分别代入两个函数解析式，得到$a_1$、$a_2$关于m、n的表达式；②由于两个函数值均为平方项加负号，因此比较$a_1$、$a_2$的大小可转化为比较$(1-m)^2$和$(1-n)^2$的大小，平方越大，对应的带负号的数值越小；③分别针对两种m、n的取值范围分类讨论，判断选项是否成立。
【解析】将$x=1$分别代入$y_1=-(x-m)^2$和$y_2=-(x-n)^2$，可得：
$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$。
情况1：若$m＜1＜n$
此时$1-m＞0$，$1-n＜0$，因此$(1-m)^2=(1-m)^2$，$(1-n)^2=(n-1)^2$。由于不知道m、n到1的距离大小，无法判断$(1-m)^2$和$(n-1)^2$的大小，因此无法确定$a_1$、$a_2$的大小关系，故A、B选项均错误。
情况2：若$m＜n＜1$
此时$1-m＞1-n＞0$，正数越大平方越大，因此$(1-m)^2＞(1-n)^2$。不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：
$-(1-m)^2＜-(1-n)^2$，即$a_1＜a_2$。
因此C选项正确，D选项错误。
【答案】C
【知识点】二次函数顶点式，不等式的性质，平方大小比较
【点评】本题核心是结合二次函数顶点式的求值，考查不等式性质的应用，解题的关键是将带负号的函数值比较转化为平方项的大小比较，注意负数比较大小时，绝对值大的数值反而小。
【难度系数】0.7
【解析】将$x=1$分别代入$y_1=-(x-m)^2$和$y_2=-(x-n)^2$，可得：
$a_1=-(1-m)^2$，$a_2=-(1-n)^2$。
情况1：若$m＜1＜n$
此时$1-m＞0$，$1-n＜0$，因此$(1-m)^2=(1-m)^2$，$(1-n)^2=(n-1)^2$。由于不知道m、n到1的距离大小，无法判断$(1-m)^2$和$(n-1)^2$的大小，因此无法确定$a_1$、$a_2$的大小关系，故A、B选项均错误。
情况2：若$m＜n＜1$
此时$1-m＞1-n＞0$，正数越大平方越大，因此$(1-m)^2＞(1-n)^2$。不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：
$-(1-m)^2＜-(1-n)^2$，即$a_1＜a_2$。
因此C选项正确，D选项错误。
【答案】C
【知识点】二次函数顶点式，不等式的性质，平方大小比较
【点评】本题核心是结合二次函数顶点式的求值，考查不等式性质的应用，解题的关键是将带负号的函数值比较转化为平方项的大小比较，注意负数比较大小时，绝对值大的数值反而小。
【难度系数】0.7
8.如图，平行于$x$轴的直线与两条抛物线$y_1=a(x-h)^2$和$y_2=b(x-13)^2$（$a＜b$，$a,b$均不为0）相交于点$A,B,C,D$。若$AB=8$，$BC=3$，$CD=6$，则$h$的值为
6
。答案
8.6
解析
【分析】
解题时首先利用二次函数$y=a(x-h)^2$的轴对称性质：该抛物线的对称轴为直线$x=h$，平行于$x$轴的直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，即两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标。首先明确四个交点的归属：$y_1=a(x-h)^2$与平行线交于$A、C$两点，$y_2=b(x-13)^2$与平行线交于$B、D$两点。先结合$y_2$的对称轴$x=13$，通过$B、D$横坐标的平均值等于13求出$A$点横坐标，再利用$A、C$横坐标的平均值等于$h$即可求出结果。
【解析】
设点$A$的横坐标为$x$，由$AB=8$，$BC=3$，$CD=6$可得：
点$B$的横坐标为$x+8$，点$C$的横坐标为$x+8+3=x+11$，点$D$的横坐标为$x+11+6=x+17$。
∵ 抛物线$y_2=b(x-13)^2$的对称轴为直线$x=13$，且$B、D$是平行于$x$轴的直线与$y_2$的交点，
∴ $B、D$关于直线$x=13$对称，两点横坐标的平均值等于13，列方程：
$\frac{(x+8)+(x+17)}{2}=13$
解得：$2x+25=26$，$x=0.5$。
又
∵ 抛物线$y_1=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，且$A、C$是平行于$x$轴的直线与$y_1$的交点，
∴ $A、C$关于直线$x=h$对称，两点横坐标的平均值等于$h$：
$h=\frac{x+(x+11)}{2}=x+5.5$
将$x=0.5$代入得：$h=0.5+5.5=6$。
【答案】
$\boxed{6}$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；抛物线的轴对称性
【点评】
本题考查二次函数轴对称性的应用，解题关键是理解平行于$x$轴的直线与抛物线的两个交点关于抛物线对称轴对称，结合中点坐标公式即可列方程求解，理清四个交点的横坐标关系是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用二次函数$y=a(x-h)^2$的轴对称性质：该抛物线的对称轴为直线$x=h$，平行于$x$轴的直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，即两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标。首先明确四个交点的归属：$y_1=a(x-h)^2$与平行线交于$A、C$两点，$y_2=b(x-13)^2$与平行线交于$B、D$两点。先结合$y_2$的对称轴$x=13$，通过$B、D$横坐标的平均值等于13求出$A$点横坐标，再利用$A、C$横坐标的平均值等于$h$即可求出结果。
【解析】
设点$A$的横坐标为$x$，由$AB=8$，$BC=3$，$CD=6$可得：
点$B$的横坐标为$x+8$，点$C$的横坐标为$x+8+3=x+11$，点$D$的横坐标为$x+11+6=x+17$。
∵ 抛物线$y_2=b(x-13)^2$的对称轴为直线$x=13$，且$B、D$是平行于$x$轴的直线与$y_2$的交点，
∴ $B、D$关于直线$x=13$对称，两点横坐标的平均值等于13，列方程：
$\frac{(x+8)+(x+17)}{2}=13$
解得：$2x+25=26$，$x=0.5$。
又
∵ 抛物线$y_1=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，且$A、C$是平行于$x$轴的直线与$y_1$的交点，
∴ $A、C$关于直线$x=h$对称，两点横坐标的平均值等于$h$：
$h=\frac{x+(x+11)}{2}=x+5.5$
将$x=0.5$代入得：$h=0.5+5.5=6$。
【答案】
$\boxed{6}$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；抛物线的轴对称性
【点评】
本题考查二次函数轴对称性的应用，解题关键是理解平行于$x$轴的直线与抛物线的两个交点关于抛物线对称轴对称，结合中点坐标公式即可列方程求解，理清四个交点的横坐标关系是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
9. 如图，直线$y=-x-2$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$. 抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0,a,h$为常数$)$的顶点为$A$，且经过点$B$.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上，求$m$的值.
(3)请在抛物线的对称轴上找一点$P$，使$PO+PB$的值最小，求出点$P$的坐标.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上，求$m$的值.
(3)请在抛物线的对称轴上找一点$P$，使$PO+PB$的值最小，求出点$P$的坐标.
答案
9.【解】(1)把 $x=0$ 代入 $y=-x-2$,得 $y=-2$.
∴点 B 的坐标为(0,-2).
把 $y=0$ 代入 $y=-x-2$,得 $x=-2$.
∴点 A 的坐标为(-2,0).
∵抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的顶点为 $A(-2,0)$,
∴$h=-2$.
∴抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x+2)^2$.
∵抛物线经过点 $B(0,-2)$,
∴$-2=4a$. 解得 $a=-\frac{1}{2}$.
∴抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$.
(2)根据题意,得 $-\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$.
∴$(m+2)^2=9$.
解得 $m_1=1,m_2=-5$.
∴$m$ 的值为 1 或 $-5$.
(3)如图,作点 B 关于抛物线的对称轴直线 $x=-2$ 的对称点 $B'$,连接 $OB'$,$OB'$ 与该抛物线对称轴的交点即为点 P.
易得点 $B'$ 的坐标为 $(-4,-2)$.
进而得直线 $OB'$ 的解析式为 $y=\frac{1}{2}x$.
把 $x=-2$ 代入 $y=\frac{1}{2}x$,得 $y=-1$.
故点 P 的坐标为(-2,-1).
解析
【分析】
(1) 先求直线与坐标轴的交点坐标：令直线解析式中y=0可求出点A的横坐标，令x=0可求出点B的纵坐标；已知抛物线顶点为A，顶点式$y=a(x-h)^2$中h为顶点的横坐标，因此可确定h的值，再将点B坐标代入解析式即可求出a的值，得到抛物线的解析式。
(2) 抛物线上的点坐标满足抛物线解析式，将点$C(m,-\frac{9}{2})$代入已求出的抛物线解析式，解关于m的一元二次方程即可得到m的值。
(3) 本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题：抛物线的对称轴为直线$x=-2$，作点B关于对称轴的对称点$B'$，根据轴对称性质可得$PB=PB'$，则$PO+PB=PO+PB'$，当O、P、$B'$三点共线时，线段和最小；先求出$B'$的坐标，再求出直线$OB'$的解析式，将对称轴$x=-2$代入直线解析式即可得到P点的纵坐标，进而得到P点坐标。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
把$x=0$代入$y=-x-2$，得$y=-2$，$\therefore$点B的坐标为$(0,-2)$；
把$y=0$代入$y=-x-2$，得$x=-2$，$\therefore$点A的坐标为$(-2,0)$。
$\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$A(-2,0)$，$\therefore h=-2$，抛物线解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将$B(0,-2)$代入解析式得：$-2=a×(0+2)^2$，即$4a=-2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$。
(2) $\because$点$C(m,-\frac{9}{2})$在抛物线上，将其代入抛物线解析式得：
$-\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$
两边同乘$-2$得：$(m+2)^2=9$
开平方得$m+2=\pm3$，解得$m_1=1$，$m_2=-5$。
(3) 作点B关于抛物线对称轴（直线$x=-2$）的对称点$B'$，连接$OB'$，$OB'$与对称轴的交点即为所求点P。
$\because B(0,-2)$，对称轴为$x=-2$，$\therefore B'$的横坐标为$-2×2-0=-4$，纵坐标不变，即$B'(-4,-2)$。
设直线$OB'$的解析式为$y=kx$，将$B'(-4,-2)$代入得：$-2=-4k$，解得$k=\frac{1}{2}$，即直线$OB'$的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
将$x=-2$代入$y=\frac{1}{2}x$得：$y=\frac{1}{2}×(-2)=-1$，$\therefore$点P的坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$
(2) $m$的值为$1$或$-5$
(3) 点$P$的坐标为$(-2,-1)$
【知识点】
二次函数顶点式应用；二次函数点的坐标特征；轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查了一次函数与坐标轴交点的求解、顶点式二次函数解析式的确定、一元二次方程的求解以及利用轴对称解决线段和最小的问题，是二次函数的基础综合题，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，结合几何最值模型分析问题。
【难度系数】
0.7
(1) 先求直线与坐标轴的交点坐标：令直线解析式中y=0可求出点A的横坐标，令x=0可求出点B的纵坐标；已知抛物线顶点为A，顶点式$y=a(x-h)^2$中h为顶点的横坐标，因此可确定h的值，再将点B坐标代入解析式即可求出a的值，得到抛物线的解析式。
(2) 抛物线上的点坐标满足抛物线解析式，将点$C(m,-\frac{9}{2})$代入已求出的抛物线解析式，解关于m的一元二次方程即可得到m的值。
(3) 本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题：抛物线的对称轴为直线$x=-2$，作点B关于对称轴的对称点$B'$，根据轴对称性质可得$PB=PB'$，则$PO+PB=PO+PB'$，当O、P、$B'$三点共线时，线段和最小；先求出$B'$的坐标，再求出直线$OB'$的解析式，将对称轴$x=-2$代入直线解析式即可得到P点的纵坐标，进而得到P点坐标。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
把$x=0$代入$y=-x-2$，得$y=-2$，$\therefore$点B的坐标为$(0,-2)$；
把$y=0$代入$y=-x-2$，得$x=-2$，$\therefore$点A的坐标为$(-2,0)$。
$\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$A(-2,0)$，$\therefore h=-2$，抛物线解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将$B(0,-2)$代入解析式得：$-2=a×(0+2)^2$，即$4a=-2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$。
(2) $\because$点$C(m,-\frac{9}{2})$在抛物线上，将其代入抛物线解析式得：
$-\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$
两边同乘$-2$得：$(m+2)^2=9$
开平方得$m+2=\pm3$，解得$m_1=1$，$m_2=-5$。
(3) 作点B关于抛物线对称轴（直线$x=-2$）的对称点$B'$，连接$OB'$，$OB'$与对称轴的交点即为所求点P。
$\because B(0,-2)$，对称轴为$x=-2$，$\therefore B'$的横坐标为$-2×2-0=-4$，纵坐标不变，即$B'(-4,-2)$。
设直线$OB'$的解析式为$y=kx$，将$B'(-4,-2)$代入得：$-2=-4k$，解得$k=\frac{1}{2}$，即直线$OB'$的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
将$x=-2$代入$y=\frac{1}{2}x$得：$y=\frac{1}{2}×(-2)=-1$，$\therefore$点P的坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$
(2) $m$的值为$1$或$-5$
(3) 点$P$的坐标为$(-2,-1)$
【知识点】
二次函数顶点式应用；二次函数点的坐标特征；轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查了一次函数与坐标轴交点的求解、顶点式二次函数解析式的确定、一元二次方程的求解以及利用轴对称解决线段和最小的问题，是二次函数的基础综合题，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，结合几何最值模型分析问题。
【难度系数】
0.7
10.已知点$A(s,t)$在二次函数$y=2(x-m)^2$（$m$为常数）的图象上，$s-m=t(t≠0)$。当$s-1≤x≤s+2$时，二次函数的最大值与最小值的差为
$\frac{25}{2}$
。答案
10.$\frac{25}{2}$
解析
【分析】
首先利用二次函数图象上的点满足函数解析式的性质，结合已知的$s-m=t$的关系求出$t$的值，得到$s$与对称轴$x=m$的数量关系，再将给定的$x$的取值范围转化为关于对称轴$m$的区间，最后根据开口向上的二次函数的最值规律：顶点处取最小值，离对称轴最远的端点处取最大值，计算两者的差值即可。
【解析】
1. 因为点$A(s,t)$在二次函数$y=2(x-m)^2$的图象上，所以将点坐标代入解析式得：$t=2(s-m)^2$。
2. 已知$s-m=t$且$t≠0$，将$s-m=t$代入上式可得：$t=2t^2$。
3. 由于$t≠0$，等式两边同时除以$t$得：$1=2t$，解得$t=\frac{1}{2}$，因此$s-m=\frac{1}{2}$，即$s=m+\frac{1}{2}$。
4. 将$s=m+\frac{1}{2}$代入$x$的取值范围$s-1≤ x≤ s+2$，化简得：
$m+\frac{1}{2}-1≤ x≤ m+\frac{1}{2}+2$，即$m-\frac{1}{2}≤ x≤ m+\frac{5}{2}$。
5. 二次函数$y=2(x-m)^2$开口向上，对称轴为直线$x=m$，顶点坐标为$(m,0)$，因此在上述区间内，函数的最小值为顶点处的函数值，即$y_{\mathrm{min}}=0$。
6. 计算区间两端点到对称轴的距离：左端点$m-\frac{1}{2}$到$x=m$的距离为$\frac{1}{2}$，右端点$m+\frac{5}{2}$到$x=m$的距离为$\frac{5}{2}$，因为$\frac{5}{2}＞\frac{1}{2}$，所以右端点处函数值最大，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=2×(\frac{5}{2})^2=2×\frac{25}{4}=\frac{25}{2}$。
7. 最大值与最小值的差为$\frac{25}{2}-0=\frac{25}{2}$。
【答案】
$\frac{25}{2}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数最值的计算，解题核心是先推导出自变量取值范围与对称轴的位置关系，再结合二次函数开口方向确定最值对应的位置，属于二次函数性质的常规综合应用，解题时注意不要忽略$t≠0$的条件。
【难度系数】
0.6
首先利用二次函数图象上的点满足函数解析式的性质，结合已知的$s-m=t$的关系求出$t$的值，得到$s$与对称轴$x=m$的数量关系，再将给定的$x$的取值范围转化为关于对称轴$m$的区间，最后根据开口向上的二次函数的最值规律：顶点处取最小值，离对称轴最远的端点处取最大值，计算两者的差值即可。
【解析】
1. 因为点$A(s,t)$在二次函数$y=2(x-m)^2$的图象上，所以将点坐标代入解析式得：$t=2(s-m)^2$。
2. 已知$s-m=t$且$t≠0$，将$s-m=t$代入上式可得：$t=2t^2$。
3. 由于$t≠0$，等式两边同时除以$t$得：$1=2t$，解得$t=\frac{1}{2}$，因此$s-m=\frac{1}{2}$，即$s=m+\frac{1}{2}$。
4. 将$s=m+\frac{1}{2}$代入$x$的取值范围$s-1≤ x≤ s+2$，化简得：
$m+\frac{1}{2}-1≤ x≤ m+\frac{1}{2}+2$，即$m-\frac{1}{2}≤ x≤ m+\frac{5}{2}$。
5. 二次函数$y=2(x-m)^2$开口向上，对称轴为直线$x=m$，顶点坐标为$(m,0)$，因此在上述区间内，函数的最小值为顶点处的函数值，即$y_{\mathrm{min}}=0$。
6. 计算区间两端点到对称轴的距离：左端点$m-\frac{1}{2}$到$x=m$的距离为$\frac{1}{2}$，右端点$m+\frac{5}{2}$到$x=m$的距离为$\frac{5}{2}$，因为$\frac{5}{2}＞\frac{1}{2}$，所以右端点处函数值最大，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=2×(\frac{5}{2})^2=2×\frac{25}{4}=\frac{25}{2}$。
7. 最大值与最小值的差为$\frac{25}{2}-0=\frac{25}{2}$。
【答案】
$\frac{25}{2}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数最值的计算，解题核心是先推导出自变量取值范围与对称轴的位置关系，再结合二次函数开口方向确定最值对应的位置，属于二次函数性质的常规综合应用，解题时注意不要忽略$t≠0$的条件。
【难度系数】
0.6
