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1. 对于抛物线 $ y=-2(x+1)^2+3 $，下列说法正确的是（
A.对称轴是直线 $ x=1 $
B.顶点坐标为 $ (1,3) $
C.当 $ x=-1 $ 时，$ y $ 取最大值3
D.当 $ x＞1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
C
）A.对称轴是直线 $ x=1 $
B.顶点坐标为 $ (1,3) $
C.当 $ x=-1 $ 时，$ y $ 取最大值3
D.当 $ x＞1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题思路如下：首先从给出的解析式中提取参数$a$、$h$、$k$的值，明确$a$决定开口方向、对称轴为直线$x=h$、顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断最值和增减性，逐一验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
将抛物线$y=-2(x+1)^2+3$变形为顶点式标准形式$y=-2[x-(-1)]^2+3$，可得参数：$a=-2$，$h=-1$，$k=3$。
验证A选项：抛物线对称轴为直线$x=h=-1$，不是直线$x=1$，A错误；
验证B选项：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(-1,3)$，不是$(1,3)$，B错误；
验证C选项：$a=-2＜0$，抛物线开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=-1$时，$y$取得最大值，最大值为$k=3$，C正确；
验证D选项：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，因此当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，故$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值；二次函数增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数顶点式中各参数的意义，易错点是容易搞错顶点式中$h$的符号，将$x+1$对应的$h$误判为1，只要注意符号问题就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题思路如下：首先从给出的解析式中提取参数$a$、$h$、$k$的值，明确$a$决定开口方向、对称轴为直线$x=h$、顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断最值和增减性，逐一验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
将抛物线$y=-2(x+1)^2+3$变形为顶点式标准形式$y=-2[x-(-1)]^2+3$，可得参数：$a=-2$，$h=-1$，$k=3$。
验证A选项：抛物线对称轴为直线$x=h=-1$，不是直线$x=1$，A错误；
验证B选项：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(-1,3)$，不是$(1,3)$，B错误；
验证C选项：$a=-2＜0$，抛物线开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=-1$时，$y$取得最大值，最大值为$k=3$，C正确；
验证D选项：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，因此当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，故$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值；二次函数增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数顶点式中各参数的意义，易错点是容易搞错顶点式中$h$的符号，将$x+1$对应的$h$误判为1，只要注意符号问题就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】将抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到抛物线。
【答案】$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4$
规律方法 一般地，抛物线$y=a(x-h)^2 +k$与$y=ax^2$的形状相同，位置不同。把抛物线$y=ax^2$向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线$y=a(x-h)^2 +k$。平移的方向、距离要根据$h,k$的值来决定。
【答案】$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4$
规律方法 一般地，抛物线$y=a(x-h)^2 +k$与$y=ax^2$的形状相同，位置不同。把抛物线$y=ax^2$向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线$y=a(x-h)^2 +k$。平移的方向、距离要根据$h,k$的值来决定。
答案
解：
根据抛物线平移“左加右减、上加下减”的规律：
将抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向左平移3个单位长度，把式中的$x$替换为$x+3$，可得：
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2$
再将所得抛物线向下平移4个单位长度，在函数表达式整体后减去4，最终得到：
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4$
根据抛物线平移“左加右减、上加下减”的规律：
将抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向左平移3个单位长度，把式中的$x$替换为$x+3$，可得：
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2$
再将所得抛物线向下平移4个单位长度，在函数表达式整体后减去4，最终得到：
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4$
解析
【分析】
解决本题首先要明确抛物线平移的核心特征：平移过程中抛物线的形状不发生改变，即二次项系数$a$不变，平移遵循“左加右减，上加下减”的规则。其中“左加右减”是针对自变量$x$的操作，向左平移时给$x$加平移距离，向右平移时给$x$减平移距离，操作时要给$x$加上括号；“上加下减”是针对函数整体的操作，向上平移时在解析式末尾加平移距离，向下平移时在解析式末尾减平移距离。解题时按先处理左右平移、再处理上下平移的顺序逐步计算即可。
【解析】
根据抛物线平移“左加右减、上加下减”的规律：
1. 将抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向左平移3个单位长度，把式中的$x$替换为$x+3$，可得平移后的解析式为：
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2$
2. 再将所得抛物线向下平移4个单位长度，在函数表达式整体后减去4，最终得到解析式：
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4$
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查对平移规律的理解和应用，解题的易错点是左右平移时容易忽略给$x$加括号，掌握“左加右减针对自变量，上加下减针对函数整体”的原则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确抛物线平移的核心特征：平移过程中抛物线的形状不发生改变，即二次项系数$a$不变，平移遵循“左加右减，上加下减”的规则。其中“左加右减”是针对自变量$x$的操作，向左平移时给$x$加平移距离，向右平移时给$x$减平移距离，操作时要给$x$加上括号；“上加下减”是针对函数整体的操作，向上平移时在解析式末尾加平移距离，向下平移时在解析式末尾减平移距离。解题时按先处理左右平移、再处理上下平移的顺序逐步计算即可。
【解析】
根据抛物线平移“左加右减、上加下减”的规律：
1. 将抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向左平移3个单位长度，把式中的$x$替换为$x+3$，可得平移后的解析式为：
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2$
2. 再将所得抛物线向下平移4个单位长度，在函数表达式整体后减去4，最终得到解析式：
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4$
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，重点考查对平移规律的理解和应用，解题的易错点是左右平移时容易忽略给$x$加括号，掌握“左加右减针对自变量，上加下减针对函数整体”的原则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
2. 要将抛物线 $y=2(x-2)^2+1$ 平移得到抛物线 $y=2(x+1)^2-1$,可以 （
A.先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度
D.先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度
B
）A.先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度
D.先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度
答案
2.B
解析
【分析】
解决本题的核心是明确抛物线平移的本质是顶点的平移，二次函数图象平移时形状、开口方向均不变，仅位置改变。解题时先根据二次函数顶点式的特征找到两个抛物线的顶点坐标，再对比顶点坐标的变化：横坐标的变化对应左右平移（横坐标减小为左移，增大为右移），纵坐标的变化对应上下平移（纵坐标减小为下移，增大为上移），即可得到平移方式。
【解析】
1. 确定原抛物线的顶点坐标：对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，因此抛物线$y=2(x-2)^2+1$的顶点坐标为$(2,1)$。
2. 确定目标抛物线的顶点坐标：将$y=2(x+1)^2-1$变形为$y=2[x-(-1)]^2+(-1)$，可得其顶点坐标为$(-1,-1)$。
3. 分析平移过程：
横坐标从$2$变为$-1$，变化量为$-1-2=-3$，即向左平移3个单位长度；
纵坐标从$1$变为$-1$，变化量为$-1-1=-2$，即向下平移2个单位长度。
因此平移方式为先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式 2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是熟练掌握顶点式的顶点坐标判断方法和“左加右减、上加下减”的平移规律，做题时也可直接通过对比自变量和常数项的变化直接判断平移方式，注意不要混淆左右平移的方向。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确抛物线平移的本质是顶点的平移，二次函数图象平移时形状、开口方向均不变，仅位置改变。解题时先根据二次函数顶点式的特征找到两个抛物线的顶点坐标，再对比顶点坐标的变化：横坐标的变化对应左右平移（横坐标减小为左移，增大为右移），纵坐标的变化对应上下平移（纵坐标减小为下移，增大为上移），即可得到平移方式。
【解析】
1. 确定原抛物线的顶点坐标：对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，因此抛物线$y=2(x-2)^2+1$的顶点坐标为$(2,1)$。
2. 确定目标抛物线的顶点坐标：将$y=2(x+1)^2-1$变形为$y=2[x-(-1)]^2+(-1)$，可得其顶点坐标为$(-1,-1)$。
3. 分析平移过程：
横坐标从$2$变为$-1$，变化量为$-1-2=-3$，即向左平移3个单位长度；
纵坐标从$1$变为$-1$，变化量为$-1-1=-2$，即向下平移2个单位长度。
因此平移方式为先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式 2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是熟练掌握顶点式的顶点坐标判断方法和“左加右减、上加下减”的平移规律，做题时也可直接通过对比自变量和常数项的变化直接判断平移方式，注意不要混淆左右平移的方向。
【难度系数】
0.8
