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(3)如图，$∠ BAC = 100°$. 若 MP 和 NQ 分别是 AB，AC 的垂直平分线，则 $∠ PAQ$ 的度数为
第2(3)题
20°
.第2(3)题
答案
2. (3) 20°
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可推出等腰三角形，再利用等边对等角得到等角关系。首先根据三角形内角和求出∠B与∠C的度数和，再结合垂直平分线的性质得到∠PAB=∠B、∠QAC=∠C，最后用∠BAC减去∠PAB与∠QAC的和，即可求出∠PAQ的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠BAC=100°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 100° = 80°$
∵MP是AB的垂直平分线，点P在MP上
∴$PA=PB$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴$∠ PAB = ∠ B$（等边对等角）
同理，
∵NQ是AC的垂直平分线，点Q在NQ上
∴$QA=QC$
∴$∠ QAC = ∠ C$
∴$∠ PAB + ∠ QAC = ∠ B + ∠ C = 80°$
∴$∠ PAQ = ∠ BAC - (∠ PAB + ∠ QAC) = 100° - 80° = 20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何角度计算题，解题的核心是利用垂直平分线的性质推导等角关系，将未知角和已知角建立关联，计算过程简单，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可推出等腰三角形，再利用等边对等角得到等角关系。首先根据三角形内角和求出∠B与∠C的度数和，再结合垂直平分线的性质得到∠PAB=∠B、∠QAC=∠C，最后用∠BAC减去∠PAB与∠QAC的和，即可求出∠PAQ的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠BAC=100°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 100° = 80°$
∵MP是AB的垂直平分线，点P在MP上
∴$PA=PB$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴$∠ PAB = ∠ B$（等边对等角）
同理，
∵NQ是AC的垂直平分线，点Q在NQ上
∴$QA=QC$
∴$∠ QAC = ∠ C$
∴$∠ PAB + ∠ QAC = ∠ B + ∠ C = 80°$
∴$∠ PAQ = ∠ BAC - (∠ PAB + ∠ QAC) = 100° - 80° = 20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何角度计算题，解题的核心是利用垂直平分线的性质推导等角关系，将未知角和已知角建立关联，计算过程简单，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
(4)如图，在$△ ABC$中，$O$是$△ ABC$三个内角平分线的交点. 若$△ ABC$的面积为36，且点$O$到$AC$边的距离为4，则$△ ABC$的周长为________。
答案
2. (4) 18
解析
【分析】
解题首先从已知条件“O是△ABC三个内角平分线的交点”入手，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出点O到△ABC三边的距离相等，都等于4。接下来考虑将△ABC的面积拆分为△OAB、△OBC、△OAC的面积之和，这三个小三角形的高均为4，底分别是△ABC的三边，因此总面积可表示为$\frac{1}{2}×$高$×$△ABC的周长，代入已知的面积数值即可求出周长。
【解析】
解：
∵O是△ABC三个内角平分线的交点，
∴根据角平分线的性质，点O到AB、BC、AC三边的距离相等，
已知点O到AC边的距离为4，
∴O到AB、BC边的距离也为4。
△ABC的面积可拆分为三个小三角形的面积和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}×AB×4 + \frac{1}{2}×BC×4 + \frac{1}{2}×AC×4$
$=\frac{1}{2}×4×(AB+BC+AC)$
$=2×C_{△ ABC}$
已知$S_{△ ABC}=36$，代入得：
$2×C_{△ ABC}=36$
解得$C_{△ ABC}=18$
【答案】
18
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；整体思想
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到点O到三边距离相等，通过分割法将大三角形面积转化为三个小三角形面积之和，进而建立面积与周长的关系求解，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知条件“O是△ABC三个内角平分线的交点”入手，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出点O到△ABC三边的距离相等，都等于4。接下来考虑将△ABC的面积拆分为△OAB、△OBC、△OAC的面积之和，这三个小三角形的高均为4，底分别是△ABC的三边，因此总面积可表示为$\frac{1}{2}×$高$×$△ABC的周长，代入已知的面积数值即可求出周长。
【解析】
解：
∵O是△ABC三个内角平分线的交点，
∴根据角平分线的性质，点O到AB、BC、AC三边的距离相等，
已知点O到AC边的距离为4，
∴O到AB、BC边的距离也为4。
△ABC的面积可拆分为三个小三角形的面积和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}×AB×4 + \frac{1}{2}×BC×4 + \frac{1}{2}×AC×4$
$=\frac{1}{2}×4×(AB+BC+AC)$
$=2×C_{△ ABC}$
已知$S_{△ ABC}=36$，代入得：
$2×C_{△ ABC}=36$
解得$C_{△ ABC}=18$
【答案】
18
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；整体思想
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到点O到三边距离相等，通过分割法将大三角形面积转化为三个小三角形面积之和，进而建立面积与周长的关系求解，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(5)如图，三条公路两两相交. 现计划修建一个油库，使该油库到三条公路的距离相等，则油库可选的位置有
4
处. 答案
2. (5) 4
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要找油库到三条两两相交的公路（可看作三条两两相交的直线）距离相等，就需要找同时在三条直线所夹角的平分线上的点。首先考虑三条公路围成的三角形内部：三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路距离相等；再考虑三角形外部：每两个相邻外角的角平分线也会相交，这类交点共有3个，每个交点到三条公路的距离也相等，两类点相加即可得到总个数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 三条公路两两相交围成一个三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，符合要求；
2. 三角形任意两个外角的角平分线也会相交，这样的交点共有3个，每个交点到三条公路的距离也相等，符合要求。
因此符合要求的位置总共有$1+3=4$处。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题易出现的错误是仅考虑三角形内部的内角平分线交点，漏掉外部的外角平分线交点，解题时要全面思考所有符合角平分线性质的点的位置。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要找油库到三条两两相交的公路（可看作三条两两相交的直线）距离相等，就需要找同时在三条直线所夹角的平分线上的点。首先考虑三条公路围成的三角形内部：三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路距离相等；再考虑三角形外部：每两个相邻外角的角平分线也会相交，这类交点共有3个，每个交点到三条公路的距离也相等，两类点相加即可得到总个数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 三条公路两两相交围成一个三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，符合要求；
2. 三角形任意两个外角的角平分线也会相交，这样的交点共有3个，每个交点到三条公路的距离也相等，符合要求。
因此符合要求的位置总共有$1+3=4$处。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题易出现的错误是仅考虑三角形内部的内角平分线交点，漏掉外部的外角平分线交点，解题时要全面思考所有符合角平分线性质的点的位置。
【难度系数】
0.6
3. 如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，$△ ABC$的三个顶点均在格点上.
(1)在图中作出$△ ABC$关于直线$MN$对称的$△ A'B'C'$.
(2)若直线$MN$上有一点$Q$，请标出使$QB+QC$的值最小时点$Q$的位置.
(3)若有格点$P$满足$PA=PC$，则图中这样的格点$P$有多少个？
(1)在图中作出$△ ABC$关于直线$MN$对称的$△ A'B'C'$.
(2)若直线$MN$上有一点$Q$，请标出使$QB+QC$的值最小时点$Q$的位置.
(3)若有格点$P$满足$PA=PC$，则图中这样的格点$P$有多少个？
答案
3. (1) △A'B'C'即为所求。
(2) 点Q即为所求。
(3) 这样的格点P有3个。
解析
【分析】
(1) 作轴对称图形的核心是找对称点：根据轴对称的性质，对称点到对称轴的距离相等，我们先分别数出△ABC三个顶点到直线MN的水平距离，在对称轴另一侧相同距离处找到对应对称点，再顺次连接即可得到对称图形。
(2) 求QB+QC最小值属于最短路径问题：利用轴对称将同侧点转化为异侧点，因为B关于MN的对称点是B'，故QB=QB'，此时QB+QC=QB'+QC，根据两点之间线段最短，连接B'C与MN的交点就是使和最小的Q点。
(3) 满足PA=PC的点在AC的垂直平分线上：先画出线段AC的垂直平分线，再数出这条线上的格点数量即可。
【解析】
(1) ① 数点A到MN的水平距离为2格，在MN右侧距离MN2格的同高度位置找到A的对称点A'；同理找到B的对称点B'（距MN3格）、C的对称点C'（距MN1格）；② 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'就是所求的对称图形。
(2) 连接B'C，线段B'C与直线MN的交点即为所求的点Q：因为B和B'关于MN对称，所以QB=QB'，则QB+QC=QB'+QC，当Q在B'C上时，QB'+QC=B'C为最小值，符合要求。
(3) 根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，画出AC的垂直平分线，数这条线上的格点，可得符合要求的格点P共有3个。
【答案】
(1) △A'B'C'即为所求。
(2) 点Q即为所求。
(3) 这样的格点P有3个。
【知识点】
轴对称作图，最短路径问题，垂直平分线的性质
【点评】
本题是轴对称相关知识的基础综合题，作图时要注意对称点位置准确，最短路径问题掌握“对称转化+两点之间线段最短”的思路，找格点时要仔细避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
(1) 作轴对称图形的核心是找对称点：根据轴对称的性质，对称点到对称轴的距离相等，我们先分别数出△ABC三个顶点到直线MN的水平距离，在对称轴另一侧相同距离处找到对应对称点，再顺次连接即可得到对称图形。
(2) 求QB+QC最小值属于最短路径问题：利用轴对称将同侧点转化为异侧点，因为B关于MN的对称点是B'，故QB=QB'，此时QB+QC=QB'+QC，根据两点之间线段最短，连接B'C与MN的交点就是使和最小的Q点。
(3) 满足PA=PC的点在AC的垂直平分线上：先画出线段AC的垂直平分线，再数出这条线上的格点数量即可。
【解析】
(1) ① 数点A到MN的水平距离为2格，在MN右侧距离MN2格的同高度位置找到A的对称点A'；同理找到B的对称点B'（距MN3格）、C的对称点C'（距MN1格）；② 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'就是所求的对称图形。
(2) 连接B'C，线段B'C与直线MN的交点即为所求的点Q：因为B和B'关于MN对称，所以QB=QB'，则QB+QC=QB'+QC，当Q在B'C上时，QB'+QC=B'C为最小值，符合要求。
(3) 根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，画出AC的垂直平分线，数这条线上的格点，可得符合要求的格点P共有3个。
【答案】
(1) △A'B'C'即为所求。
(2) 点Q即为所求。
(3) 这样的格点P有3个。
【知识点】
轴对称作图，最短路径问题，垂直平分线的性质
【点评】
本题是轴对称相关知识的基础综合题，作图时要注意对称点位置准确，最短路径问题掌握“对称转化+两点之间线段最短”的思路，找格点时要仔细避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
4. 在数学课上，老师布置了如下任务：如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$。
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段$BD$的垂直平分线，分别交$AB$，$BD$，$BC$于点$E$，$O$，$F$，连接$DE$。(保留作图痕迹，不要求写出作法)
(2)求证：$DE=BF$。
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段$BD$的垂直平分线，分别交$AB$，$BD$，$BC$于点$E$，$O$，$F$，连接$DE$。(保留作图痕迹，不要求写出作法)
(2)求证：$DE=BF$。
答案
4. (1) 如图所示。
(2) 证明：
∵BD 平分∠ABC，
∴∠EBO=∠FBO。
∵EF 是线段 BD 的垂直平分线，
∴∠BOE=∠BOF=90°，BE=DE。
在△BEO 和△BFO 中，
∵$\begin{cases} ∠EBO=∠FBO, \\ OB=OB, \\ ∠BOE=∠BOF, \end{cases}$
∴△BEO≌△BFO(ASA)。
∴BE=BF。
∴DE=BF。
解析
【分析】
(1) 作图思路：作线段BD的垂直平分线时，分别以B、D为圆心，取大于$\frac{1}{2}BD$的长度为半径画弧，两弧在BD两侧各有一个交点，连接两个交点得到的直线就是BD的垂直平分线，将该直线与AB、BD、BC的交点分别标记为E、O、F，最后连接DE，保留作图痕迹即可。
(2) 证明思路：要证DE=BF，首先根据线段垂直平分线的性质可得BE=DE，因此只需证明BE=BF即可。观察可知BE、BF分别在$△ BEO$和$△ BFO$中，结合BD是角平分线可得一组等角，EF垂直BD可得两个直角相等，再加公共边OB，可通过ASA证明两个三角形全等，得到BE=BF，最后等量代换即可推出结论。
【解析】
(1) 按上述尺规作图方法操作，保留画弧的痕迹，标注对应点并连接DE。
(2) 证明过程如下：
已知BD平分$∠ ABC$，根据角平分线定义可得$∠ EBO=∠ FBO$。
因为EF是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得$∠ BOE=∠ BOF=90°$，且点E在BD的垂直平分线上，故$BE=DE$。
在$△ BEO$和$△ BFO$中：
$\begin{cases} ∠ EBO=∠ FBO \\ OB=OB \\ ∠ BOE=∠ BOF \end{cases}$
根据角边角判定定理，可得$△ BEO≌△ BFO(\mathrm{ASA})$。
由全等三角形对应边相等，得$BE=BF$。
结合之前的结论$BE=DE$，等量代换可得$DE=BF$。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 证明：
∵BD 平分∠ABC，
∴∠EBO=∠FBO。
∵EF 是线段 BD 的垂直平分线，
∴∠BOE=∠BOF=90°，BE=DE。
在△BEO 和△BFO 中，
∵$\begin{cases} ∠EBO=∠FBO, \\ OB=OB, \\ ∠BOE=∠BOF, \end{cases}$
∴△BEO≌△BFO(ASA)。
∴BE=BF。
∴DE=BF。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题将尺规作图与几何证明结合考查，既检验了基本作图的实操能力，又考查了对核心几何性质的理解应用，解题的关键是结合已知条件找到全等三角形，通过等量代换推出待证结论。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：作线段BD的垂直平分线时，分别以B、D为圆心，取大于$\frac{1}{2}BD$的长度为半径画弧，两弧在BD两侧各有一个交点，连接两个交点得到的直线就是BD的垂直平分线，将该直线与AB、BD、BC的交点分别标记为E、O、F，最后连接DE，保留作图痕迹即可。
(2) 证明思路：要证DE=BF，首先根据线段垂直平分线的性质可得BE=DE，因此只需证明BE=BF即可。观察可知BE、BF分别在$△ BEO$和$△ BFO$中，结合BD是角平分线可得一组等角，EF垂直BD可得两个直角相等，再加公共边OB，可通过ASA证明两个三角形全等，得到BE=BF，最后等量代换即可推出结论。
【解析】
(1) 按上述尺规作图方法操作，保留画弧的痕迹，标注对应点并连接DE。
(2) 证明过程如下：
已知BD平分$∠ ABC$，根据角平分线定义可得$∠ EBO=∠ FBO$。
因为EF是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得$∠ BOE=∠ BOF=90°$，且点E在BD的垂直平分线上，故$BE=DE$。
在$△ BEO$和$△ BFO$中：
$\begin{cases} ∠ EBO=∠ FBO \\ OB=OB \\ ∠ BOE=∠ BOF \end{cases}$
根据角边角判定定理，可得$△ BEO≌△ BFO(\mathrm{ASA})$。
由全等三角形对应边相等，得$BE=BF$。
结合之前的结论$BE=DE$，等量代换可得$DE=BF$。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 证明：
∵BD 平分∠ABC，
∴∠EBO=∠FBO。
∵EF 是线段 BD 的垂直平分线，
∴∠BOE=∠BOF=90°，BE=DE。
在△BEO 和△BFO 中，
∵$\begin{cases} ∠EBO=∠FBO, \\ OB=OB, \\ ∠BOE=∠BOF, \end{cases}$
∴△BEO≌△BFO(ASA)。
∴BE=BF。
∴DE=BF。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题将尺规作图与几何证明结合考查，既检验了基本作图的实操能力，又考查了对核心几何性质的理解应用，解题的关键是结合已知条件找到全等三角形，通过等量代换推出待证结论。
【难度系数】
0.7
