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14. 一个几何体由若干个棱长为3cm的小正方体搭成，从左面、上面看到的几何体的形状图如图所示.
（1）该几何体最少由
（2）求该几何体体积的最大值；
（3）若要给体积最小时的几何体表面涂上油漆，求所涂油漆的面积.
（1）该几何体最少由
9
个小立方体组成，最多由14
个小立方体组成；（2）求该几何体体积的最大值；
（3）若要给体积最小时的几何体表面涂上油漆，求所涂油漆的面积.
答案
14. (1) 9 14 (2) $3^3×14=378(\mathrm{cm}^3)$ (3) 有两种情形,如
所示,(i)露在外面的面数$=2×(前+俯+侧)=2×[5+6+(6+1)]=36$(个),所涂油漆的面积$S=36×9=324(\mathrm{cm}^2)$;(ii)露在外面的面数$=2×(前+俯+侧)=2×[6+6+(6+1)]=38$(个),所涂油漆的面积$S=38×9=342(\mathrm{cm}^2)$解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分步骤思考：
1. 求小正方体最少、最多数量：首先俯视图能确定几何体底层的小正方体个数（每个俯视图的正方形对应底层1个小正方体）；再结合左视图的每列高度，确定几何体每一排（前后方向）的最大层数：
最少数量：每一排仅需有1个小正方体达到该排的最大层数，其余均为1层即可；
最多数量：每一排的所有小正方体都达到该排的最大层数。
2. 求最大体积：先算出单个小正方体的体积，再乘最多的小正方体总个数即可。
3. 求最小时的涂漆面积：体积最小时有两种搭建情况，分别数出几何体露在外面的面的总个数，再乘单个正方形面的面积即可，计算露在外面的面可通过三视图法简化计算。
【解析】
（1）观察俯视图可知，几何体底层固定有6个小正方体。
观察左视图可知，几何体从前到后三排的最大高度分别为2层、3层、1层：
最少数量：仅需第二排有1个小正方体为3层（比底层多2个），第一排有1个小正方体为2层（比底层多1个），其余小正方体都为1层，总个数为$6+2+1=9$个；
最多数量：第一排所有小正方体都为2层，第二排所有小正方体都为3层，第三排均为1层，总个数为14个。
（2）单个小正方体的体积为$3^3=27(\mathrm{cm}^3)$，体积最大时共有14个小正方体，因此总体积为$27×14=378(\mathrm{cm}^3)$。
（3）单个正方形面的面积为$3×3=9(\mathrm{cm}^2)$，体积最小时有两种搭建情形：
(i) 第一种情形：露在外面的总面数$=2×(前+俯+侧)=2×[5+6+(6+1)]=36$（个），涂漆面积$S=36×9=324(\mathrm{cm}^2)$；
(ii) 第二种情形：露在外面的总面数$=2×(前+俯+侧)=2×[6+6+(6+1)]=38$（个），涂漆面积$S=38×9=342(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 9；14
(2) $3^3×14=378(\mathrm{cm}^3)$
(3) 有两种情形,如所示,(i)露在外面的面数$=2×(前+俯+侧)=2×[5+6+(6+1)]=36$(个),所涂油漆的面积$S=36×9=324(\mathrm{cm}^2)$;(ii)露在外面的面数$=2×(前+俯+侧)=2×[6+6+(6+1)]=38$(个),所涂油漆的面积$S=38×9=342(\mathrm{cm}^2)$
【知识点】
由三视图判断几何体；几何体的体积；几何体的表面积
【点评】
本题重点考查三视图与几何体的对应关系，解题时需明确俯视图确定底层数量、左视图确定各排最大高度的规律，同时注意小正方体最少时存在多种搭建情况，需要分类讨论计算表面积，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，我们可以分步骤思考：
1. 求小正方体最少、最多数量：首先俯视图能确定几何体底层的小正方体个数（每个俯视图的正方形对应底层1个小正方体）；再结合左视图的每列高度，确定几何体每一排（前后方向）的最大层数：
最少数量：每一排仅需有1个小正方体达到该排的最大层数，其余均为1层即可；
最多数量：每一排的所有小正方体都达到该排的最大层数。
2. 求最大体积：先算出单个小正方体的体积，再乘最多的小正方体总个数即可。
3. 求最小时的涂漆面积：体积最小时有两种搭建情况，分别数出几何体露在外面的面的总个数，再乘单个正方形面的面积即可，计算露在外面的面可通过三视图法简化计算。
【解析】
（1）观察俯视图可知，几何体底层固定有6个小正方体。
观察左视图可知，几何体从前到后三排的最大高度分别为2层、3层、1层：
最少数量：仅需第二排有1个小正方体为3层（比底层多2个），第一排有1个小正方体为2层（比底层多1个），其余小正方体都为1层，总个数为$6+2+1=9$个；
最多数量：第一排所有小正方体都为2层，第二排所有小正方体都为3层，第三排均为1层，总个数为14个。
（2）单个小正方体的体积为$3^3=27(\mathrm{cm}^3)$，体积最大时共有14个小正方体，因此总体积为$27×14=378(\mathrm{cm}^3)$。
（3）单个正方形面的面积为$3×3=9(\mathrm{cm}^2)$，体积最小时有两种搭建情形：
(i) 第一种情形：露在外面的总面数$=2×(前+俯+侧)=2×[5+6+(6+1)]=36$（个），涂漆面积$S=36×9=324(\mathrm{cm}^2)$；
(ii) 第二种情形：露在外面的总面数$=2×(前+俯+侧)=2×[6+6+(6+1)]=38$（个），涂漆面积$S=38×9=342(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 9；14
(2) $3^3×14=378(\mathrm{cm}^3)$
(3) 有两种情形,如
所示,(i)露在外面的面数$=2×(前+俯+侧)=2×[5+6+(6+1)]=36$(个),所涂油漆的面积$S=36×9=324(\mathrm{cm}^2)$;(ii)露在外面的面数$=2×(前+俯+侧)=2×[6+6+(6+1)]=38$(个),所涂油漆的面积$S=38×9=342(\mathrm{cm}^2)$【知识点】
由三视图判断几何体；几何体的体积；几何体的表面积
【点评】
本题重点考查三视图与几何体的对应关系，解题时需明确俯视图确定底层数量、左视图确定各排最大高度的规律，同时注意小正方体最少时存在多种搭建情况，需要分类讨论计算表面积，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
1.（常州中考）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是【 】
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个是三棱柱的侧面展开图，首先明确三棱柱的结构特征：三棱柱有3条侧棱，对应3个侧面，每个侧面都是长方形（直棱柱），因此它的侧面展开图是3个依次相连的长方形。接下来逐一分析选项，先排除形状不符合长方形组合的选项，再区分不同几何体的展开图特征即可得到答案。
【解析】
首先回忆棱柱的侧面特点：n棱柱的侧面由n个长方形组成，侧面展开后是n个依次拼接的长方形，三棱柱n=3，因此侧面展开图是3个相连的长方形。
对各选项逐一判断：
选项A：由3个三角形组成，不符合棱柱侧面是长方形的特征，错误；
选项B：是共顶点的3个三角形，属于三棱锥的侧面展开图，错误；
选项C：是扇形，属于圆锥的侧面展开图，错误；
选项D：是3个依次相连的长方形，符合三棱柱侧面展开图的特征，正确。
【答案】
D
【知识点】
三棱柱特征，立体图形展开图，几何体侧面展开
【点评】
本题考查常见立体图形的侧面展开图，解题的核心是熟记不同几何体展开图的特征，注意区分棱柱、棱锥、圆锥的展开图差异，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是三棱柱的侧面展开图，首先明确三棱柱的结构特征：三棱柱有3条侧棱，对应3个侧面，每个侧面都是长方形（直棱柱），因此它的侧面展开图是3个依次相连的长方形。接下来逐一分析选项，先排除形状不符合长方形组合的选项，再区分不同几何体的展开图特征即可得到答案。
【解析】
首先回忆棱柱的侧面特点：n棱柱的侧面由n个长方形组成，侧面展开后是n个依次拼接的长方形，三棱柱n=3，因此侧面展开图是3个相连的长方形。
对各选项逐一判断：
选项A：由3个三角形组成，不符合棱柱侧面是长方形的特征，错误；
选项B：是共顶点的3个三角形，属于三棱锥的侧面展开图，错误；
选项C：是扇形，属于圆锥的侧面展开图，错误；
选项D：是3个依次相连的长方形，符合三棱柱侧面展开图的特征，正确。
【答案】
D
【知识点】
三棱柱特征，立体图形展开图，几何体侧面展开
【点评】
本题考查常见立体图形的侧面展开图，解题的核心是熟记不同几何体展开图的特征，注意区分棱柱、棱锥、圆锥的展开图差异，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
2. 下列几何体的展开图中，能围成圆柱的是 【 】
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个展开图能围成圆柱，首先要牢记圆柱展开图的特征：圆柱的侧面展开后是长方形，上下两个底面是完全相同的圆，且两个圆分别在长方形一组对边的外侧。接下来逐一分析每个选项对应的几何体，排除不符合要求的选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：由6个矩形组成，是长方体（四棱柱）的表面展开图，不能围成圆柱；
2. 选项B：由1个正方形和4个全等的等腰三角形组成，是四棱锥的表面展开图，不能围成圆柱；
3. 选项C：由1个扇形和1个圆组成，是圆锥的表面展开图，不能围成圆柱；
4. 选项D：由1个长方形和2个大小相等的圆组成，符合圆柱展开图的特征，可以围成圆柱。
【答案】
D
【知识点】
圆柱展开图特征；常见几何体展开图识别
【点评】
本题考查常见立体图形和其表面展开图的对应关系，属于基础考题，解题的关键是熟练掌握各类常见几何体展开图的构成特点。
【难度系数】
0.9
要判断哪个展开图能围成圆柱，首先要牢记圆柱展开图的特征：圆柱的侧面展开后是长方形，上下两个底面是完全相同的圆，且两个圆分别在长方形一组对边的外侧。接下来逐一分析每个选项对应的几何体，排除不符合要求的选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
1. 选项A：由6个矩形组成，是长方体（四棱柱）的表面展开图，不能围成圆柱；
2. 选项B：由1个正方形和4个全等的等腰三角形组成，是四棱锥的表面展开图，不能围成圆柱；
3. 选项C：由1个扇形和1个圆组成，是圆锥的表面展开图，不能围成圆柱；
4. 选项D：由1个长方形和2个大小相等的圆组成，符合圆柱展开图的特征，可以围成圆柱。
【答案】
D
【知识点】
圆柱展开图特征；常见几何体展开图识别
【点评】
本题考查常见立体图形和其表面展开图的对应关系，属于基础考题，解题的关键是熟练掌握各类常见几何体展开图的构成特点。
【难度系数】
0.9
3. 下列不是三棱柱展开图的是 【 
】
】答案
C
解析
【分析】
要判断哪个不是三棱柱的展开图，首先明确三棱柱展开图的特征：三棱柱由2个全等的三角形底面和3个长方形侧面组成，因此它的表面展开图必然包含2个三角形、3个长方形，且2个三角形要位于侧面展开图的不同侧，保证折叠后可分别作为上下底面，不会重合。按照这个特征逐一排查选项即可。
【解析】
三棱柱的表面展开图需满足：包含2个全等的三角形（底面）和3个长方形（侧面），且2个三角形分别在侧面的两侧，折叠后可分别作为两个底面：
选项A：2个三角形分别在3个长方形的左右两侧，折叠后可围成三棱柱，属于三棱柱展开图；
选项B：2个三角形分别在侧面的左、右下位置，折叠后两个三角形可分别作为上下底面，能围成三棱柱，属于三棱柱展开图；
选项C：2个三角形都在3个长方形的上方，折叠后两个三角形会重合，无法作为两个独立的底面，不能围成三棱柱，不属于三棱柱展开图；
选项D：2个三角形分别在侧面的左下角和右侧，折叠后可围成三棱柱，属于三棱柱展开图。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三棱柱展开图判断，立体图形表面展开图，展开图折叠还原
【点评】
本题考查立体图形展开图的识别，核心是掌握三棱柱展开图的结构特征，也可通过动手折叠的方式验证结论，有助于锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7
要判断哪个不是三棱柱的展开图，首先明确三棱柱展开图的特征：三棱柱由2个全等的三角形底面和3个长方形侧面组成，因此它的表面展开图必然包含2个三角形、3个长方形，且2个三角形要位于侧面展开图的不同侧，保证折叠后可分别作为上下底面，不会重合。按照这个特征逐一排查选项即可。
【解析】
三棱柱的表面展开图需满足：包含2个全等的三角形（底面）和3个长方形（侧面），且2个三角形分别在侧面的两侧，折叠后可分别作为两个底面：
选项A：2个三角形分别在3个长方形的左右两侧，折叠后可围成三棱柱，属于三棱柱展开图；
选项B：2个三角形分别在侧面的左、右下位置，折叠后两个三角形可分别作为上下底面，能围成三棱柱，属于三棱柱展开图；
选项C：2个三角形都在3个长方形的上方，折叠后两个三角形会重合，无法作为两个独立的底面，不能围成三棱柱，不属于三棱柱展开图；
选项D：2个三角形分别在侧面的左下角和右侧，折叠后可围成三棱柱，属于三棱柱展开图。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三棱柱展开图判断，立体图形表面展开图，展开图折叠还原
【点评】
本题考查立体图形展开图的识别，核心是掌握三棱柱展开图的结构特征，也可通过动手折叠的方式验证结论，有助于锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7
4.（德阳中考）下列图形中可以作为正方体的表面展开图的是 【 】
答案
A
解析
【分析】
要判断哪个图形是正方体的表面展开图，我们可以用排除法结合正方体展开图的特征来思考：首先记住正方体展开图的典型错误特征：①出现“田”字形（4个小正方形组成2×2的正方形）的一定不是；②折叠后会出现面重叠的一定不是。接下来逐个分析选项，先排除有明显错误特征的，剩下的再验证是否符合展开图的常见类型即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
1. 选项B：图形中存在2×2的“田”字形结构，折叠时会出现面重叠，无法折成正方体，排除；
2. 选项C：最右侧一列有3个正方形，和下方横向排列的4个正方形组合，折叠时会有面重合，无法折成正方体，排除；
3. 选项D：该阶梯状结构折叠时会出现面重叠，无法折成正方体，排除；
4. 选项A：属于正方体展开图的“一四一”型，中间4个正方形作为正方体的侧面，上下两个正方形分别作为正方体的上、下底面，折叠后可以得到完整的正方体，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正方体表面展开图；立体图形的展开与折叠
【点评】
本题是立体图形展开图的基础考题，主要考查对正方体表面展开图特征的掌握，只要牢记常见的错误展开图特征，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图形是正方体的表面展开图，我们可以用排除法结合正方体展开图的特征来思考：首先记住正方体展开图的典型错误特征：①出现“田”字形（4个小正方形组成2×2的正方形）的一定不是；②折叠后会出现面重叠的一定不是。接下来逐个分析选项，先排除有明显错误特征的，剩下的再验证是否符合展开图的常见类型即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
1. 选项B：图形中存在2×2的“田”字形结构，折叠时会出现面重叠，无法折成正方体，排除；
2. 选项C：最右侧一列有3个正方形，和下方横向排列的4个正方形组合，折叠时会有面重合，无法折成正方体，排除；
3. 选项D：该阶梯状结构折叠时会出现面重叠，无法折成正方体，排除；
4. 选项A：属于正方体展开图的“一四一”型，中间4个正方形作为正方体的侧面，上下两个正方形分别作为正方体的上、下底面，折叠后可以得到完整的正方体，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正方体表面展开图；立体图形的展开与折叠
【点评】
本题是立体图形展开图的基础考题，主要考查对正方体表面展开图特征的掌握，只要牢记常见的错误展开图特征，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.7
