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10. 若多项式$2x^my^2 + 3x^2y -1$是按x的降幂排列的，则m应满足 【 】
A.$m=2$
B.$m＞2$
C.$m≥ 2$
D.$m≥ 3$
A.$m=2$
B.$m＞2$
C.$m≥ 2$
D.$m≥ 3$
答案
C
解析
【分析】
首先回忆按x的降幂排列的定义：把多项式的各项按照x的指数从大到小的顺序排列，相同指数的项可以相邻排列。接下来分步思考：①分别找出多项式三项中x的指数：第一项$2x^my^2$中x的指数是m，第二项$3x^2y$中x的指数是2，第三项常数项中x的指数为0；②根据降幂排列的要求，左边项的x指数要大于或等于右边相邻项的x指数，因此第一项的x指数m需要大于等于第二项的x指数2，即可得到m的取值范围。
【解析】
按x的降幂排列是指多项式中各项x的指数从左到右依次不增大（即从大到小排列，允许相邻项x的指数相等）。
多项式$2x^my^2 + 3x^2y -1$的三项对应的x的次数分别为$m$、$2$、$0$，
要满足按x的降幂排列，需满足$m≥2$，
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.多项式的降幂排列
2.单项式的字母次数
【点评】
本题核心考查对降幂排列概念的掌握，易错点是容易遗漏相同次数的情况而误选B，明确降幂排列允许相邻项指定字母的次数相等，就能轻松选出正确答案。
【难度系数】
0.7
首先回忆按x的降幂排列的定义：把多项式的各项按照x的指数从大到小的顺序排列，相同指数的项可以相邻排列。接下来分步思考：①分别找出多项式三项中x的指数：第一项$2x^my^2$中x的指数是m，第二项$3x^2y$中x的指数是2，第三项常数项中x的指数为0；②根据降幂排列的要求，左边项的x指数要大于或等于右边相邻项的x指数，因此第一项的x指数m需要大于等于第二项的x指数2，即可得到m的取值范围。
【解析】
按x的降幂排列是指多项式中各项x的指数从左到右依次不增大（即从大到小排列，允许相邻项x的指数相等）。
多项式$2x^my^2 + 3x^2y -1$的三项对应的x的次数分别为$m$、$2$、$0$，
要满足按x的降幂排列，需满足$m≥2$，
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.多项式的降幂排列
2.单项式的字母次数
【点评】
本题核心考查对降幂排列概念的掌握，易错点是容易遗漏相同次数的情况而误选B，明确降幂排列允许相邻项指定字母的次数相等，就能轻松选出正确答案。
【难度系数】
0.7
11. 当$a=$
$3$
时，$xy^{|a|}+(a+3)x^3+\frac{5}{3}$是四次三项式，把这个多项式按$x$的升幂排列：$\frac{5}{3} + xy^3 + 6x^3$
。答案
11. 3 $\frac{5}{3} + xy^3 + 6x^3$
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确两个核心要求：一是多项式为四次三项式，二是按x的升幂排列。首先回忆相关概念：多项式的次数是最高次项的次数，三项式要求多项式有3个非零项。第一步先求a的值：首先确定最高次项的次数为4，观察多项式的项，只有$xy^{|a|}$可能成为四次项，它的次数为$1+|a|$，因此列等式$1+|a|=4$可求出a的可能取值；再结合三项式的要求，第二项$(a+3)x^3$的系数不能为0，否则该项消失，多项式就变成两项，排除不符合的a值，即可得到a的正确取值。第二步将a代入多项式，再按x的指数从小到大排列各项，就是x的升幂排列结果。
【解析】
1. 求a的值：
∵ 多项式$xy^{|a|}+(a+3)x^3+\frac{5}{3}$是四次三项式
∴ 最高次项的次数为4，且共有3个非零项
① 最高次项为$xy^{|a|}$，其次数为$1+|a|$，因此：
$1+|a|=4$
解得$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$
② 要保证是三项式，需$(a+3)x^3$的系数不为0，即：
$a+3≠0$，得$a≠-3$
综上，$a=3$
2. 按x的升幂排列：
将$a=3$代入原多项式，得：
$xy^3 + 6x^3 + \frac{5}{3}$
按x的升幂排列，即按x的指数从小到大排列各项：
常数项$\frac{5}{3}$（x的指数为0）→ $xy^3$（x的指数为1）→ $6x^3$（x的指数为3）
因此排列结果为$\frac{5}{3} + xy^3 + 6x^3$
【答案】
3；$\frac{5}{3} + xy^3 + 6x^3$
【知识点】
多项式的项与次数，绝对值的性质，升幂排列
【点评】
本题易错点有两个：一是求a时容易忽略三项式的要求，漏掉$a≠-3$的限制条件，误将a=-3也计入结果；二是升幂排列时看错要求的字母，误按其他字母的次数排列，解题时要注意审题，明确概念要求。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先明确两个核心要求：一是多项式为四次三项式，二是按x的升幂排列。首先回忆相关概念：多项式的次数是最高次项的次数，三项式要求多项式有3个非零项。第一步先求a的值：首先确定最高次项的次数为4，观察多项式的项，只有$xy^{|a|}$可能成为四次项，它的次数为$1+|a|$，因此列等式$1+|a|=4$可求出a的可能取值；再结合三项式的要求，第二项$(a+3)x^3$的系数不能为0，否则该项消失，多项式就变成两项，排除不符合的a值，即可得到a的正确取值。第二步将a代入多项式，再按x的指数从小到大排列各项，就是x的升幂排列结果。
【解析】
1. 求a的值：
∵ 多项式$xy^{|a|}+(a+3)x^3+\frac{5}{3}$是四次三项式
∴ 最高次项的次数为4，且共有3个非零项
① 最高次项为$xy^{|a|}$，其次数为$1+|a|$，因此：
$1+|a|=4$
解得$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$
② 要保证是三项式，需$(a+3)x^3$的系数不为0，即：
$a+3≠0$，得$a≠-3$
综上，$a=3$
2. 按x的升幂排列：
将$a=3$代入原多项式，得：
$xy^3 + 6x^3 + \frac{5}{3}$
按x的升幂排列，即按x的指数从小到大排列各项：
常数项$\frac{5}{3}$（x的指数为0）→ $xy^3$（x的指数为1）→ $6x^3$（x的指数为3）
因此排列结果为$\frac{5}{3} + xy^3 + 6x^3$
【答案】
3；$\frac{5}{3} + xy^3 + 6x^3$
【知识点】
多项式的项与次数，绝对值的性质，升幂排列
【点评】
本题易错点有两个：一是求a时容易忽略三项式的要求，漏掉$a≠-3$的限制条件，误将a=-3也计入结果；二是升幂排列时看错要求的字母，误按其他字母的次数排列，解题时要注意审题，明确概念要求。
【难度系数】
0.7
12. 多项式$\frac{2}{5}a^3b - \frac{3}{7} + ab^2$是几次几项式？是关于$a$的几次式？是关于$b$的几次式？把这个多项式按字母$a$的升幂排列，再按字母$b$的降幂排列。
答案
四次三项式，三次式，二次式，$-\frac{3}{7} + ab^2 + \frac{2}{5}a^3b$，$ab^2 + \frac{2}{5}a^3b - \frac{3}{7}$
解析
【分析】
解题时首先回忆多项式的相关概念：①几次几项式的判断：先找出多项式所有的项，再计算每个项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数，项的数量就是项数；②关于某个字母的几次式：只看该字母在各项中的指数，取最高指数即可；③升幂/降幂排列：按指定字母的指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）排列所有项，注意移动项时要连同项前面的符号一起移动，常数项对应指定字母的指数为0。
【解析】
1. 判断几次几项式：
该多项式的项分别为$\frac{2}{5}a^3b$、$-\frac{3}{7}$、$ab^2$，共3项；
各项次数：$\frac{2}{5}a^3b$的次数为$3+1=4$，$ab^2$的次数为$1+2=3$，$-\frac{3}{7}$是常数项，次数为0；
最高次项次数为4，因此该多项式是四次三项式。
2. 判断关于a的几次式：
各项中a的指数分别为：$\frac{2}{5}a^3b$中a的指数是3，$ab^2$中a的指数是1，$-\frac{3}{7}$中a的指数是0，最高指数为3，因此是关于a的三次式。
3. 判断关于b的几次式：
各项中b的指数分别为：$ab^2$中b的指数是2，$\frac{2}{5}a^3b$中b的指数是1，$-\frac{3}{7}$中b的指数是0，最高指数为2，因此是关于b的二次式。
4. 按a的升幂排列：
按a的指数从小到大排列，得：$-\frac{3}{7} + ab^2 + \frac{2}{5}a^3b$。
5. 按b的降幂排列：
按b的指数从大到小排列，得：$ab^2 + \frac{2}{5}a^3b - \frac{3}{7}$。
【答案】
四次三项式，三次式，二次式，$-\frac{3}{7} + ab^2 + \frac{2}{5}a^3b$，$ab^2 + \frac{2}{5}a^3b - \frac{3}{7}$
【知识点】
多项式的项与次数，单项式的次数，升幂降幂排列
【点评】
本题是多项式基础概念的常规考察题，解题关键是准确理解多项式次数、指定字母次数的判断规则，排列多项式时注意要携带项的符号移动，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多项式的相关概念：①几次几项式的判断：先找出多项式所有的项，再计算每个项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数，项的数量就是项数；②关于某个字母的几次式：只看该字母在各项中的指数，取最高指数即可；③升幂/降幂排列：按指定字母的指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）排列所有项，注意移动项时要连同项前面的符号一起移动，常数项对应指定字母的指数为0。
【解析】
1. 判断几次几项式：
该多项式的项分别为$\frac{2}{5}a^3b$、$-\frac{3}{7}$、$ab^2$，共3项；
各项次数：$\frac{2}{5}a^3b$的次数为$3+1=4$，$ab^2$的次数为$1+2=3$，$-\frac{3}{7}$是常数项，次数为0；
最高次项次数为4，因此该多项式是四次三项式。
2. 判断关于a的几次式：
各项中a的指数分别为：$\frac{2}{5}a^3b$中a的指数是3，$ab^2$中a的指数是1，$-\frac{3}{7}$中a的指数是0，最高指数为3，因此是关于a的三次式。
3. 判断关于b的几次式：
各项中b的指数分别为：$ab^2$中b的指数是2，$\frac{2}{5}a^3b$中b的指数是1，$-\frac{3}{7}$中b的指数是0，最高指数为2，因此是关于b的二次式。
4. 按a的升幂排列：
按a的指数从小到大排列，得：$-\frac{3}{7} + ab^2 + \frac{2}{5}a^3b$。
5. 按b的降幂排列：
按b的指数从大到小排列，得：$ab^2 + \frac{2}{5}a^3b - \frac{3}{7}$。
【答案】
四次三项式，三次式，二次式，$-\frac{3}{7} + ab^2 + \frac{2}{5}a^3b$，$ab^2 + \frac{2}{5}a^3b - \frac{3}{7}$
【知识点】
多项式的项与次数，单项式的次数，升幂降幂排列
【点评】
本题是多项式基础概念的常规考察题，解题关键是准确理解多项式次数、指定字母次数的判断规则，排列多项式时注意要携带项的符号移动，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
13. 已知多项式$-3x^{2}y^{m-1}+x^{3}y-3x^{4}-1$与单项式$2x^{4}y$的次数相同.
(1) 求$m$的值；
(2) 把这个多项式按$x$的降幂排列.
(1) 求$m$的值；
(2) 把这个多项式按$x$的降幂排列.
答案
（1）因为多项式$-3x^2y^{m-1} + x^3y - 3x^4 - 1$与单项式$2x^4y$的次数相同，所以$2 + m - 1 = 5$，所以$m = 4$ （2）$-3x^4 + x^3y - 3x^2y^3 - 1$
解析
【分析】
解题时先明确相关概念：（1）单项式的次数是所有字母的指数和，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。首先先计算出单项式$2x^4y$的次数，再找到多项式中次数最高的项，令该项的次数等于单项式的次数，列方程即可求出$m$的值；（2）按$x$的降幂排列是指把多项式的各项按照$x$的指数从大到小的顺序排列，排列时注意要保留每一项前面的符号，先将求出的$m$代入多项式，再按规则排列即可。
【解析】
(1) 先计算单项式$2x^4y$的次数：单项式的次数为所有字母指数之和，即$4+1=5$。
已知多项式的次数与该单项式次数相同，多项式$-3x^{2}y^{m-1}+x^{3}y-3x^{4}-1$中各项的次数分别为：
$x^3y$的次数是$3+1=4$，$-3x^4$的次数是4，常数项$-1$的次数是0，因此最高次项为$-3x^{2}y^{m-1}$。
令最高次项的次数等于5，列方程得：$2+m-1=5$，
解得：$m=4$。
(2) 将$m=4$代入原多项式，得：$-3x^2y^{3}+x^3y-3x^4-1$，
按$x$的降幂排列（即$x$的指数从大到小排列，各项保留原有符号），得：$-3x^4 + x^3y - 3x^2y^3 - 1$。
【答案】
（1）$m=4$；（2）$-3x^4 + x^3y - 3x^2y^3 - 1$
【知识点】
单项式的次数，多项式的次数，降幂排列
【点评】
本题是整式相关的基础题型，解题的核心是准确掌握单项式、多项式次数的定义，以及多项式降幂排列的规则，排列多项式时需注意要保留每一项的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时先明确相关概念：（1）单项式的次数是所有字母的指数和，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。首先先计算出单项式$2x^4y$的次数，再找到多项式中次数最高的项，令该项的次数等于单项式的次数，列方程即可求出$m$的值；（2）按$x$的降幂排列是指把多项式的各项按照$x$的指数从大到小的顺序排列，排列时注意要保留每一项前面的符号，先将求出的$m$代入多项式，再按规则排列即可。
【解析】
(1) 先计算单项式$2x^4y$的次数：单项式的次数为所有字母指数之和，即$4+1=5$。
已知多项式的次数与该单项式次数相同，多项式$-3x^{2}y^{m-1}+x^{3}y-3x^{4}-1$中各项的次数分别为：
$x^3y$的次数是$3+1=4$，$-3x^4$的次数是4，常数项$-1$的次数是0，因此最高次项为$-3x^{2}y^{m-1}$。
令最高次项的次数等于5，列方程得：$2+m-1=5$，
解得：$m=4$。
(2) 将$m=4$代入原多项式，得：$-3x^2y^{3}+x^3y-3x^4-1$，
按$x$的降幂排列（即$x$的指数从大到小排列，各项保留原有符号），得：$-3x^4 + x^3y - 3x^2y^3 - 1$。
【答案】
（1）$m=4$；（2）$-3x^4 + x^3y - 3x^2y^3 - 1$
【知识点】
单项式的次数，多项式的次数，降幂排列
【点评】
本题是整式相关的基础题型，解题的核心是准确掌握单项式、多项式次数的定义，以及多项式降幂排列的规则，排列多项式时需注意要保留每一项的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
14. 先阅读下列材料，然后解答问题.
材料一:将多项式按某个字母(如$x$)的指数从大到小(或从小到大)依次排列，我们称这种排列叫做关于$x$的降幂(或升幂)排列.如:把多项式$3x^2y - 4xy^2 + x^3 -5y^3$按字母$x$的降幂排列为$x^3 +3x^2y -4xy^2 -5y^3$.
材料二:多项式$-\frac{1}{2}x^3 +x +8$中含有$x^3$项、$x$项、常数项，按$x$的降幂排列缺$x^2$项，我们可以补入$0· x^2$作$x$的二次项，使原式成为$-\frac{1}{2}x^3 +0· x^2 +x +8$的形式，这样的做法叫做补入多项式的缺项.
解答下列问题:
(1) 请将多项式$3x^2y -4xy^2 +x^3 -5y^3$按字母$y$的升幂排列;
(2) 请补入多项式$-x +x^4 +1$的缺项，按字母$x$的降幂排列.
材料一:将多项式按某个字母(如$x$)的指数从大到小(或从小到大)依次排列，我们称这种排列叫做关于$x$的降幂(或升幂)排列.如:把多项式$3x^2y - 4xy^2 + x^3 -5y^3$按字母$x$的降幂排列为$x^3 +3x^2y -4xy^2 -5y^3$.
材料二:多项式$-\frac{1}{2}x^3 +x +8$中含有$x^3$项、$x$项、常数项，按$x$的降幂排列缺$x^2$项，我们可以补入$0· x^2$作$x$的二次项，使原式成为$-\frac{1}{2}x^3 +0· x^2 +x +8$的形式，这样的做法叫做补入多项式的缺项.
解答下列问题:
(1) 请将多项式$3x^2y -4xy^2 +x^3 -5y^3$按字母$y$的升幂排列;
(2) 请补入多项式$-x +x^4 +1$的缺项，按字母$x$的降幂排列.
答案
（1）$x^3 + 3x^2y - 4xy^2 - 5y^3$ （2）补入$-x + x^4 + 1$的缺项为$-x + x^4 + 1 + 0·x^3 + 0·x^2$，按字母$x$的降幂排列为：$x^4 + 0·x^3 + 0·x^2 - x + 1$
解析
【分析】
第(1)问解题思路：首先明确按字母y的升幂排列的规则，即把多项式中所有项按y的指数从小到大的顺序排列，移动项时要连同项前的符号一起移动，不含y的项y的指数为0，排在最前。
第(2)问解题思路：先确定原多项式各项x的次数，找出按x降幂排列时缺失的x的次数对应的项，补入系数为0的对应缺项后，再按x的指数从大到小的顺序排列即可。
【解析】
(1) 先找出多项式$3x^2y - 4xy^2 + x^3 - 5y^3$各项中y的指数：
$x^3$中y的指数为0，$3x^2y$中y的指数为1，$-4xy^2$中y的指数为2，$-5y^3$中y的指数为3。
按y的指数从小到大排列，得：$x^3 + 3x^2y - 4xy^2 - 5y^3$。
(2) 分析多项式$-x + x^4 + 1$各项x的次数：
$x^4$次数为4，$-x$次数为1，常数项1次数为0，按x降幂排列缺$x^3$、$x^2$项，补入$0·x^3$、$0·x^2$后按x的指数从大到小排列，得：$x^4 + 0·x^3 + 0·x^2 - x + 1$。
【答案】
（1）$x^3 + 3x^2y - 4xy^2 - 5y^3$
（2）$x^4 + 0·x^3 + 0·x^2 - x + 1$
【知识点】
1. 升幂排列
2. 降幂排列
3. 缺项补入
【点评】
本题考查多项式升降幂排列的基础规则，解题时要注意移动项需保留原有符号，补入缺项时系数为0的项要按要求书写，不能随意省略。
【难度系数】
0.8
第(1)问解题思路：首先明确按字母y的升幂排列的规则，即把多项式中所有项按y的指数从小到大的顺序排列，移动项时要连同项前的符号一起移动，不含y的项y的指数为0，排在最前。
第(2)问解题思路：先确定原多项式各项x的次数，找出按x降幂排列时缺失的x的次数对应的项，补入系数为0的对应缺项后，再按x的指数从大到小的顺序排列即可。
【解析】
(1) 先找出多项式$3x^2y - 4xy^2 + x^3 - 5y^3$各项中y的指数：
$x^3$中y的指数为0，$3x^2y$中y的指数为1，$-4xy^2$中y的指数为2，$-5y^3$中y的指数为3。
按y的指数从小到大排列，得：$x^3 + 3x^2y - 4xy^2 - 5y^3$。
(2) 分析多项式$-x + x^4 + 1$各项x的次数：
$x^4$次数为4，$-x$次数为1，常数项1次数为0，按x降幂排列缺$x^3$、$x^2$项，补入$0·x^3$、$0·x^2$后按x的指数从大到小排列，得：$x^4 + 0·x^3 + 0·x^2 - x + 1$。
【答案】
（1）$x^3 + 3x^2y - 4xy^2 - 5y^3$
（2）$x^4 + 0·x^3 + 0·x^2 - x + 1$
【知识点】
1. 升幂排列
2. 降幂排列
3. 缺项补入
【点评】
本题考查多项式升降幂排列的基础规则，解题时要注意移动项需保留原有符号，补入缺项时系数为0的项要按要求书写，不能随意省略。
【难度系数】
0.8
