11.如图,在$△ ABC$中,若$D,E,F$分别为边$BC,AD,CE$的中点,且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$,则$S_{\mathrm{阴影}}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.

$\boldsymbol{1}$

【分析】
本题可利用三角形中线的性质解题：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高的三角形，二者面积相等，均为原三角形面积的一半。解题时我们从面积已知的$△ ABC$出发，根据各中点对应的中线，逐步推导下层三角形的面积，最终得到阴影部分的面积即可。
【解析】
解：$\because D$是$BC$的中点，$AD$是$△ ABC$的中线
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
$\because E$是$AD$的中点，$BE$、$CE$分别是$△ ABD$、$△ ACD$的中线
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
$\because F$是$CE$的中点，$BF$是$△ BCE$的中线
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的基础常考题，核心考查三角形中线分三角形为两个等面积部分的性质，只要按照中线的对应关系逐步推导面积即可快速求解，熟练掌握中线的面积性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

12. 提升题 如图，$∠ AOB=60°$，$OC$平分$∠ AOB$.若射线$OA$上的点$E$满足$△ OCE$是等腰三角形，则$∠ OEC$的大小为.

解：
∵ OC平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。
分三种情况讨论等腰△OCE：
1. 当$OE=CE$时，$∠ OCE=∠ COE=30°$，
$\therefore ∠ OEC = 180° - 30° - 30° = 120°$；
2. 当$OC=OE$时，$∠ OEC=∠ OCE$，
$\therefore ∠ OEC = \frac{180° - ∠ COE}{2} = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$；
3. 当$CO=CE$时，$∠ OEC=∠ COE=30°$。
综上，$∠ OEC$的大小为$\boldsymbol{120°}$或$\boldsymbol{75°}$或$\boldsymbol{30°}$。

【分析】
首先根据角平分线的定义求出∠COE的度数，由于题目未明确等腰△OCE的腰和底，所以需要分三种情况讨论：①OE=CE，②OC=OE，③CO=CE，每种情况结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和为180°，分别计算∠OEC的度数即可，注意要符合点E在射线OA上的位置要求。
【解析】
∵ OC平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。
分三种情况讨论等腰△OCE：
1. 当$OE=CE$时，根据等边对等角得$∠ OCE=∠ COE=30°$，
根据三角形内角和定理，$\therefore ∠ OEC = 180° - 30° - 30° = 120°$；
2. 当$OC=OE$时，根据等边对等角得$∠ OEC=∠ OCE$，
$\therefore ∠ OEC = \frac{180° - ∠ COE}{2} = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$；
3. 当$CO=CE$时，根据等边对等角得$∠ OEC=∠ COE=30°$。
综上，∠OEC的大小为120°或75°或30°。
【答案】
120°或75°或30°
【知识点】
角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形的多解性，未分类讨论导致漏解，解题时要注意：未明确等腰三角形的腰和底时，要分所有可能的情况逐一验证，舍去不符合题意的情况。
【难度系数】
0.6

三、解答题
13.(1)计算：$\sqrt{16}+(2-\sqrt{2})^0-(\dfrac{1}{2})^{-2}+\left|-1\right|$；
(2)解分式方程：$\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{x^2-1}=1$。

解：
(1) 原式$=4 + 1 - 4 + 1$
$=2$
(2) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$x(x+1) + 1 = x^2 - 1$
展开整理得$x^2 + x + 1 = x^2 - 1$
移项合并同类项得$x = -2$
检验：当$x=-2$时，$(x+1)(x-1)=3≠0$，
所以原分式方程的解为$x=-2$。

【分析】
(1) 本题为实数混合运算题，解题时先分别计算每一项：①算术平方根$\sqrt{16}$表示16的正平方根，结果为4；②非零数的0次幂等于1，$2-\sqrt{2}≠0$，故$(2-\sqrt{2})^0=1$；③根据负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$；④$|-1|$是-1的绝对值，结果为1，最后将所有项的结果按顺序计算加减即可。
(2) 本题为分式方程求解，解题思路是先转化为整式方程再求解，最后检验增根：首先将分母$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母消去分母得到整式方程，解整式方程得到未知数的值后，代入最简公分母检验，若公分母不为0则是原方程的解，否则为增根需舍去。
【解析】
(1) 分别计算各项后合并：
原式$=4 + 1 - 4 + 1$
$=2$
(2) 先确定最简公分母去分母：
方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$x(x+1) + 1 = x^2 - 1$
展开整理得$x^2 + x + 1 = x^2 - 1$
移项合并同类项得$x = -2$
检验：当$x=-2$时，$(x+1)(x-1)=(-2+1)×(-2-1)=3≠0$，符合分母不为0的要求。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{x=-2}$
【知识点】
实数的混合运算、分式方程的解法
【点评】
本题属于基础运算类题型，第一问覆盖了算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值多个基础运算考点，需熟练掌握各运算规则，明确运算顺序；第二问考察分式方程的求解，核心是通过去分母转化为整式方程，需特别注意解后必须检验增根，是期末常考的常规题型。
【难度系数】
0.8

14.先化简,再求值:$3a(2a^2 - 4a + 3) - 2a^2(3a + 4)$,其中$a=-2$.

解：
原式$=6a^3 -12a^2 +9a -6a^3 -8a^2$
$=-20a^2 +9a$
当$a=-2$时，
原式$=-20×(-2)^2 +9×(-2)$
$=-20×4 -18$
$=-80-18$
$=-98$

【分析】
这是一道整式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步，根据单项式乘多项式的运算法则，将原式中的两个乘法项分别展开，注意要让单项式乘到多项式的每一项，同时注意符号运算；第二步，合并展开式中的同类项，将原式化简为最简整式；第三步，将a=-2代入化简后的整式计算，就能得到最终结果，先化简再求值可以减少计算量，降低出错概率。
【解析】
首先利用单项式乘多项式法则展开原式：
原式$=3a×2a^2 + 3a×(-4a) + 3a×3 - 2a^2×3a - 2a^2×4$
$=6a^3 -12a^2 +9a -6a^3 -8a^2$
然后合并同类项：
$=(6a^3 - 6a^3) + (-12a^2 - 8a^2) + 9a$
$=-20a^2 +9a$
再将$a=-2$代入化简后的式子：
原式$=-20×(-2)^2 +9×(-2)$
$=-20×4 - 18$
$=-80-18$
$=-98$
【答案】
$-98$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，主要考查整式乘法的运算规则和合并同类项的能力，计算时需注意去括号的符号处理，代入负数计算乘方时要避免符号错误。
【难度系数】
0.8

15. 先化简：$( \dfrac{3}{x+1} - x + 1 ) ÷ \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x+1}$，然后选择一个合适的整数作为$x$的值代入求值。

解：
$\begin{aligned}原式&=[\frac{3}{x+1} - (x-1)] · \frac{x+1}{x^2-4x+4}\\&=\frac{3 - (x-1)(x+1)}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2}\\&=\frac{3 - x^2 + 1}{(x-2)^2}\\&=\frac{4 - x^2}{(x-2)^2}\\&=\frac{(2+x)(2-x)}{(x-2)^2}\\&=-\frac{x+2}{x-2}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可得：$x+1≠0$，$x-2≠0$，即$x≠-1$且$x≠2$。
取整数$x=0$代入，得：
原式$=-\frac{0+2}{0-2}=1$。

【分析】
本题是分式化简求值题型，解题思路如下：①先处理运算顺序：遵循先算括号内、再算除法的分式混合运算规则；②括号内为分式减整式，先将整式$-x+1$变形为$-(x-1)$，通分后合并分子，同时将除法运算转化为乘法运算（乘以除数的倒数）；③对合并后的分子、分母分别因式分解，约分化简得到最简式子；④根据分式有意义的条件（所有分母不为0），排除不可取的x值，选择符合要求的整数代入最简式计算即可。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=[\frac{3}{x+1} - (x-1)] · \frac{x+1}{x^2-4x+4}\\&=\frac{3 - (x-1)(x+1)}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2}\\&=\frac{3 - x^2 + 1}{(x-2)^2}\\&=\frac{4 - x^2}{(x-2)^2}\\&=\frac{(2+x)(2-x)}{(x-2)^2}\\&=-\frac{x+2}{x-2}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得：$x+1≠0$，$x-2≠0$，即$x≠-1$且$x≠2$。
取整数$x=0$代入最简式，得：
原式$=-\frac{0+2}{0-2}=1$。
（注：x也可选取除-1、2外的其他整数，结果正确即可）
【答案】
化简结果为$-\dfrac{x+2}{x-2}$，当$x=0$时，值为1（答案不唯一）
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 分式有意义的条件
3. 因式分解
【点评】
本题属于基础运算题型，核心考查分式化简的运算规则，解题时需注意两点：一是去括号、因式分解时要注意符号变化，避免运算错误；二是代入求值前必须先确定x的可取范围，选取的x值要保证原式中所有分母都不为0。
【难度系数】
0.7

16.在$4×4$的正方形网格中,仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹,不写作法).
(1)在图①中作锐角三角形ABC,使点C在格点上;
(2)在图②中的线段AB上作点Q,使PQ最短.

解：
(1) 在图①的格点上选取合适的点C，顺次连接A、B、C，所得△ABC即为所求锐角三角形（答案不唯一）；
(2) 根据垂线段最短的性质，过点P作AB的垂线，与线段AB的交点即为所求的点Q，此时PQ长度最短。

【分析】
(1) 要作锐角三角形ABC，首先明确锐角三角形的三个内角均为锐角，结合勾股定理的逆定理可知，只要保证三角形任意一边的平方小于另外两边的平方和即可。先确定线段AB的长度，再在格点中选取合适的点C，验证三个角均为锐角即可，点C的选择不唯一，满足要求即可。
(2) 要使PQ最短，依据“直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短”的性质，只需过点P作线段AB的垂线，垂线与AB的交点就是所求的点Q。网格中AB为与水平方向成45°的斜线，因此其垂线为与水平方向成-45°的斜线，沿该方向作图即可找到交点。
【解析】
(1) 观察网格中AB的位置，选取符合要求的格点C，依次连接A、B、C三点，验证△ABC三个内角均为锐角，所得三角形即为所求，答案不唯一。
(2) 根据垂线段最短的性质，过点P作AB的垂线：因AB的倾斜方向为右上45°，因此垂线沿右下45°方向绘制，该直线与线段AB的交点即为点Q，此时PQ长度最短。
【答案】
(1) 在图①的格点上选取合适的点C，顺次连接A、B、C，所得△ABC即为所求锐角三角形（答案不唯一）；
(2) 过点P作AB的垂线，与线段AB的交点即为所求的点Q。
【知识点】
1. 锐角三角形的定义
2. 垂线段最短
3. 网格作图
【点评】
本题是基础网格作图题，考查三角形分类和垂线性质的应用，第一问答案开放，符合锐角三角形要求即可，第二问直接利用垂线段最短的性质即可求解，侧重对基础几何概念的灵活运用。
【难度系数】
0.7