知识点1 直角三角形的性质与判定
1.
| 图例 | 性质 | 判定 |
| ---- | ---- | ---- |
| | 直角三角形的两个锐角
$∵ ∠ C = 90°,$
$∴$ | 有两个角 的三角形是直角三角形
$∵$ ,
$∴ ∠ C = 90°$ |

1. 互余 ∠A + ∠B = 90° 互余 ∠A + ∠B = 90°

【分析】
解题时结合三角形内角和为180°的基础结论思考：
1. 推导性质：直角三角形有一个内角是90°，剩下两个锐角的和为180°减90°，即90°，也就是两个锐角互余，对应写出角的关系式即可。
2. 推导判定：反过来，如果一个三角形中两个角的和为90°（即互余），那么第三个角的度数为180°减去这两个角的和，也就是90°，即可判定该三角形是直角三角形，对应写出判定条件即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°分析：
1. 性质部分：
已知△ABC中∠C=90°，可得∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°，即直角三角形的两个锐角互余，因此第一空填“互余”，第二空填$\boldsymbol{∠A + ∠B = 90°}$。
2. 判定部分：
如果三角形有两个角互余，即两个角的和为90°，那么第三个角就是180°-90°=90°，该三角形为直角三角形，因此第三空填“互余”，第四空填$\boldsymbol{∠A + ∠B = 90°}$。
【答案】
互余；$\boldsymbol{∠A + ∠B = 90°}$；互余；$\boldsymbol{∠A + ∠B = 90°}$
【知识点】
直角三角形的性质；直角三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对直角三角形性质和判定的理解记忆，结合三角形内角和定理即可快速作答，能有效巩固相关基础概念。
【难度系数】
0.9

2.【例1】已知:如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$.求证:$∠ A = ∠ DCB$.

2. 证明:
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠B + ∠A = 90°.
∵ CD ⊥ AB,
∴ ∠CDB = 90°.
∴ ∠DCB + ∠B = 90°.
∴ ∠A = ∠DCB.

【分析】
要证明∠A=∠DCB，可结合已知的直角条件推导角的关系：首先在Rt△ABC中，根据直角三角形两锐角互余，可得∠A与∠B的和为90°；再由CD⊥AB可知△CDB为直角三角形，同理可得∠DCB与∠B的和也为90°，最后根据同角的余角相等即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠B + ∠A = 90°。
∵ CD ⊥ AB，
∴ ∠CDB = 90°。
∴ ∠DCB + ∠B = 90°。
∴ ∠A = ∠DCB。
【答案】
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠B + ∠A = 90°.
∵ CD ⊥ AB,
∴ ∠CDB = 90°.
∴ ∠DCB + ∠B = 90°.
∴ ∠A = ∠DCB.
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题的关键是找到两个角共同的余角，借助余角的性质推导角相等，属于几何证明的入门类题型。
【难度系数】
0.9

3. 如图，$∠ B = ∠ C = 90°$，AD交BC于点O，$∠ A$与$∠ D$有什么关系？

3. 解:在Rt△ABO中,∠A = 90° - ∠AOB.
在Rt△DCO中,∠D = 90° - ∠COD.
∵ ∠AOB = ∠COD,
∴ ∠A = ∠D.

【分析】
解题时首先观察图形可得△ABO和△DCO均为直角三角形，结合直角三角形两锐角互余的性质，可分别用∠AOB、∠COD表示出∠A和∠D；再根据对顶角相等的性质，可知∠AOB与∠COD相等，最后通过等量代换就能得到∠A和∠D的数量关系。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$∠ B=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A = 90° - ∠ AOB$
在$\mathrm{Rt}△ DCO$中，$∠ C=90°$，同理可得：
$∠ D = 90° - ∠ COD$
$\because ∠ AOB$和$∠ COD$是对顶角，$\therefore ∠ AOB = ∠ COD$
$\therefore 90° - ∠ AOB = 90° - ∠ COD$，即$∠ A = ∠ D$
【答案】
$∠ A = ∠ D$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；对顶角相等
【点评】
本题是基础几何推导题，核心是利用相等的对顶角作为中间量，结合直角三角形的锐角性质完成等量代换，熟练掌握基础几何性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9

4.【例2】(人教八上$P_{14}$练习$T_{2}$改编)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ 1 = ∠ B$.求证:$△ ADE$是直角三角形.
5.如图,在$△ ABC$中,点$E$在$AB$上,点$D$在$BC$的延长线上,$AC$交$DE$于点$O$,$∠ ACD = ∠ ACB$,$∠ COD = ∠ B$.求证:$△ AOE$是直角三角形.

4. 证明:
∵ ∠C = 90°,
∴ ∠B + ∠A = 90°.
∵ ∠1 = ∠B,
∴ ∠1 + ∠A = 90°.
∴ △ADE是直角三角形.
5. 证明:
∵ ∠ACD + ∠ACB = 180°,∠ACD = ∠ACB,
∴ ∠ACD = ∠ACB = 90°.
∴ ∠BAC + ∠B = 90°.
∵ ∠AOE = ∠COD,∠COD = ∠B,
∴ ∠AOE = ∠B.
∴ ∠BAC + ∠AOE = 90°.
∴ ∠AEO = 90°,即△AOE是直角三角形.

【分析】
第4题：要证明△ADE是直角三角形，只需证明该三角形存在一个内角为90°。已知Rt△ABC中∠C=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，结合已知∠1=∠B，通过等量代换可推出∠A+∠1=90°，即可判定△ADE为直角三角形。
第5题：要证明△AOE是直角三角形，同样需证其有一个内角为90°。首先利用∠ACD与∠ACB是邻补角且两角相等的条件，可推出∠ACB=90°，再由直角三角形两锐角互余得∠BAC+∠B=90°；接着根据对顶角相等得∠AOE=∠COD，结合已知∠COD=∠B，等量代换得∠AOE=∠B，代入前式可推出∠BAC+∠AOE=90°，进而得到∠AEO=90°，完成判定。
【解析】
4. 证明:
∵ ∠C = 90°,
∴ ∠B + ∠A = 90°.
∵ ∠1 = ∠B,
∴ ∠1 + ∠A = 90°.
∴ △ADE是直角三角形.
5. 证明:
∵ ∠ACD + ∠ACB = 180°,∠ACD = ∠ACB,
∴ ∠ACD = ∠ACB = 90°.
∴ ∠BAC + ∠B = 90°.
∵ ∠AOE = ∠COD,∠COD = ∠B,
∴ ∠AOE = ∠B.
∴ ∠BAC + ∠AOE = 90°.
∴ ∠AEO = 90°,即△AOE是直角三角形.
【答案】
4. △ADE是直角三角形，证明过程见解析；
5. △AOE是直角三角形，证明过程见解析。
【知识点】
直角三角形的判定、三角形内角和定理、对顶角的性质
【点评】
这两道题是直角三角形判定的基础典型题，解题核心是通过等量代换结合三角形内角和相关性质，推导得出待证三角形的两个内角之和为90°，进而完成判定，解题过程中要注意挖掘邻补角和为180°、对顶角相等等隐含条件。
【难度系数】
0.8