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17. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE。已知$∠ 1=∠ 2$，$AD=DE$。
(1)求证：$△ ABD≌△ DCE$；
(2)若$BD=3$，$CD=5$，求AE的长。
(1)求证：$△ ABD≌△ DCE$；
(2)若$BD=3$，$CD=5$，求AE的长。
答案
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
在$△ ABD$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠ 1 = ∠ 2 \\∠ B = ∠ C \\AD = DE\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ DCE$（AAS）。
---
(2) 解：
∵ $△ ABD ≌ △ DCE$，
∴ $AB = DC$，$BD = CE$。
∵ $BD=3$，$CD=5$，
∴ $CE=3$，$AB=5$。
又∵ $AB=AC$，
∴ $AC=5$，
∴ $AE = AC - CE = 5 - 3 = 2$。
答：$AE$的长为$\boldsymbol{2}$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
在$△ ABD$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠ 1 = ∠ 2 \\∠ B = ∠ C \\AD = DE\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ DCE$（AAS）。
---
(2) 解：
∵ $△ ABD ≌ △ DCE$，
∴ $AB = DC$，$BD = CE$。
∵ $BD=3$，$CD=5$，
∴ $CE=3$，$AB=5$。
又∵ $AB=AC$，
∴ $AC=5$，
∴ $AE = AC - CE = 5 - 3 = 2$。
答：$AE$的长为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
（1）要证明△ABD≌△DCE，先梳理已知条件：题目已给出∠1=∠2、AD=DE，还缺一组对应角相等；结合AB=AC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C，刚好满足AAS的全等判定条件，即可完成证明。
（2）求AE的长度，观察图形可知AE=AC-CE，因此需要先求出AC和CE的长度；利用（1）中全等三角形的对应边相等，可得到AB=DC、BD=CE，再结合AB=AC的条件，代入已知的BD、CD长度即可计算出AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
在$△ ABD$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠ 1 = ∠ 2 \\∠ B = ∠ C \\AD = DE\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ DCE$（AAS）。
(2) 解：
∵ $△ ABD ≌ △ DCE$，
∴ $AB = DC$，$BD = CE$。
∵ $BD=3$，$CD=5$，
∴ $CE=3$，$AB=5$。
又
∵ $AB=AC$，
∴ $AC=5$，
∴ $AE = AC - CE = 5 - 3 = 2$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是先利用等腰三角形性质得到全等判定所需的等角条件，证明三角形全等后，再根据全等的性质推导对应边的长度关系，进而求解线段长，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABD≌△DCE，先梳理已知条件：题目已给出∠1=∠2、AD=DE，还缺一组对应角相等；结合AB=AC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C，刚好满足AAS的全等判定条件，即可完成证明。
（2）求AE的长度，观察图形可知AE=AC-CE，因此需要先求出AC和CE的长度；利用（1）中全等三角形的对应边相等，可得到AB=DC、BD=CE，再结合AB=AC的条件，代入已知的BD、CD长度即可计算出AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
在$△ ABD$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠ 1 = ∠ 2 \\∠ B = ∠ C \\AD = DE\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ DCE$（AAS）。
(2) 解：
∵ $△ ABD ≌ △ DCE$，
∴ $AB = DC$，$BD = CE$。
∵ $BD=3$，$CD=5$，
∴ $CE=3$，$AB=5$。
又
∵ $AB=AC$，
∴ $AC=5$，
∴ $AE = AC - CE = 5 - 3 = 2$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是先利用等腰三角形性质得到全等判定所需的等角条件，证明三角形全等后，再根据全等的性质推导对应边的长度关系，进而求解线段长，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
18.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为A(4,1),B(-4,-2),C(1,-3).
(1)作出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁,并写出点B₁的坐标;
(2)在x轴上作出点P,使得PB+PC最短,并写出点P的坐标.
(1)作出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁,并写出点B₁的坐标;
(2)在x轴上作出点P,使得PB+PC最短,并写出点P的坐标.
答案
解：
(1) 分别作出点A、B、C关于x轴的对称点$A_1(4,-1)$、$B_1$、$C_1(1,3)$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到$△ A_1B_1C_1$。
点$B_1$的坐标为$(-4,2)$。
(2) 作点B关于x轴的对称点$B_1(-4,2)$，连接$B_1C$，与x轴的交点即为所求的点P。
设直线$B_1C$的解析式为$y=kx+b$，将$B_1(-4,2)$、$C(1,-3)$代入得：
$\begin{cases} -4k + b = 2 \\ k + b = -3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k=-1 \\ b=-2 \end{cases}$
即直线$B_1C$的解析式为$y=-x-2$。
令$y=0$，得$0=-x-2$，解得$x=-2$。
所以点P的坐标为$(-2,0)$。
(1) 分别作出点A、B、C关于x轴的对称点$A_1(4,-1)$、$B_1$、$C_1(1,3)$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到$△ A_1B_1C_1$。
点$B_1$的坐标为$(-4,2)$。
(2) 作点B关于x轴的对称点$B_1(-4,2)$，连接$B_1C$，与x轴的交点即为所求的点P。
设直线$B_1C$的解析式为$y=kx+b$，将$B_1(-4,2)$、$C(1,-3)$代入得：
$\begin{cases} -4k + b = 2 \\ k + b = -3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k=-1 \\ b=-2 \end{cases}$
即直线$B_1C$的解析式为$y=-x-2$。
令$y=0$，得$0=-x-2$，解得$x=-2$。
所以点P的坐标为$(-2,0)$。
解析
【分析】
(1) 作关于x轴对称的图形，需先掌握关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数。先求出A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，再顺次连接三点即可得到△A₁B₁C₁，根据规律可直接写出B₁的坐标。
(2) 本题属于“将军饮马”类最短路径问题，根据轴对称性质和两点之间线段最短的原理，先作点B关于x轴的对称点B₁，此时PB=PB₁，因此PB+PC=PB₁+PC，当B₁、P、C三点共线时和最小，连接B₁C与x轴的交点即为点P，再通过待定系数法求直线B₁C的解析式，令y=0即可求出P的坐标。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可得A(4,1)的对称点为A₁(4,-1)，B(-4,-2)的对称点为B₁(-4,2)，C(1,-3)的对称点为C₁(1,3)。在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 作点B关于x轴的对称点B₁(-4,2)，连接B₁C，B₁C与x轴的交点即为所求的点P。
设直线B₁C的解析式为$y=kx+b$，将$B_1(-4,2)$、$C(1,-3)$代入得：
$\begin{cases} -4k + b = 2 \\ k + b = -3 \end{cases}$
两式相减得$5k=-5$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k+b=-3$，解得$b=-2$。
即直线$B_1C$的解析式为$y=-x-2$。
令$y=0$，得$0=-x-2$，解得$x=-2$，即点P的坐标为$(-2,0)$。
【答案】
(1) 点$B_1$的坐标为$\boldsymbol{(-4,2)}$，作图见解析；
(2) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$，作图见解析。
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；最短路径问题；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题综合考查了轴对称的性质、最短路径构造和一次函数的应用，解题关键是掌握轴对称的坐标变化规律和“将军饮马”模型的构造方法，同时要熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，是平面直角坐标系结合几何性质的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 作关于x轴对称的图形，需先掌握关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数。先求出A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，再顺次连接三点即可得到△A₁B₁C₁，根据规律可直接写出B₁的坐标。
(2) 本题属于“将军饮马”类最短路径问题，根据轴对称性质和两点之间线段最短的原理，先作点B关于x轴的对称点B₁，此时PB=PB₁，因此PB+PC=PB₁+PC，当B₁、P、C三点共线时和最小，连接B₁C与x轴的交点即为点P，再通过待定系数法求直线B₁C的解析式，令y=0即可求出P的坐标。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可得A(4,1)的对称点为A₁(4,-1)，B(-4,-2)的对称点为B₁(-4,2)，C(1,-3)的对称点为C₁(1,3)。在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 作点B关于x轴的对称点B₁(-4,2)，连接B₁C，B₁C与x轴的交点即为所求的点P。
设直线B₁C的解析式为$y=kx+b$，将$B_1(-4,2)$、$C(1,-3)$代入得：
$\begin{cases} -4k + b = 2 \\ k + b = -3 \end{cases}$
两式相减得$5k=-5$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k+b=-3$，解得$b=-2$。
即直线$B_1C$的解析式为$y=-x-2$。
令$y=0$，得$0=-x-2$，解得$x=-2$，即点P的坐标为$(-2,0)$。
【答案】
(1) 点$B_1$的坐标为$\boldsymbol{(-4,2)}$，作图见解析；
(2) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$，作图见解析。
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；最短路径问题；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题综合考查了轴对称的性质、最短路径构造和一次函数的应用，解题关键是掌握轴对称的坐标变化规律和“将军饮马”模型的构造方法，同时要熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，是平面直角坐标系结合几何性质的常考题型。
【难度系数】
0.7
19. 2026年，人形机器人已进入早期商业化与规模量产阶段，技术从“炫技”转向务实，中国企业在全球人形机器人市场占据主导地位.某公司推出了A，B两款人形机器人.
(1)已知该公司生产5个A款人形机器人的成本和生产6个B款人形机器人的成本相同；每个A款人形机器人的成本比每个B款人形机器人的成本多2万元.该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每个的成本各是多少万元？
(2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每个B款人形机器人的售价比每个A款人形机器人的售价少20％.根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10个.该公司每个A款人形机器人在网上的售价是多少万元？
(1)已知该公司生产5个A款人形机器人的成本和生产6个B款人形机器人的成本相同；每个A款人形机器人的成本比每个B款人形机器人的成本多2万元.该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每个的成本各是多少万元？
(2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每个B款人形机器人的售价比每个A款人形机器人的售价少20％.根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10个.该公司每个A款人形机器人在网上的售价是多少万元？
答案
解：(1)设每个B款人形机器人的成本为$x$万元，则每个A款人形机器人的成本为$(x+2)$万元。
根据题意列方程：
$5(x+2)=6x$
解得：$x=10$
则$x+2=12$
(2)设每个A款人形机器人在网上的售价为$y$万元，则每个B款人形机器人的网上售价为$(1-20\%)y=0.8y$万元。
根据题意列方程：
$\frac{600}{0.8y}-\frac{600}{y}=10$
化简得：
$\frac{750}{y}-\frac{600}{y}=10$
$\frac{150}{y}=10$
解得：$y=15$
检验：当$y=15$时，$y≠0$，故$y=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：每个A款人形机器人的成本是12万元，每个B款人形机器人的成本是10万元；该公司每个A款人形机器人在网上的售价是15万元。
根据题意列方程：
$5(x+2)=6x$
解得：$x=10$
则$x+2=12$
(2)设每个A款人形机器人在网上的售价为$y$万元，则每个B款人形机器人的网上售价为$(1-20\%)y=0.8y$万元。
根据题意列方程：
$\frac{600}{0.8y}-\frac{600}{y}=10$
化简得：
$\frac{750}{y}-\frac{600}{y}=10$
$\frac{150}{y}=10$
解得：$y=15$
检验：当$y=15$时，$y≠0$，故$y=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：每个A款人形机器人的成本是12万元，每个B款人形机器人的成本是10万元；该公司每个A款人形机器人在网上的售价是15万元。
解析
【分析】
(1) 第一问属于一元一次方程实际应用问题，首先找准等量关系：生产5个A款机器人的总成本=生产6个B款机器人的总成本。我们设B款机器人成本为x万元，根据“A款成本比B款多2万元”可得A款成本为(x+2)万元，代入等量关系列方程求解即可得到两款机器人的成本。
(2) 第二问属于分式方程实际应用问题，核心等量关系为：销售额均为600万元时，B款机器人销量 - A款机器人销量=10个。销量=总销售额÷单个售价，设A款售价为y万元，可得B款售价为0.8y万元，分别表示出两款机器人的销量后代入等量关系列分式方程，求解后需检验根是否满足分式要求且符合实际意义，即可得到A款售价。
【解析】
(1) 设每个B款人形机器人的成本为$x$万元，则每个A款人形机器人的成本为$(x+2)$万元。
根据题意列方程：
$5(x+2)=6x$
解得：$x=10$
则A款成本为$x+2=10+2=12$（万元）
(2) 设每个A款人形机器人在网上的售价为$y$万元，则每个B款人形机器人的网上售价为$(1-20\%)y=0.8y$万元。
根据题意列方程：
$\frac{600}{0.8y}-\frac{600}{y}=10$
化简得：$\frac{750}{y}-\frac{600}{y}=10$
合并得：$\frac{150}{y}=10$
解得：$y=15$
检验：当$y=15$时，$y≠0$，故$y=15$是原分式方程的解，且符合实际销售的意义。
答：每个A款人形机器人的成本是12万元，每个B款人形机器人的成本是10万元；该公司每个A款人形机器人在网上的售价是15万元。
【答案】
每个A款人形机器人的成本是12万元，每个B款人形机器人的成本是10万元；该公司每个A款人形机器人在网上的售价是15万元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分式方程的应用
3. 销售问题数量关系
【点评】
本题结合人形机器人商业化的热点背景考查方程的实际应用，解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须完成双重检验：既要检验是否为增根，也要判断结果是否符合实际意义，属于常规应用型考题。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问属于一元一次方程实际应用问题，首先找准等量关系：生产5个A款机器人的总成本=生产6个B款机器人的总成本。我们设B款机器人成本为x万元，根据“A款成本比B款多2万元”可得A款成本为(x+2)万元，代入等量关系列方程求解即可得到两款机器人的成本。
(2) 第二问属于分式方程实际应用问题，核心等量关系为：销售额均为600万元时，B款机器人销量 - A款机器人销量=10个。销量=总销售额÷单个售价，设A款售价为y万元，可得B款售价为0.8y万元，分别表示出两款机器人的销量后代入等量关系列分式方程，求解后需检验根是否满足分式要求且符合实际意义，即可得到A款售价。
【解析】
(1) 设每个B款人形机器人的成本为$x$万元，则每个A款人形机器人的成本为$(x+2)$万元。
根据题意列方程：
$5(x+2)=6x$
解得：$x=10$
则A款成本为$x+2=10+2=12$（万元）
(2) 设每个A款人形机器人在网上的售价为$y$万元，则每个B款人形机器人的网上售价为$(1-20\%)y=0.8y$万元。
根据题意列方程：
$\frac{600}{0.8y}-\frac{600}{y}=10$
化简得：$\frac{750}{y}-\frac{600}{y}=10$
合并得：$\frac{150}{y}=10$
解得：$y=15$
检验：当$y=15$时，$y≠0$，故$y=15$是原分式方程的解，且符合实际销售的意义。
答：每个A款人形机器人的成本是12万元，每个B款人形机器人的成本是10万元；该公司每个A款人形机器人在网上的售价是15万元。
【答案】
每个A款人形机器人的成本是12万元，每个B款人形机器人的成本是10万元；该公司每个A款人形机器人在网上的售价是15万元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分式方程的应用
3. 销售问题数量关系
【点评】
本题结合人形机器人商业化的热点背景考查方程的实际应用，解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须完成双重检验：既要检验是否为增根，也要判断结果是否符合实际意义，属于常规应用型考题。
【难度系数】
0.8
