6.【例3】如图，$AB // CD$，$EG ⊥ CD$于点$G$。若$∠ 1 = 58°$，求$∠ E$的度数。

6. 解:
∵ AB // CD,∠1 = 58°,
∴ ∠GFH = ∠1 = 58°.
∵ EG ⊥ CD,
∴ ∠EGF = 90°.
∴ △EFG是直角三角形.
∴ ∠E = 90° - ∠GFH = 32°.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB//CD，可联想到平行线的同位角相等的性质，∠1和∠GFH是一组同位角，因此二者度数相等；再由EG⊥CD可知∠EGF为90°，因此△EFG是直角三角形，根据直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去∠GFH的度数，即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵ AB // CD，∠1 = 58°，
∴ ∠GFH = ∠1 = 58°（两直线平行，同位角相等）。
∵ EG ⊥ CD，
∴ ∠EGF = 90°（垂直的定义），
∴ △EFG是直角三角形，
∴ ∠E = 90° - ∠GFH = 90° - 58° = 32°。
【答案】
$32°$
【知识点】
平行线的性质、直角三角形两锐角互余、垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用平行线的性质完成角的度数转化，再结合直角三角形的角的关系计算，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8

7. 如图，直线$MN// EF$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角顶点$C$在直线$MN$上，顶点$B$在直线$EF$上，$AB$交$MN$于点$D$，$∠ 1 = 50°$，$∠ 2 = 60°$，求$∠ A$的度数.

7. 解:
∵ MN // EF,∠1 = 50°,
∴ ∠BCD = ∠1 = 50°.
在△BCD中,∠BCD = 50°,∠2 = 60°,
∴ ∠ABC = 180° - ∠BCD - ∠2 = 70°.
∴ ∠A = 90° - ∠ABC = 20°.

【分析】
解题时首先结合已知的平行条件，利用平行线的内错角相等性质求出∠BCD的度数；接下来在△BCD中，根据三角形内角和为180°，结合已知的∠2的度数，即可算出∠ABC的大小；最后根据Rt△ABC的直角三角形属性，利用直角三角形两锐角互余的性质，就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ $MN// EF$，$∠ 1=50°$，
∴ $∠ BCD=∠ 1=50°$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ BCD$中，$∠ BCD=50°$，$∠ 2=60°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC=180°-∠ BCD-∠ 2=180°-50°-60°=70°$。
∵ $\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ ACB=90°$，直角三角形两个锐角互余，
∴ $∠ A=90°-∠ ABC=90°-70°=20°$。
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考察平行线性质和三角形内角相关定理，解题时只需结合已知条件逐步推导角的数量关系即可得到结果，解题关键是准确识别角的位置对应关系。
【难度系数】
0.8

1.（资阳中考）如图，$AB// CD$，过点D作$DE⊥ AC$于点E，若$∠ D=50°$，则$∠ A$的度数是（）

A.$130°$
B.$140°$
C.$150°$
D.$160°$

1. B

【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，DE⊥AC可得△CDE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质先算出∠C的度数；再结合AB//CD的条件，利用平行线同旁内角互补的性质，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
在Rt△CDE中，∠D=50°，
∴∠C=90°-∠D=90°-50°=40°，
又
∵AB//CD，
∴∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A=180°-40°=140°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；平行线的性质
【点评】
本题是基础角度计算题，解题关键是先通过直角三角形的性质求出∠C的度数，再结合平行线的性质推导∠A的度数，熟练掌握基础几何性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$中,过点$B$作$BD ⊥ AC$于点$D$,过点$C$作$CE ⊥ AB$于点$E$,$BD$,$CE$相交于点$O$.若$∠ A = 60°$,则$∠ BOC$的度数为________.

120°

【分析】
要求∠BOC的度数，观察图形可知∠BOC与∠EOD是对顶角，二者相等，因此只需先求出∠EOD的度数即可。已知BD⊥AC、CE⊥AB，可得∠ADB、∠AEC均为直角，四边形AEOD的内角和为360°，已知∠A的度数，结合两个直角的度数，即可计算出∠EOD的度数，进而得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∵四边形AEOD的内角和为360°，
∴∠EOD=360°-∠A-∠ADB-∠AEC=360°-60°-90°-90°=120°，
又
∵∠BOC与∠EOD是对顶角，
∴∠BOC=∠EOD=120°。
【答案】
120°
【知识点】
垂直的定义；四边形内角和；对顶角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是找到待求角和已知角所在的图形，结合相关角度性质建立关系求解，熟练掌握常见的角度计算公式是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8

3.（方程思想）在直角三角形中，两个锐角的度数之比是2:3，求较小的锐角的度数.

3. 解:设两个锐角的度数分别为2x,3x.
∴ 2x + 3x = 90°.
∴ x = 18°.
∴ 2x = 36°.
∴ 较小的锐角的度数为36°.

【分析】
首先明确直角三角形的隐含性质：两个锐角的和为90°，这是解题的关键已知条件。题目给出两个锐角的度数比为2:3，我们可以运用方程思想，设每份角度为x，将两个锐角分别表示为2x和3x，再根据两锐角和为90°列方程求解，最后计算较小锐角2x的数值即可。
【解析】
解：设两个锐角的度数分别为2x，3x。
∵ 直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角之和为90°
∴ $2x + 3x = 90°$
合并同类项得：$5x = 90°$
解得：$x = 18°$
∴ 较小的锐角度数为 $2x = 2×18° = 36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
直角三角形性质；比例的应用；一元一次方程求解
【点评】
本题是直角三角形内角性质的基础应用题，结合比例关系用方程法解题思路清晰直观，解题时需注意挖掘题目中隐含的“直角三角形两锐角和为90°”的条件。
【难度系数】
0.9

4. (人教八上$\mathrm{P}_{17}$习题$\mathrm{T}_{10}$改编)如图，$AB// CD$，$AE$，$CE$分别平分$∠ CAB$，$∠ ACD$.
(1)若$∠ ACD = 80°$，求$∠ E$的度数；
(2)求证:$△ ACE$是直角三角形.

4. (1)解:
∵ AE,CE分别平分∠CAB,∠ACD,
∴ ∠EAC = $\frac{1}{2}$∠CAB, ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACD.
∵ AB//CD,
∴ ∠CAB + ∠ACD = 180°.
∵ ∠ACD = 80°,
∴ ∠CAB = 100°, ∠ACE = 40°.
∴ ∠EAC = 50°.
∴ ∠E = 180° - ∠EAC - ∠ACE = 90°.
(2)证明:
∵ AE,CE分别平分∠CAB,∠ACD,
∴ ∠EAC = $\frac{1}{2}$∠CAB, ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACD.
∵ AB//CD,
∴ ∠CAB + ∠ACD = 180°.
∴ ∠EAC + ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠CAB + $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$( ∠CAB + ∠ACD) = 90°.
∴ △ACE是直角三角形.

【分析】
(1) 求解∠E的度数时，先从已知条件入手：首先根据角平分线的定义，可得∠EAC是∠CAB的一半，∠ACE是∠ACD的一半；再由$AB// CD$，利用平行线的同旁内角互补性质，得到∠CAB与∠ACD的和为$180°$，结合已知$∠ ACD=80°$，可分别算出$∠ EAC$和$∠ ACE$的度数，最后根据三角形内角和为$180°$，就能求出∠E的度数。
(2) 证明$△ ACE$是直角三角形，只需证明$△ ACE$中有一个内角为$90°$即可：仍然利用角平分线定义，将$∠ EAC+∠ ACE$转化为$\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ ACD)$，再由平行线同旁内角互补得$∠ CAB+∠ ACD=180°$，即可推出$∠ EAC+∠ ACE=90°$，进而得到$∠ E=90°$，即可证明结论。
【解析】
(1) 解：
∵ $AE$，$CE$分别平分$∠ CAB$，$∠ ACD$，
∴ $∠ EAC = \frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACD$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ CAB + ∠ ACD = 180°$。
∵ $∠ ACD = 80°$，
∴ $∠ CAB = 180° - 80° = 100°$，$∠ ACE = \frac{1}{2}×80° = 40°$，
∴ $∠ EAC = \frac{1}{2}×100° = 50°$。
∴ $∠ E = 180° - ∠ EAC - ∠ ACE = 180° - 50° - 40° = 90°$。
(2) 证明：
∵ $AE$，$CE$分别平分$∠ CAB$，$∠ ACD$，
∴ $∠ EAC = \frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACD$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ CAB + ∠ ACD = 180°$，
∴ $∠ EAC + ∠ ACE = \frac{1}{2}∠ CAB + \frac{1}{2}∠ ACD = \frac{1}{2}(∠ CAB + ∠ ACD) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，
∴ $∠ E = 180° - (∠ EAC + ∠ ACE) = 90°$，
∴ $△ ACE$是直角三角形。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$
(2) $△ ACE$是直角三角形，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查平行线、角平分线与三角形内角和的结合应用，解题的关键是熟练掌握平行线同旁内角互补的性质，结合角平分线的倍分关系推导角的和差，这类题型是平行线章节的高频考点，需熟练掌握角的推导逻辑。
【难度系数】
0.8