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5. 如图，点 P 在∠AOB 的平分线上，点 E，F 分别在 OA，OB 上，且∠OFP = ∠OEP.
(1)求证：$PF=PE$.
(2)延长 FP，EP，分别交 OA，OB 于点 C，D，连接 CD. 若 DP 平分∠CDB，请回答下列问题.
①试说明 CP 平分∠ACD；
②若 $CD=2$，$S_{△ PCD}=2$，求点 P 到射线 OA 的距离.
(1)求证：$PF=PE$.
(2)延长 FP，EP，分别交 OA，OB 于点 C，D，连接 CD. 若 DP 平分∠CDB，请回答下列问题.
①试说明 CP 平分∠ACD；
②若 $CD=2$，$S_{△ PCD}=2$，求点 P 到射线 OA 的距离.
答案
(1) 证明：
∵点 P 在∠AOB 的平分线上，
∴∠EOP=∠FOP。
在△OFP 和△OEP 中，
∵$\begin{cases} ∠EOP=∠FOP, \\ ∠OFP=∠OEP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△OFP≌△OEP(AAS)。
∴PF=PE。
(2) 解：①如图，延长 FP，EP，分别交 OA，OB 于点 C，D，连接 CD，过点 P 作 OA，OB，CD 的垂线，垂足分别为 I，G，H。
∵点 P 在∠AOB 的平分线上，
∴PG=PI。
∵DP 平分∠CDB，
∴PG=PH。
∴PH=PI。
∴CP 平分∠ACD。
②由(1)得△OFP≌△OEP，
∴OF=OE，∠OFC=∠OED。
在△FOC 和△EOD 中，
∵$\begin{cases} ∠OFC=∠OED, \\ OF=OE, \\ ∠FOC=∠EOD, \end{cases}$
∴△FOC≌△EOD(ASA)。
∴OC=OD，CF=DE。
∵PF=PE，
∴PD=PC。
∴直线 OP 是线段 CD 的垂直平分线。
∴H 恰好是 OP 与 CD 的交点。
∵CD=2，$S_{△ PCD}=2$，
∴$\frac{1}{2}×CD×PH=2$。
∴PH=2。
∴PI=PH=2，即点 P 到射线 OA 的距离为 2。
解析
【分析】
(1) 要证明$PF=PE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知点$P$在$∠ AOB$的平分线上，可得一组对应角相等，结合题目给出的$∠ OFP=∠ OEP$，以及公共边$OP$，可利用AAS判定$△ OFP$和$△ OEP$全等，即可得到对应边相等。
(2) ①要说明$CP$平分$∠ ACD$，根据角平分线的判定定理，只需证明点$P$到$CD$和到$OA$的距离相等即可。过点$P$分别向$OA$、$OB$、$CD$作垂线，结合$P$在$∠ AOB$的平分线上、$DP$平分$∠ CDB$的条件，利用角平分线的性质可得到三条垂线段相等，即可推导得到$P$到$CD$和$OA$的距离相等，完成证明。
②求点$P$到$OA$的距离，即$P$到$OA$的垂线段长度，由①的结论可知该长度等于$P$到$CD$的垂线段$PH$的长度。先结合前面的全等三角形推导得到$OC=OD$、$PC=PD$，可知$OP$垂直平分$CD$，再利用$△ PCD$的面积和$CD$的长度，即可求出$PH$的长度，即为所求距离。
【解析】
(1) 证明：
∵点$P$在$∠ AOB$的平分线上，
∴$∠ EOP=∠ FOP$。
在$△ OFP$和$△ OEP$中，
∵$\begin{cases} ∠EOP=∠FOP, \\ ∠OFP=∠OEP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴$△ OFP≌△ OEP(\mathrm{AAS})$。
∴$PF=PE$。
(2) 解：①如图，延长$FP$，$EP$，分别交$OA$，$OB$于点$C$，$D$，连接$CD$，过点$P$作$OA$，$OB$，$CD$的垂线，垂足分别为$I$，$G$，$H$。
∵点$P$在$∠ AOB$的平分线上，
∴$PG=PI$。
∵$DP$平分$∠ CDB$，
∴$PG=PH$。
∴$PH=PI$。
∴$CP$平分$∠ ACD$。
②由(1)得$△ OFP≌△ OEP$，
∴$OF=OE$，$∠ OFC=∠ OED$。
在$△ FOC$和$△ EOD$中，
∵$\begin{cases} ∠OFC=∠OED, \\ OF=OE, \\ ∠FOC=∠EOD, \end{cases}$
∴$△ FOC≌△ EOD(\mathrm{ASA})$。
∴$OC=OD$，$CF=DE$。
∵$PF=PE$，
∴$PD=PC$。
∴直线$OP$是线段$CD$的垂直平分线。
∴$H$恰好是$OP$与$CD$的交点。
∵$CD=2$，$S_{△ PCD}=2$，
∴$\frac{1}{2}×CD×PH=2$。
∴$PH=2$。
∴$PI=PH=2$，即点$P$到射线$OA$的距离为2。
【答案】
(1) $PF=PE$得证；
(2) ①$CP$平分$∠ ACD$得证；②点$P$到射线$OA$的距离为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题围绕角平分线和全等三角形的核心知识点展开，解题时需要灵活运用角平分线的性质和判定实现距离的转化，结合全等三角形推导边、角的等量关系，较好地考查了学生的几何推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明$PF=PE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知点$P$在$∠ AOB$的平分线上，可得一组对应角相等，结合题目给出的$∠ OFP=∠ OEP$，以及公共边$OP$，可利用AAS判定$△ OFP$和$△ OEP$全等，即可得到对应边相等。
(2) ①要说明$CP$平分$∠ ACD$，根据角平分线的判定定理，只需证明点$P$到$CD$和到$OA$的距离相等即可。过点$P$分别向$OA$、$OB$、$CD$作垂线，结合$P$在$∠ AOB$的平分线上、$DP$平分$∠ CDB$的条件，利用角平分线的性质可得到三条垂线段相等，即可推导得到$P$到$CD$和$OA$的距离相等，完成证明。
②求点$P$到$OA$的距离，即$P$到$OA$的垂线段长度，由①的结论可知该长度等于$P$到$CD$的垂线段$PH$的长度。先结合前面的全等三角形推导得到$OC=OD$、$PC=PD$，可知$OP$垂直平分$CD$，再利用$△ PCD$的面积和$CD$的长度，即可求出$PH$的长度，即为所求距离。
【解析】
(1) 证明：
∵点$P$在$∠ AOB$的平分线上，
∴$∠ EOP=∠ FOP$。
在$△ OFP$和$△ OEP$中，
∵$\begin{cases} ∠EOP=∠FOP, \\ ∠OFP=∠OEP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴$△ OFP≌△ OEP(\mathrm{AAS})$。
∴$PF=PE$。
(2) 解：①如图，延长$FP$，$EP$，分别交$OA$，$OB$于点$C$，$D$，连接$CD$，过点$P$作$OA$，$OB$，$CD$的垂线，垂足分别为$I$，$G$，$H$。
∵点$P$在$∠ AOB$的平分线上，
∴$PG=PI$。
∵$DP$平分$∠ CDB$，
∴$PG=PH$。
∴$PH=PI$。
∴$CP$平分$∠ ACD$。
②由(1)得$△ OFP≌△ OEP$，
∴$OF=OE$，$∠ OFC=∠ OED$。
在$△ FOC$和$△ EOD$中，
∵$\begin{cases} ∠OFC=∠OED, \\ OF=OE, \\ ∠FOC=∠EOD, \end{cases}$
∴$△ FOC≌△ EOD(\mathrm{ASA})$。
∴$OC=OD$，$CF=DE$。
∵$PF=PE$，
∴$PD=PC$。
∴直线$OP$是线段$CD$的垂直平分线。
∴$H$恰好是$OP$与$CD$的交点。
∵$CD=2$，$S_{△ PCD}=2$，
∴$\frac{1}{2}×CD×PH=2$。
∴$PH=2$。
∴$PI=PH=2$，即点$P$到射线$OA$的距离为2。
【答案】
(1) $PF=PE$得证；
(2) ①$CP$平分$∠ ACD$得证；②点$P$到射线$OA$的距离为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题围绕角平分线和全等三角形的核心知识点展开，解题时需要灵活运用角平分线的性质和判定实现距离的转化，结合全等三角形推导边、角的等量关系，较好地考查了学生的几何推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.65
6. (1)已知：如图①，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P.
求证：点P在∠C的平分线上.
第6(1)题
补全下面的证明过程.
证明：如图②，过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N.
∵AD平分∠BAC，PF⊥AB，PN⊥AC，
∴
同理，
∴
∴点P在∠C的平分线上.
(2)如图，在四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠ADC的平分线相交于点O.
①求证：点O在∠BCD的平分线上.
②求证：AB+CD=AD+BC.
第6(2)题
(3)如图，在四边形ABCD中，如果AB+CD=AD+BC，那么这个四边形的四条角平分线交于一点吗？请说明理由.
第6(3)题
求证：点P在∠C的平分线上.
第6(1)题
补全下面的证明过程.
证明：如图②，过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N.
∵AD平分∠BAC，PF⊥AB，PN⊥AC，
∴
PF=PN
.同理，
PF=PM
.∴
PN=PM
.∴点P在∠C的平分线上.
(2)如图，在四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠ADC的平分线相交于点O.
①求证：点O在∠BCD的平分线上.
②求证：AB+CD=AD+BC.
第6(2)题
(3)如图，在四边形ABCD中，如果AB+CD=AD+BC，那么这个四边形的四条角平分线交于一点吗？请说明理由.
第6(3)题
答案
6. (1) PF=PN，PF=PM，PN=PM
(2) 证明：①如图，过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥DC，OH⊥AD，垂足分别为 E，F，G，H。
∵AO 平分∠BAD，
∴OE=OH。
同理，OE=OF，OH=OG。
∴OF=OG。
∴点 O 在∠BCD 的平分线上。
②
∵OE⊥AB，OH⊥AD，
∴∠OEA=∠OHA=90°。
∵AO 平分∠BAD，
∴∠OAE=∠OAH。
在△OAE 和△OAH 中，
∵$\begin{cases} ∠OAE=∠OAH, \\ ∠OEA=∠OHA, \\ AO=AO, \end{cases}$
∴△OAE≌△OAH(AAS)。
∴AE=AH。
同理，BE=BF，CF=CG，DH=DG。
∴AB+CD=AE+DG+BE+CG=AH+DH+BF+CF=AD+BC。
(3) 交于一点。
理由：如图①，作出∠A，∠D 的平分线，两条角平分线交于点 O。过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥AD，OG⊥CD，垂足分别为 E，F，G。
由(2)的证明同理可得 OE=OF=OG，AE=AF，DF=DG。
又因为 AB+CD=AD+BC，可得 BE+CG=BC。
所以(3)中的问题可以转化成：“已知：如图②，∠OEB=∠OGC=90°，OE=OG，BE+CG=BC。求证：BO 平分∠EBC，CO 平分∠BCG。”
证明：如图③，延长 BE 至点 C'，使 EC'=GC，连接 OC'。
在△OEC' 和△OGC 中，
∵$\begin{cases} EC'=GC, \\ ∠OEC'=∠OGC=90°, \\ OE=OG, \end{cases}$
∴△OEC'≌△OGC(SAS)。
∴OC'=OC，EC'=CG，∠OC'E=∠OCG。
∴BC'=BE+EC'=BE+CG=BC。
又
∵OB=OB，
∴△OBC'≌△OBC。
∴∠OBC'=∠OBC，∠OC'E=∠OCB。
∴∠OCB=∠OCG。
∴BO 平分∠ABC，CO 平分∠BCD。
解析
【分析】
(1) 要证点P在∠C的平分线上，需根据角平分线的判定定理，证明点P到∠C两边BC、AC的距离相等。过P作三边的垂线后，利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，先得到点P到AB与AC、AB与BC的距离相等，等量代换即可得到点P到BC、AC的距离相等，完成证明。
(2) ①与(1)思路一致，过O作四边形四条边的垂线，利用三个角平分线的性质，得到O到四条边的距离两两相等，最终推出O到BC、CD的距离相等，即可证O在∠BCD的平分线上；②要证线段和相等，通过证明O与各顶点分割出的直角三角形全等，得到对应小线段相等，再将AB、CD、AD、BC拆分为小线段重组，即可得到目标等式。
(3) 判断四条角平分线是否共点，可先作∠A和∠D的平分线交于点O，作各边垂线，结合已知AB+CD=AD+BC推导出线段关系，再构造全等三角形证明BO、CO也是对应角的平分线，即可说明四条角平分线都过O点，即交于一点。
【解析】
(1) 根据角平分线的性质，AD平分∠BAC，PF⊥AB，PN⊥AC，得PF=PN；同理BE平分∠ABC，PF⊥AB，PM⊥BC，得PF=PM；等量代换得PN=PM，即点P到AC、BC的距离相等，因此点P在∠C的平分线上。
(2) ①过点O作四条边的垂线后，由AO平分∠BAD得OE=OH，BO平分∠ABC得OE=OF，DO平分∠ADC得OH=OG，故OF=OG，即O到BC、CD的距离相等，因此O在∠BCD的平分线上。
②通过AAS证明△OAE≌△OAH、△OBE≌△OBF、△OCF≌△OCG、△ODH≌△ODG，得AE=AH、BE=BF、CF=CG、DH=DG，将AB+CD拆分为(AE+BE)+(DG+CG)，代换相等线段后即可化简得到AD+BC。
(3) 先作∠A、∠D的平分线交于O，作垂线得OE=OF=OG、AE=AF、DF=DG，结合已知条件推得BE+CG=BC；构造△OEC'≌△OGC得OC'=OC、∠OC'E=∠OCG，再证△OBC'≌△OBC，得∠OBC'=∠OBC、∠OC'E=∠OCB，即可推出BO、CO为对应角的平分线，因此四条角平分线交于O点。
【答案】
(1) PF=PN，PF=PM，PN=PM
(2) ①证明：如图，过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥DC，OH⊥AD，垂足分别为 E，F，G，H。
∵AO 平分∠BAD，
∴OE=OH。
同理，OE=OF，OH=OG。
∴OF=OG。
∴点 O 在∠BCD 的平分线上。
②证明：
∵OE⊥AB，OH⊥AD，
∴∠OEA=∠OHA=90°。
∵AO 平分∠BAD，
∴∠OAE=∠OAH。
在△OAE 和△OAH 中，
∵$\begin{cases} ∠OAE=∠OAH, \\ ∠OEA=∠OHA, \\ AO=AO, \end{cases}$
∴△OAE≌△OAH(AAS)。
∴AE=AH。
同理，BE=BF，CF=CG，DH=DG。
∴AB+CD=AE+DG+BE+CG=AH+DH+BF+CF=AD+BC。
(3) 交于一点。
理由：如图①，作出∠A，∠D 的平分线，两条角平分线交于点 O。过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥AD，OG⊥CD，垂足分别为 E，F，G。
由(2)的证明同理可得 OE=OF=OG，AE=AF，DF=DG。
又因为 AB+CD=AD+BC，可得 BE+CG=BC。
所以可转化为证明：“已知：如图②，∠OEB=∠OGC=90°，OE=OG，BE+CG=BC。求证：BO 平分∠EBC，CO 平分∠BCG。”
证明：如图③，延长 BE 至点 C'，使 EC'=GC，连接 OC'。
在△OEC' 和△OGC 中，
∵$\begin{cases} EC'=GC, \\ ∠OEC'=∠OGC=90°, \\ OE=OG, \end{cases}$
∴△OEC'≌△OGC(SAS)。
∴OC'=OC，EC'=CG，∠OC'E=∠OCG。
∴BC'=BE+EC'=BE+CG=BC。
又
∵OB=OB，
∴△OBC'≌△OBC。
∴∠OBC'=∠OBC，∠OC'E=∠OCB。
∴∠OCB=∠OCG。
∴BO 平分∠ABC，CO 平分∠BCD。
即四边形ABCD的四条角平分线交于一点。
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕角平分线的性质、判定和全等三角形的应用展开，考查了逻辑推理能力和辅助线的构造方法，从正向证明点在角平分线上到逆向判定角平分线共点，逐层递进，是角平分线综合应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
(1) 要证点P在∠C的平分线上，需根据角平分线的判定定理，证明点P到∠C两边BC、AC的距离相等。过P作三边的垂线后，利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，先得到点P到AB与AC、AB与BC的距离相等，等量代换即可得到点P到BC、AC的距离相等，完成证明。
(2) ①与(1)思路一致，过O作四边形四条边的垂线，利用三个角平分线的性质，得到O到四条边的距离两两相等，最终推出O到BC、CD的距离相等，即可证O在∠BCD的平分线上；②要证线段和相等，通过证明O与各顶点分割出的直角三角形全等，得到对应小线段相等，再将AB、CD、AD、BC拆分为小线段重组，即可得到目标等式。
(3) 判断四条角平分线是否共点，可先作∠A和∠D的平分线交于点O，作各边垂线，结合已知AB+CD=AD+BC推导出线段关系，再构造全等三角形证明BO、CO也是对应角的平分线，即可说明四条角平分线都过O点，即交于一点。
【解析】
(1) 根据角平分线的性质，AD平分∠BAC，PF⊥AB，PN⊥AC，得PF=PN；同理BE平分∠ABC，PF⊥AB，PM⊥BC，得PF=PM；等量代换得PN=PM，即点P到AC、BC的距离相等，因此点P在∠C的平分线上。
(2) ①过点O作四条边的垂线后，由AO平分∠BAD得OE=OH，BO平分∠ABC得OE=OF，DO平分∠ADC得OH=OG，故OF=OG，即O到BC、CD的距离相等，因此O在∠BCD的平分线上。
②通过AAS证明△OAE≌△OAH、△OBE≌△OBF、△OCF≌△OCG、△ODH≌△ODG，得AE=AH、BE=BF、CF=CG、DH=DG，将AB+CD拆分为(AE+BE)+(DG+CG)，代换相等线段后即可化简得到AD+BC。
(3) 先作∠A、∠D的平分线交于O，作垂线得OE=OF=OG、AE=AF、DF=DG，结合已知条件推得BE+CG=BC；构造△OEC'≌△OGC得OC'=OC、∠OC'E=∠OCG，再证△OBC'≌△OBC，得∠OBC'=∠OBC、∠OC'E=∠OCB，即可推出BO、CO为对应角的平分线，因此四条角平分线交于O点。
【答案】
(1) PF=PN，PF=PM，PN=PM
(2) ①证明：如图，过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥DC，OH⊥AD，垂足分别为 E，F，G，H。
∵AO 平分∠BAD，
∴OE=OH。
同理，OE=OF，OH=OG。
∴OF=OG。
∴点 O 在∠BCD 的平分线上。
②证明：
∵OE⊥AB，OH⊥AD，
∴∠OEA=∠OHA=90°。
∵AO 平分∠BAD，
∴∠OAE=∠OAH。
在△OAE 和△OAH 中，
∵$\begin{cases} ∠OAE=∠OAH, \\ ∠OEA=∠OHA, \\ AO=AO, \end{cases}$
∴△OAE≌△OAH(AAS)。
∴AE=AH。
同理，BE=BF，CF=CG，DH=DG。
∴AB+CD=AE+DG+BE+CG=AH+DH+BF+CF=AD+BC。
(3) 交于一点。
理由：如图①，作出∠A，∠D 的平分线，两条角平分线交于点 O。过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥AD，OG⊥CD，垂足分别为 E，F，G。
由(2)的证明同理可得 OE=OF=OG，AE=AF，DF=DG。
又因为 AB+CD=AD+BC，可得 BE+CG=BC。
所以可转化为证明：“已知：如图②，∠OEB=∠OGC=90°，OE=OG，BE+CG=BC。求证：BO 平分∠EBC，CO 平分∠BCG。”
证明：如图③，延长 BE 至点 C'，使 EC'=GC，连接 OC'。
在△OEC' 和△OGC 中，
∵$\begin{cases} EC'=GC, \\ ∠OEC'=∠OGC=90°, \\ OE=OG, \end{cases}$
∴△OEC'≌△OGC(SAS)。
∴OC'=OC，EC'=CG，∠OC'E=∠OCG。
∴BC'=BE+EC'=BE+CG=BC。
又
∵OB=OB，
∴△OBC'≌△OBC。
∴∠OBC'=∠OBC，∠OC'E=∠OCB。
∴∠OCB=∠OCG。
∴BO 平分∠ABC，CO 平分∠BCD。
即四边形ABCD的四条角平分线交于一点。
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕角平分线的性质、判定和全等三角形的应用展开，考查了逻辑推理能力和辅助线的构造方法，从正向证明点在角平分线上到逆向判定角平分线共点，逐层递进，是角平分线综合应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
