7. 图①是一个平分角的仪器，其中$OD=OE$，$FD=FE$.

(1)如图②，将仪器放置在$△ ABC$上，使点$O$与顶点$A$重合，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，沿$AF$画一条射线$AP$，交$BC$于点$P$. $AP$是$∠ BAC$的平分线吗？请判断并说明理由.
(2)如图③，在(1)的条件下，过点$P$作$PQ ⊥ AB$于点$Q$. 若$PQ=6$，$AC=9$，$△ ABC$的面积为$60$，求$AB$的长.

解：(1) AP 是∠BAC 的平分线。
理由：在△ADF 和△AEF 中，
∵$\begin{cases} AD=AE, \\ AF=AF, \\ DF=EF, \end{cases}$
∴△ADF≌△AEF(SSS)。
∴∠DAF=∠EAF。
∴AP 是∠BAC 的平分线。
(2)
∵AP 平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴△APC 的高等于 PQ。
∵PQ=6，AC=9，
∴$S_{△ APC}=\frac{1}{2}×6×9=27$。
∴$S_{△ ABP}=S_{△ ABC}-S_{△ APC}=60-27=33$。
∴$AB=2S_{△ ABP}÷PQ=2×33÷6=11$。

【分析】
(1) 要判断AP是否为∠BAC的平分线，本质是要证明∠DAF=∠EAF。已知AD=AE、DF=EF，结合公共边AF，可通过SSS判定△ADF和△AEF全等，利用全等三角形对应角相等即可得到两角相等，从而判定AP是角平分线。
(2) 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P到AC的距离等于PQ的长度。先结合三角形面积公式求出△APC的面积，再用△ABC的总面积减去△APC的面积得到△ABP的面积，最后根据△ABP的面积公式反推AB的长度即可。
【解析】
(1) AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
$\begin{cases} AD=AE, \\ AF=AF, \\ DF=EF, \end{cases}$
∴△ADF≌△AEF(SSS)，
∴∠DAF=∠EAF，即AP平分∠BAC，
∴AP是∠BAC的平分线。
(2) 过点P作PG⊥AC于点G，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PG⊥AC，
∴PG=PQ=6，
∴$S_{△APC}=\frac{1}{2}×AC×PG=\frac{1}{2}×9×6=27$，
∵$S_{△ABC}=60$，
∴$S_{△ABP}=S_{△ABC}-S_{△APC}=60-27=33$，
又
∵$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×PQ$，
∴$AB=\frac{2S_{△ABP}}{PQ}=\frac{2×33}{6}=11$。
【答案】
(1) AP是∠BAC的平分线，理由见解析；
(2) $AB=11$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合角平分仪器的实际应用，考查了几何基础定理的综合运用，解题的核心是熟练掌握全等三角形判定、角平分线性质，通过定理建立已知条件和待求量的关联，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7