登录
10.（黑龙江中考）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是 【 】
A.7
B.8
C.6
D.5
A.7
B.8
C.6
D.5
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确两个视图的作用：俯视图可以确定几何体底层小正方体的最少个数，每个俯视图里的正方形对应底层至少1个小正方体；主视图可以确定几何体每一列的最高层数，要让总个数最少，只需要每列至少有1个位置达到主视图要求的最高层即可。首先数出俯视图的小正方形个数得到底层数量，再根据主视图的层数要求算出上层最少的数量，相加就是总最少个数。
【解析】
1. 确定底层小正方体数量：观察俯视图，共有5个小正方形，说明几何体底层最少有5个小正方体（每个正方形位置至少1个）。
2. 确定上层最少小正方体数量：观察主视图，几何体共2层，且左右两列的高度都是2层，说明左列（对应俯视图左列的3个位置）至少有1个位置有第2层，右列（对应俯视图右列的2个位置）至少有1个位置有第2层，因此第二层最少有1+1=2个小正方体。
3. 计算总个数：最少总个数为底层数量加第二层最少数量，即$5+2=7$个。
【答案】
A
【知识点】
三视图识别，由视图确定小正方体个数
【点评】
本题是三视图的典型应用题，解题核心是区分主视图和俯视图各自反映的几何体特征，要得到最少小正方体个数只需满足每层、每列的最低层数要求即可，能有效考查空间想象能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确两个视图的作用：俯视图可以确定几何体底层小正方体的最少个数，每个俯视图里的正方形对应底层至少1个小正方体；主视图可以确定几何体每一列的最高层数，要让总个数最少，只需要每列至少有1个位置达到主视图要求的最高层即可。首先数出俯视图的小正方形个数得到底层数量，再根据主视图的层数要求算出上层最少的数量，相加就是总最少个数。
【解析】
1. 确定底层小正方体数量：观察俯视图，共有5个小正方形，说明几何体底层最少有5个小正方体（每个正方形位置至少1个）。
2. 确定上层最少小正方体数量：观察主视图，几何体共2层，且左右两列的高度都是2层，说明左列（对应俯视图左列的3个位置）至少有1个位置有第2层，右列（对应俯视图右列的2个位置）至少有1个位置有第2层，因此第二层最少有1+1=2个小正方体。
3. 计算总个数：最少总个数为底层数量加第二层最少数量，即$5+2=7$个。
【答案】
A
【知识点】
三视图识别，由视图确定小正方体个数
【点评】
本题是三视图的典型应用题，解题核心是区分主视图和俯视图各自反映的几何体特征，要得到最少小正方体个数只需满足每层、每列的最低层数要求即可，能有效考查空间想象能力。
【难度系数】
0.7
11. 若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示是它的三视图，则这一堆方便面共有
6
桶。答案
11. 6
解析
【分析】
要根据三视图计算方便面的总桶数，我们可以按“俯视图定底层，主左视图定上层”的思路解题：首先，俯视图能直接反映最底层方便面的摆放位置，有几个圆形就说明最底层有几桶；再结合主视图和左视图判断上层的桶数，主视图反映从正面看到的层数和列数，左视图反映从左面看到的层数和行数，两者结合就能确定上层的桶数，最后相加得到总数。
【解析】
1. 确定最底层桶数：观察俯视图，共有4个圆形，说明最底层（第一层）有4桶方便面。
2. 确定第二层桶数：观察主视图，可知第二层有2个位置摆放了方便面，分别在左列和右列；再结合左视图的层数信息，可确认第二层共有2桶方便面。
3. 计算总桶数：将两层数量相加，$4+2=6$（桶）。
【答案】
6
【知识点】
由三视图还原几何体；三视图的应用
【点评】
本题考查根据三视图判断实际物体的数量，解题的关键是掌握“俯视图确定底层数量，主视图和左视图共同确定上层各位置的层数”的方法，熟练掌握三视图的对应关系是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
要根据三视图计算方便面的总桶数，我们可以按“俯视图定底层，主左视图定上层”的思路解题：首先，俯视图能直接反映最底层方便面的摆放位置，有几个圆形就说明最底层有几桶；再结合主视图和左视图判断上层的桶数，主视图反映从正面看到的层数和列数，左视图反映从左面看到的层数和行数，两者结合就能确定上层的桶数，最后相加得到总数。
【解析】
1. 确定最底层桶数：观察俯视图，共有4个圆形，说明最底层（第一层）有4桶方便面。
2. 确定第二层桶数：观察主视图，可知第二层有2个位置摆放了方便面，分别在左列和右列；再结合左视图的层数信息，可确认第二层共有2桶方便面。
3. 计算总桶数：将两层数量相加，$4+2=6$（桶）。
【答案】
6
【知识点】
由三视图还原几何体；三视图的应用
【点评】
本题考查根据三视图判断实际物体的数量，解题的关键是掌握“俯视图确定底层数量，主视图和左视图共同确定上层各位置的层数”的方法，熟练掌握三视图的对应关系是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
12. 一个粮仓的三视图如图所示(单位:m),请求出它的体积. 
答案
$(\dfrac{b}{2})^2π×4+\dfrac{1}{3}×(\dfrac{b}{2})^2π×(7-4)=45π(\mathrm{m}^3)$
解析
【分析】
解题时先根据三视图判断粮仓的构成：下方是圆柱，上方是与圆柱同底面的圆锥。接下来确定两个几何体的参数：从三视图可得底面直径为6m，因此半径为3m；圆柱的高为4m，圆锥的高为总高7m减去圆柱的高4m，即3m。最后分别计算圆柱和圆锥的体积，相加即可得到粮仓的总体积。
【解析】
解：由三视图可知，该粮仓由底面直径为6m、高为4m的圆柱，和同底面、高为$7-4=3\mathrm{m}$的圆锥组合而成。
底面半径$r=\frac{6}{2}=3\mathrm{m}$
1. 计算圆柱体积：
根据圆柱体积公式$V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 h_1$，代入参数得：
$V_{\mathrm{圆柱}}=π×3^2×4=36π (\mathrm{m}^3)$
2. 计算圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}π r^2 h_2$，代入参数得：
$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}×π×3^2×3=9π (\mathrm{m}^3)$
3. 计算总体积：
$V=V_{\mathrm{圆柱}}+V_{\mathrm{圆锥}}=36π+9π=45π (\mathrm{m}^3)$
【答案】
$45π \mathrm{m}^3$
【知识点】
由三视图判断几何体；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题考查三视图的识别和几何体体积的计算，解题关键是准确还原组合几何体的结构，正确提取各部分的尺寸代入对应体积公式运算。
【难度系数】
0.7
解题时先根据三视图判断粮仓的构成：下方是圆柱，上方是与圆柱同底面的圆锥。接下来确定两个几何体的参数：从三视图可得底面直径为6m，因此半径为3m；圆柱的高为4m，圆锥的高为总高7m减去圆柱的高4m，即3m。最后分别计算圆柱和圆锥的体积，相加即可得到粮仓的总体积。
【解析】
解：由三视图可知，该粮仓由底面直径为6m、高为4m的圆柱，和同底面、高为$7-4=3\mathrm{m}$的圆锥组合而成。
底面半径$r=\frac{6}{2}=3\mathrm{m}$
1. 计算圆柱体积：
根据圆柱体积公式$V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 h_1$，代入参数得：
$V_{\mathrm{圆柱}}=π×3^2×4=36π (\mathrm{m}^3)$
2. 计算圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}π r^2 h_2$，代入参数得：
$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}×π×3^2×3=9π (\mathrm{m}^3)$
3. 计算总体积：
$V=V_{\mathrm{圆柱}}+V_{\mathrm{圆锥}}=36π+9π=45π (\mathrm{m}^3)$
【答案】
$45π \mathrm{m}^3$
【知识点】
由三视图判断几何体；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题考查三视图的识别和几何体体积的计算，解题关键是准确还原组合几何体的结构，正确提取各部分的尺寸代入对应体积公式运算。
【难度系数】
0.7
13. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为2.请求出该几何体的体积和表面积.
答案
由三视图可知,该几何体是一个长、宽、高分别为8、6、4的长方体且在上底面中间挖去一个直径为4的半圆柱,所以体积$V=8×6×4-\dfrac{1}{2}π×2^2×6=192-12π$,表面积$S=6×4×2+6×8+6×2×2+(8×4-\dfrac{1}{2}π×2^2)×2+π×4×\dfrac{1}{2}×6=48+48+24+64-4π+12π=184+8π$
解析
【分析】
首先通过观察三视图还原几何体：该几何体是一个长方体在上表面中间挖去一个半圆柱得到的。第一步先确定各部分参数：从俯视图可得长方体的长为2+4+2=8，宽为6；结合主视图和左视图可知长方体的高为4，挖去的半圆柱底面半径为2、直径为4，半圆柱的长度与长方体的宽相等为6。计算体积时，只需用长方体的体积减去半圆柱的体积即可；计算表面积时，要注意挖去半圆柱后，原长方体的前后两个面各减少了1个半圆的面积，原上表面减少了1个长为6、宽为4的长方形面积，同时新增了半圆柱的曲面侧面积，将各部分面积相加即可得到总表面积。
【解析】
由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为8、6、4的长方体，在上底面中间挖去一个底面直径为4、长度为6的半圆柱。
1. 计算体积：
长方体体积 = 长×宽×高 = $8×6×4=192$
半圆柱体积 = $\dfrac{1}{2}×π×半径^2×长度 = \dfrac{1}{2}π×2^2×6=12π$
所以几何体体积 $V=192-12π$
2. 计算表面积：
左右两个侧面面积：$6×4×2=48$
下底面面积：$8×6=48$
上表面剩余的左右两块面积：$2×6×2=24$
前后两个面的面积：每个面为长方形面积减去1个半圆面积，两个面总面积为$(8×4-\dfrac{1}{2}π×2^2)×2=64-4π$
新增的半圆柱曲面侧面积：$\dfrac{1}{2}×π×4×6=12π$
将各部分面积相加：$S=48+48+24+(64-4π)+12π=184+8π$
【答案】
体积为$\boxed{192-12π}$，表面积为$\boxed{184+8π}$
【知识点】
1. 三视图还原几何体
2. 长方体表面积与体积计算
3. 圆柱相关计算
【点评】
本题重点考查三视图的识别和立体图形的体积、表面积计算，解题核心是准确还原几何体结构，计算表面积时要格外注意挖去半圆柱后面的增减变化，避免漏算曲面面积或错算去掉的面的面积。
【难度系数】
0.6
首先通过观察三视图还原几何体：该几何体是一个长方体在上表面中间挖去一个半圆柱得到的。第一步先确定各部分参数：从俯视图可得长方体的长为2+4+2=8，宽为6；结合主视图和左视图可知长方体的高为4，挖去的半圆柱底面半径为2、直径为4，半圆柱的长度与长方体的宽相等为6。计算体积时，只需用长方体的体积减去半圆柱的体积即可；计算表面积时，要注意挖去半圆柱后，原长方体的前后两个面各减少了1个半圆的面积，原上表面减少了1个长为6、宽为4的长方形面积，同时新增了半圆柱的曲面侧面积，将各部分面积相加即可得到总表面积。
【解析】
由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为8、6、4的长方体，在上底面中间挖去一个底面直径为4、长度为6的半圆柱。
1. 计算体积：
长方体体积 = 长×宽×高 = $8×6×4=192$
半圆柱体积 = $\dfrac{1}{2}×π×半径^2×长度 = \dfrac{1}{2}π×2^2×6=12π$
所以几何体体积 $V=192-12π$
2. 计算表面积：
左右两个侧面面积：$6×4×2=48$
下底面面积：$8×6=48$
上表面剩余的左右两块面积：$2×6×2=24$
前后两个面的面积：每个面为长方形面积减去1个半圆面积，两个面总面积为$(8×4-\dfrac{1}{2}π×2^2)×2=64-4π$
新增的半圆柱曲面侧面积：$\dfrac{1}{2}×π×4×6=12π$
将各部分面积相加：$S=48+48+24+(64-4π)+12π=184+8π$
【答案】
体积为$\boxed{192-12π}$，表面积为$\boxed{184+8π}$
【知识点】
1. 三视图还原几何体
2. 长方体表面积与体积计算
3. 圆柱相关计算
【点评】
本题重点考查三视图的识别和立体图形的体积、表面积计算，解题核心是准确还原几何体结构，计算表面积时要格外注意挖去半圆柱后面的增减变化，避免漏算曲面面积或错算去掉的面的面积。
【难度系数】
0.6
